https://peda.net/id/5dd565b2963a1 2026-08-12T13:41:25+03:00 https://peda.net/:static/547/peda.net.logo.bg.svg <div class="license">Tämän sivun lisenssi <a rel="license noopener" href="https://peda.net/info" target="_blank">Peda.net-yleislisenssi</a></div> https://peda.net/id/7a55f346963a1 2025-08-07T07:11:39+03:00 <a href="https://peda.net/salo/koulut/halikon-lukio/oppiaineet/pitk%C3%A4-matematiikka/maa5-1/1.-trigonometriaa/radiaani/kuva1.png#top" title="kuva1.PNG" target="_blank" rel="noopener"><img src="https://peda.net/salo/koulut/halikon-lukio/oppiaineet/pitk%C3%A4-matematiikka/maa5-1/1.-trigonometriaa/radiaani/kuva1.png:file/photo/79e7ac9bad84ced28f4e3c6565c6a56ebc57d5af/kuva1.PNG" alt="" title="kuva1.PNG" class="inline" loading="lazy"/></a><br/> Radiaani on kulman absoluuttinen yksikkö.<br/> <br/> <span><span>- Asteiden ja radiaanien välinen yhteys<br/> <br/> Jos kulma α = 360° (täysi kulma tai täysi kierros ympyrällä), niin ympyrän kaaren b pituus on ympyrän kehän pituus eli </span></span> <div>b = 2πr</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=360%C2%B0%3D%5Calpha%3D%5Cfrac%7Bb%7D%7Br%7D%3D%5Cfrac%7B2%5Cpi%20r%7D%7Br%7D%3D2%5Cpi%5C%20%5C%20eli%5C%20360%C2%B0%3D2%5Cpi%5C%20%5Cleft(rad%5Cright)" alt="360°=\alpha=\frac{b}{r}=\frac{2\pi r}{r}=2\pi\ \ eli\ 360°=2\pi\ \left(rad\right)"/></div> <span><span><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5CRightarrow%5C%20180%C2%B0%3D%5Cpi" alt="\Rightarrow\ 180°=\pi"/><br/> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=180%C2%B0%3D%5Cpi%5C%20%5C%20%5Cmid%3A180" alt="180°=\pi\ \ \mid:180"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=1%C2%B0%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B180%7D%5Cleft(rad%5Cright)%5Capprox0%7B%2C%7D01745" alt="1°=\frac{\pi}{180}\left(rad\right)\approx0{,}01745"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cpi%3D180%C2%B0%5C%20%5Cmid%3A%5Cpi" alt="\pi=180°\ \mid:\pi"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=1%5C%20%5Cleft(rad%5Cright)%3D%5Cfrac%7B180%7D%7B%5Cpi%7D%C2%B0%5Capprox57%7B%2C%7D29%C2%B0" alt="1\ \left(rad\right)=\frac{180}{\pi}°\approx57{,}29°"/><br/> <br/> </span></span> 2026-08-12T13:42:12+03:00 https://peda.net/id/a97db6f4963a1 2026-08-17T09:25:54+03:00 <span>Trigonometriset funktio, kulman sini ja kosini (+tangetti) määritellään yksikköympyrällä, jonka keskipiste on origo ja säde on 1.</span> <div>Koordinaatistossa tämän ympyrän yhtälö keskipistemuodossa on <br/> <br/> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E2%2By%5E2%3D1%5C%20%5C%20%5Cleft(%5Cleft(x-0%5Cright)%5E2%2B%5Cleft(y-0%5Cright)%5E2%3D1%5E2%5Cright)" alt="x^2+y^2=1\ \ \left(\left(x-0\right)^2+\left(y-0\right)^2=1^2\right)"/></div> <div>Kulman kärki on origossa ja kulman alkukylki on aina x-akselin positiivinen osa.