5.2 Aritmeettinen lukujono

Aritmeettinen lukujono

2016-09-14T11:41:29+03:00

Lukujonoa, jossa jonon jäsen (ensimmäistä lukuunottamatta) saadaan lisäämällä edelliseen jäseneen jokin vakio [[$ d $]], kutsutaan aritmeettiseksi lukujonoksi.

Aritmeettisen lukujonon säännön voi ilmoittaa joko analyyttisesti tai rekursiivisesti.

Aritmeettinen lukujono ilmaistuna rekursiivisen säännön mukaan on [[$ a_n=a_{n-1}+d $]], kaikilla [[$ n=2,3,4,... $]]. Tällöin [[$ a_2=a_1+d $]].

Kahden peräkkäisen jäsenen erotus [[$ d $]] on vakio ja riippumaton järjestysluvusta [[$ n $]].

Peräkkäisten jäsenten erotus

[[$ d = a_n - a_{n-1}, \quad$]] kaikilla [[$ n = 2,3,4,...$]]

Jos aritmeettisesta lukujonosta tunnetaan ensimmäinen (tai jokin muu) jäsen ja peräkkäisten jäsenten erotus [[$ d $]], mikä tahansa jäsen saadaan määritettyä näiden avulla.

1. jäsen [[$a_1$]]
2. jäsen [[$a_2=a_1 +d$]]
3. jäsen [[$a_3=a_2 +d=a_1 +d+d=a_1 +2d$]]
4. jäsen [[$a_4=a_3 +d=a_1 +2d+d=a_1 +3d$]]
[[$n$]]. jäsen [[$a_n=a_1 +(n-1)d$]]

Aritmeettinen lukujono ilmaistaan yleensä ylläolevan analyyttisen säännön avulla.

Aritmeettisen lukujonon yleinen jäsen saadaan kaavalla

[[$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$]]

jossa
[[$ a_n $]] on yleinen jäsen
[[$ a_1 $]] on ensimmäinen jäsen
[[$ n $]] on jäsenten lukumäärä
[[$ d $]] on peräkkäisten jäsenten erotus

Aritmeettinen lukujono joko kasvaa tai vähenee lineaarisesti, koska [[$ d $]] on vakio.

Esimerkkinä aidosti kasvava aritmeettinen lukujono, jonka ensimmäinen jäsen on [[$ -8 $]] ja [[$ d=2 $]].

Kuvassa on 10 ensimmäistä jäsentä.

Vastaavasti aidosti vähenevä aritmeettinen lukujono, jossa ensimmäinen jäsen on [[$ 15 $]] ja [[$ d=-2,5 $]].

GeoGebra-sovelma aritmeettisesta lukujonosta

2016-07-27T08:35:39+03:00

Alla olevalla sovelmalla voit kokeilla, miten lukujono muuttuu, kun muutat ensimmäisen jäsenen ja peräkkäisten jäsenten erotuksen. Huomaa, että sovelmassa lukuun pilkun paikalle tulee piste.

Esimerkki 1

2016-07-19T08:34:39+03:00

Onko lukujono [[$ 8, 15, 22, 30,... $]] aritmeettinen?

Ratkaisu:
Määritetään peräkkäisten jäsenten erotus [[$ d $]].

[[$ n $]]	[[$ a_n $]]	erotus [[$ d $]]
[[$ 1 $]]	[[$ 8 $]]
[[$ 2 $]]	[[$ 15 $]]	[[$ 15-8 =7 $]]
[[$ 3 $]]	[[$ 22 $]]	[[$ 22-15=7 $]]
[[$ 4 $]]	[[$ 30 $]]	[[$ 30-22=8 $]]

Peräkkäisten jäsenten erotus [[$ d $]] ei ole vakio, joten lukujono ei ole aritmeettinen.

Vastaus: Lukujono ei ole aritmeettinen.

Esimerkki 2

2016-07-18T16:57:00+03:00

Ilmoita aritmeettinen lukujono [[$ -17,-21,-25,... $]] rekursiivisesti ja analyyttisesti.

Ratkaisu:
Lukujonon ensimmäinen termi [[$ a_1=-17 $]].
Ratkaistaan peräkkäisten termien erotus [[$ d $]].

