5.5 Geometrinen summa

Geometrinen summa

2016-07-27T09:30:19+03:00

Geometrinen summa [[$ S_n $]] saadaan, kun geometrisen lukujonon [[$ n $]] ensimmäistä jäsentä lasketaan yhteen.

[[$ S_n=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_i=a_1+a_2+...+a_n $]]

Geometrisen lukujonon summa ([[$ n $]] ensimmäistä jäsentä) lasketaan kaavalla

[[$ S_n=\dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q} $]]

jossa
[[$ a_1 $]] on ensimmäinen jäsen
[[$ q $]] on peräkkäisten jäsenten suhde, [[$ \quad q \neq 1 $]], koska nimittäjä ei saa olla [[$ 0 $]]
[[$ n $]] on jäsenten lukumäärä

Summan kaava voidaan ilmoittaa myös muodossa
[[$S_n=a_1 \cdot \dfrac{1-q^n}{1-q}$]]

Kaavan johtaminen löytyy linkistä.

Jos [[$ q=1 $]], kaikki jäsenet ovat yhtäsuuria kuin [[$ a_1 $]] ja geometrinen summa on
[[$ S_n=\underbrace{a_1+a_1+...+a_1}_{n \, \text{kpl}}=n \cdot a_1 $]]

Geometrisen summan GeoGebra-sovelma

2016-07-27T09:11:06+03:00

Alla olevaan sovelmaan voit muuttaa lukujonon ensimmäisen jäsenen, peräkkäisten jäsenten suhdeluvun [[$q$]] ja summaan laskettavan jäsenten lukumäärän [[$n$]].

Esimerkki 1

2016-07-18T17:23:32+03:00

Määritä geometrisen jonon 4, 12, 36,... kymmenen ensimmäisen jäsenen summa.

Ratkaisu:
[[$ \begin{align}q&=\frac{a_2}{a_1}=\frac{12}{4}=3\\n&=10\\S_n&=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{4 \cdot (1-3^{10})}{1-3}=118 \, 096\end{align} $]]

Vastaus: Jonon kymmenen ensimmäisen jäsenen summa on 118 096.

Esimerkki 2

2016-07-18T17:24:17+03:00

Määritä geometrinen summa
a) [[$ 2 + 8+32+...+32 \, 768 $]]
b) [[$ \displaystyle\sum_{t=1}^{9} 2^t $]]

Ratkaisu:
a) [[$ 2 + 8+32+...+32 \, 768 $]]

[[$ q=\frac{8}{2}=4 $]]

Selvitetään kuinka mones jäsen on 32 768.

[[$ \begin{align}a_n&=a_1 \cdot q^{n-1}\\32 \, 768&=2 \cdot 4^{n-1} & \parallel :2\\16 \, 384&=4^{n-1}\end{align} $]]

Kokeilemalla eri arvoja saadaan
[[$ 16 \, 384=4^{7} $]]

Tällöin [[$ n-1=7 $]] eli [[$ n=8 $]]

Summa on
[[$ S_8=\dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\dfrac{2 \cdot (1-4^{7})}{1-4}=10 \, 922$]]

b) [[$ \displaystyle\sum_{t=1}^{9} 2^t $]]
[[$ \begin{align}a_1&=2^t=2^1=2\\a_2&=2^2=4\\a_3&=2^3=8\end{align} $]]

Jono on geometrinen ja [[$ q=\frac{4}{2}=2 $]]

Summa on
[[$ S_n=\dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\dfrac{2 \cdot (1-2^9)}{1-2}=1022 $]]

Vastaus: Geometrinen summa on
a) 10 922.
b) 1022.

Esimerkki 3

2016-07-18T17:25:30+03:00

Geometrisen lukujonon 1; 1,5; 2,25;... summa on 75 751,5 . Kuinka monta termiä summaan lasketaan mukaan?