<br/> <br/> </div> <div>Jokaisella kulmalla α on kehäpiste P eli piste, jossa kulman loppukylki leikkaa ympyrän kehän.<br/> <br/> <a href="https://peda.net/salo/koulut/halikon-lukio/oppiaineet/pitk%C3%A4-matematiikka/maa5-1/1.-trigonometriaa/yksikkoympyra/kuva2.png2#top" title="kuva2.PNG" target="_blank" rel="noopener"><img src="https://peda.net/salo/koulut/halikon-lukio/oppiaineet/pitk%C3%A4-matematiikka/maa5-1/1.-trigonometriaa/yksikkoympyra/kuva2.png2:file/photo/25f6aba6d1dc9bf54104369f0a87feadb3b64c36/kuva2.PNG" alt="" title="kuva2.PNG" class="inline" loading="lazy"/></a><br/> <br/> <div>Esimerkiksi</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=kulman%5C%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%5Cleft(%3D90%C2%B0%5Cright)%5C%20keh%C3%A4piste%5C%20on%5C%20%5Cleft(0%7B%2C%7D%5C%201%5Cright)" alt="kulman\ \frac{\pi}{2}\left(=90°\right)\ kehäpiste\ on\ \left(0{,}\ 1\right)"/></div> <div> </div> <span>Sama ympyrän kehäpiste voi olla usealla eri kulmalla<br/> <br/> </span> <div>Tarkastellaan kehäpistettä (-1, 0)</div> <div>sitä vastaa kulma π, mutta jos tähän kulmaan lisätään tai vähennetään täysi kierros 2π tai täysiä kierroksia</div> <div>päädytään samaan kehäpisteeseen</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=eli%5C%20keh%C3%A4pistett%C3%A4%5C%20%5Cleft(-1%7B%2C%7D0%5Cright)%5C%20vastaavat%5C%20kulmat%5C%20%5Cpi%7B%2C%7D%5C%20%5Cpi%2B2%5Cpi%3D3%5Cpi%7B%2C%7D%5C%20%5Cpi%2B2%5Ccdot2%5Cpi%3D5%5Cpi%5C%20jne" alt="eli\ kehäpistettä\ \left(-1{,}0\right)\ vastaavat\ kulmat\ \pi{,}\ \pi+2\pi=3\pi{,}\ \pi+2\cdot2\pi=5\pi\ jne"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=tai%5C%20%5Cpi-2%5Cpi%3D-%5Cpi%7B%2C%7D%5C%20%5Cpi-2%5Ccdot2%5Cpi%3D-3%5Cpi%5C%20jne" alt="tai\ \pi-2\pi=-\pi{,}\ \pi-2\cdot2\pi=-3\pi\ jne"/><br/> <div><br/> Kotitehtävät: 108, 111, 112 ja 113</div> </div> 2026-08-12T13:43:32+03:00 https://peda.net/id/d2b7b720963a1 2026-08-18T12:16:13+03:00 <span class="medium"><a href="https://peda.net/salo/koulut/halikon-lukio/oppiaineet/pitk%C3%A4-matematiikka/maa5-1/1.-trigonometriaa/sinin-ja-kosinin-maaritelma/sini-ja-kosini.png#top" title="sini ja kosini.PNG" target="_blank" rel="noopener"><img src="https://peda.net/salo/koulut/halikon-lukio/oppiaineet/pitk%C3%A4-matematiikka/maa5-1/1.-trigonometriaa/sinin-ja-kosinin-maaritelma/sini-ja-kosini.png:file/photo/1a211d76a66d2c690ddc841d09aced590c2203e9/sini%20ja%20kosini.PNG" alt="" title="sini ja kosini.PNG" class="inline" loading="lazy"/></a></span><br/> <br/> <br/> <span>Kulman α sini ja kosini voidaan määritellä kuvan suorakulmaisen kolmion avulla, jossa kateetit ovat x ja y sekä hypotenuusa 1 (ympyrän säde).