[[$ n $]]	[[$ a_n $]]	[[$ d $]]
[[$1$]]	[[$ -17 $]]
[[$2$]]	[[$ -21 $]]	[[$ -21-(-17)=-4 $]]
[[$3$]]	[[$ -25 $]]	[[$ -25-(-21)=-4 $]]

[[$ d=-4 $]], joten rekursiivinen sääntö on
[[$ \begin{cases} a_1=-17 \\ a_n= a_{n-1} -4 & \quad n=2,3,4,... \end{cases} $]]

Analyyttinen sääntö:
[[$a_n=a_1+(n-1)\cdot d=-17+(n-1)(-4)=-17-4n+4=-13-4n$]]

Vastaus:
Rekursiivinen sääntö on [[$ \begin{cases} a_1=-17 \\ a_n= a_{n-1} -4 & \quad n=2,3,4,... \end{cases} $]] ja analyyttinen sääntö on [[$a_n=-13-4n$]].

Esimerkki 3

2016-07-18T16:57:50+03:00

Määritä aritmeettisen lukujonon kymmenes jäsen.
a) [[$ 2, 5,8,... $]]
b) [[$ -4,-11,-18,... $]]

Ratkaisu:
a) Peräkkäisten jäsenten erotus
[[$ d=a_2-a_1=5-2=3 $]]
[[$ a_1=2 $]]

Kymmenes jäsen
[[$ a_{10}=a_1+(n-1) \cdot d=2+(10-1) \cdot 3=2+9 \cdot 3=29 $]]

b) Peräkkäisten jäsenten erotus
[[$ d=-11-(-4)=-7 $]]
[[$ a_1=-4 $]]

Kymmenes jäsen
[[$ a_{10}=a_1+(n-1) \cdot d=-4+(10-1) \cdot (-7)=-4+9 \cdot (-7)=-67 $]]

Vastaus:
a) [[$ 29 $]]
b) [[$ -67 $]]

Esimerkki 4

2016-07-19T09:24:35+03:00

Aritmeettinen lukujono on [[$ -1, 2 \frac{1}{2}, 6,... $]]
a) Kuinka mones jäsen lukujonossa on luku [[$ 2344 $]]?
b) Kuuluuko luku [[$ 3456 $]] lukujonoon?

Ratkaisu:
[[$ a_1=-1 $]]
[[$ d=a_2-a_1=2 \frac{1}{2}-(-1)=3 \frac{1}{2} $]]

a) Sijoitetaan [[$ 2344 $]] yleisen jäsenen kaavaan

[[$ a_n=a_1+(n-1) \cdot d$]]

[[$ \begin{align} 2344&=-1+(n-1) \cdot 3 \frac{1}{2}\\2344&=-1+3 \frac{1}{2}n-3 \frac{1}{2}\\2344&=-4 \frac{1}{2}+3 \frac{1}{2}n & \parallel & +4 \frac{1}{2}\\2348 \frac{1}{2}&=3 \frac{1}{2}n & \parallel & :3 \frac{1}{2}\\671&=n \end{align} $]]

Luku [[$ 2344 $]] on [[$ 671. $]] jäsen.

b) Sijoitetaan [[$ 3456 $]] yleisen jäsenen kaavaan:
[[$ \begin{align} 3456&=-1+(n-1) \cdot 3 \frac{1}{2}\\3456&=-1+ 3 \frac{1}{2}n - 3 \frac{1}{2}\\3456&=-4 \frac{1}{2} + 3 \frac{1}{2} n & \parallel & +4 \frac{1}{2}\\3460 \frac{1}{2}&=3 \frac{1}{2} n & \parallel & :3 \frac{1}{2}\\\text{988,714} & \approx n \end{align} $]]

Järjestysluvun [[$ n $]] pitää olla kokonaisluku ja koska se ei tässä tapauksessa ole, luku [[$ 3456 $]] ei kuulu lukujonoon.

Vastaus:
a) Luku on 671. jäsen
b) Luku 3456 ei kuulu lukujonon jäsen.

Navigointi

2016-06-20T10:33:54+03:00

Sisällys Luvun sisällys Sivun alkuun