Ratkaisu:
Määritetään suhdeluku [[$ q $]].
[[$ q=\frac{\text{1,5}}{1}=\text{1,5} $]]

Sijoitetaan summan lausekkeeseen.
[[$ \begin{align}S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{1 \cdot (1-\text{1,5}^n)}{1-\text{1,5}}=75 \, \text{751,5}\end{align} $]]

[[$ \begin{align}\frac{1-\text{1,5}^n}{-\text{0,5}}&=75 \, \text{751,5} & \parallel & \cdot(-\text{0,5})\\1-\text{1,5}^n&=-37 \, \text{875,8} & \parallel & -1\\-\text{1,5}^n&=-\text{37876,8}\end{align} $]]

Kokeillaan eri arvoja [[$ n $]]:n paikalle ja saadaan
[[$ -\text{1,5}^{26}=-37 \, \text{876,8} $]]

Tällöin [[$ n=26 $]]

Vastaus: Summaan lasketaan 26 termiä.

Esimerkki 4

2016-07-18T17:26:18+03:00

Petra tallettaa säästötilille joka vuoden alussa 1000 €. Vuoden lopussa korkoa maksetaan 0,9 %. Kuinka paljon Petralla on rahaa tilillä 4. vuoden lopussa, jos tililtä ei nosteta mitään?

Ratkaisu:
i)

1. vuoden alussa	[[$1000 \, €$]]
1. vuoden lopussa	[[$\text{1,009} \cdot 1000 \text{ €} =1009 \text{ €} $]]
2. vuoden alussa	[[$1009 \text{ €} + 1000 \text{ €} = 2009 \text{ €} $]]
2. vuoden lopussa	[[$\text{1,009} \cdot 2009 \text{ €} = \text{2027,08 €} $]]
3. vuoden alussa	[[$\text{2027,08 €} + 1000 \text{ €} = \text{3027,08 €}$]]
3. vuoden lopussa	[[$\text{1,009} \cdot \text{3027,08 €} =\text{3054,32 €} $]]
4. vuoden alussa	[[$\text{3054,32 €} + 1000 \text{ €} = \text{4054,32 €}$]]
4. vuoden lopussa	[[$\text{1,009} \cdot \text{4054,32 €} = \text{4090,81 €} $]]

ii)
Muodostetaan geometrinen jono.

1. vuoden alussa	[[$\text{1,009} \cdot 1000 \text{ €} $]]
2. vuoden lopussa	[[$\text{1,009} \cdot (\text{1,009} \cdot 1000 \text{ €} +1000 \text{ €})$]] [[$= \text{1,009}^2 \cdot 1000 \text{ €} + \text{1,009} \cdot 1000 \text{ €}$]]
3. vuoden lopussa	[[$\text{1,009} \cdot (\text{1,009}^2 \cdot 1000 \text{ €} +\text{1,009} \cdot 1000 \text{ €} +1000 \text{ €})$]] [[$=\text{1,009}^3 \cdot 1000 \text{ €} + \text{1,009}^2 \cdot 1000 \text{ €} + \text{1,009} \cdot 1000 \text{ €}$]]
4. vuoden lopussa	[[$\text{1,009}^4 \cdot 1000 \text{ €} + \text{1,009}^3 \cdot 1000 \text{ €} + \text{1,009}^2 \cdot 1000 \text{ €} + \text{1,009} \cdot 1000 \text{ €}$]] [[$ = 1000 \text{ €} \cdot (\text{1,009}^4 +\text{1,009}^3 + \text{1,009}^2 +\text{1,009}) $]] [[$=\text{4090,81 €}$]]

iii)
Muodostetaan geometrinen summa [[$ (\text{1,009}^4+\text{1,009}^3+\text{1,009}^2+\text{1,009}) $]]:sta.
[[$ \begin{align}q&=\text{1,009}\\a_1&=\text{1,009}\\a_2&=\text{1,009} \cdot \text{1,009}=\text{1,009}^2\\n&=4\\S_n&=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\\&=\frac{\text{1,009}(1-\text{1,009}^4)}{1-\text{1,009}}\\&=\text{4,09081}\end{align} $]]

Tällöin [[$ 1000 \,€ \cdot \text{4,09081}=\text{4090,81}\,€ $]]

Vastaus: Neljännen vuoden lopussa tilillä on rahaa 4090,81 €

Navigointi

2016-06-20T10:32:59+03:00

Sisällys Luvun sisällys Sivun alkuun