</span> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Csin%5Calpha%3D%5Cfrac%7By%7D%7B1%7D%3Dy" alt="\sin\alpha=\frac{y}{1}=y"/></div> <span>eli kulman sini on kulmaa vastaavan kehäpisteen y-koordinaatti</span><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Ccos%5Calpha%3D%5Cfrac%7Bx%7D%7B1%7D%3Dx" alt="\cos\alpha=\frac{x}{1}=x"/> <div>eli kulman kosini on kehäpisteen x-koordinaatti</div> <div>Tämä on voimassa kaikille kulmille α<br/> <br/> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Nyt%5C%20voidaan%5C%20merkit%C3%A4%3A%5C%20kulman%5C%20%5Calpha%5C%20keh%C3%A4piste%5C%20P%5C%20%3D%5C%20%5Cleft(x%7B%2C%7D%5C%20y%5Cright)%3D%5Cleft(%5Ccos%5Calpha%7B%2C%7D%5C%20%5Csin%5Calpha%5Cright)" alt="Nyt\ voidaan\ merkitä:\ kulman\ \alpha\ kehäpiste\ P\ =\ \left(x{,}\ y\right)=\left(\cos\alpha{,}\ \sin\alpha\right)"/><br/> <br/> </div> <div>Nyt nähdään yksikköympyrältä helposti, että kulman π kehäpiste (-1, 0).</div> <div>Tämän perusteella sinπ =0 ja cosπ = -1 (nähdään myös laskimella tai taulukkokirjasta)</div> <div> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Mik%C3%A4%5C%20on%5C%20kulman%5C%20250%C2%B0%5C%20ja%5C%20%5Cfrac%7B7%5Cpi%7D%7B4%7D%5C%20keh%C3%A4piste%3F" alt="Mikä\ on\ kulman\ 250°\ ja\ \frac{7\pi}{4}\ kehäpiste?"/></div> <div> </div> <div> </div> <div> </div> <h3>Sinin ja kosinin etumerkit eri neljänneksissä:<br/> <br/> <a href="https://peda.net/salo/koulut/halikon-lukio/oppiaineet/pitk%C3%A4-matematiikka/maa5-1/1.-trigonometriaa/sinin-ja-kosinin-maaritelma/geogebra-export.png#top" title="geogebra-export.png" target="_blank" rel="noopener"><img src="https://peda.net/salo/koulut/halikon-lukio/oppiaineet/pitk%C3%A4-matematiikka/maa5-1/1.-trigonometriaa/sinin-ja-kosinin-maaritelma/geogebra-export.png:file/photo/ce52ed747bf28044ca374b77bfe9da7bffb3c6b8/geogebra-export.png" alt="" title="geogebra-export.png" class="inline" loading="lazy"/></a><br/> <br/> </h3> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Csin%5Calpha%3E0%5C%20I%3Ass%C3%A4%5C%20ja%5C%20II%3Assa%5C%20sek%C3%A4%5C%20%5Ccos%5Calpha%3E0%5C%20I%3Ass%C3%A4%5C%20ja%5C%20IV%3Assa" alt="\sin\alpha\gt 0\ I:ssä\ ja\ II:ssa\ sekä\ \cos\alpha\gt 0\ I:ssä\ ja\ IV:ssa"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Csin%5Calpha%3C0%5C%20III%3Assa%5C%20ja%5C%20IV%3Assa%5C%20ja%5C%20%5Ccos%5Calpha%3C0%5C%20II%3Assa%5C%20ja%5C%20III%3Assa" alt="\sin\alpha\lt 0\ III:ssa\ ja\ IV:ssa\ ja\ \cos\alpha\lt 0\ II:ssa\ ja\ III:ssa"/> <div><br/> <br/> </div> <h3><b>Sinin ja kosinin perusominaisuuksia</b></h3> <div> </div> <div>1. Arvojoukko<br/> <br/> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=-1%5Cle%5Csin%5Calpha%5Cle1%5C%20%5C%20ja%5C%20-1%5Cle%5Ccos%5Calpha%5Cle1%5C%20eli%5C" alt="-1\le\sin\alpha\le1\ \ ja\ -1\le\cos\alpha\le1\ eli\"/></div> <div>eli sinin ja kosinin arvojoukko on [-1, 1]</div> <div>koska yksikköympyrällä kehäpisteen x ja y-koordinaatti on suurimmillaan 1 ja pienimmillään -1</div> <div> </div> <div>2. Jaksollisuus</div> <div> </div> <div>Jos kulmaan α lisätään tai vähennetään täysiä kierroksia niin päädytään samaan kehäpisteeseen.</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Csin%5Cleft(%5Calpha%5Cright)%3D%5Csin%5Cleft(%5Calpha%2Bn%5Ccdot2%5Cpi%5Cright)%3Dy" alt="\sin\left(\alpha\right)=\sin\left(\alpha+n\cdot2\pi\right)=y"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Ccos%5Cleft(%5Calpha%5Cright)%3D%5Ccos%5Cleft(%5Calpha%2Bn%5Ccdot2%5Cpi%5Cright)%3Dx%5C%20%7B%2C%7D%5C%20n%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%5C%20%5Cleft(n%5C%20voi%5C%20olla%5C%20mik%C3%A4%5C%20tahansa%5C%20kokonaisluku%5Cright)" alt="\cos\left(\alpha\right)=\cos\left(\alpha+n\cdot2\pi\right)=x\ {,}\ n\in\mathbb{Z}\ \left(n\ voi\ olla\ mikä\ tahansa\ kokonaisluku\right)"/><br/> <div>Sanotaan, että sinin ja kosinin jaksona on 2π (ovat 2π jaksollisia)</div> <div> </div> <div>3. Trigonometrian perusyhtälö</div> <div> </div> <div>Kuvan suorakulmaiselle kolmiolle on voimassa Pythagoraan lause</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E2%2By%5E2%3D1%7B%2C%7D%5C%20jossa%5C%20x%3D%5Ccos%5Calpha%5C%20ja%5C%20y%3D%5Csin%5Calpha%7B%2C%7D%5C%20joten" alt="x^2+y^2=1{,}\ jossa\ x=\cos\alpha\ ja\ y=\sin\alpha{,}\ joten"/></div> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cleft(%5Ccos%5Calpha%5Cright)%5E2%2B%5Cleft(%5Csin%5Calpha%5Cright)%5E2%3D1%7B%2C%7D%5C%20nyt%5C%20merkit%C3%A4%C3%A4n%5C%20%5Cleft(%5Csin%5Calpha%5Cright)%5E2%3D%5Csin%5E2%5Calpha%5C%20ja%5C%20%5Cleft(%5Ccos%5Calpha%5Cright)%5E2%3D%5Ccos%5E2%5Calpha" alt="\left(\cos\alpha\right)^2+\left(\sin\alpha\right)^2=1{,}\ nyt\ merkitään\ \left(\sin\alpha\right)^2=\sin^2\alpha\ ja\ \left(\cos\alpha\right)^2=\cos^2\alpha"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=eli%5C%20Trigonometrian%5C%20perusyht%C3%A4l%C3%B6%5C%20on%5C%20%5Csin%5E2%5Calpha%2B%5Ccos%5E2%5Calpha%3D1%5C" alt="eli\ Trigonometrian\ perusyhtälö\ on\ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\"/> <div>Tämä on Pythagoraan lause yksikköympyrällä (ympyrän jokainen kehäpiste toteuttaa yhtälön)</div> <div> </div> <div><br/> <br/> <br/> <span>Määritä kulman α kehäpiste, kun</span> <div>a)</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Calpha%3D-%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7B3%7D" alt="\alpha=-\frac{2\pi}{3}"/></div> <span>Kulman kehäpiste saadaan, kun määritetään cosα ja sinα. Nyt kehäpiste on III-neljänneksessä, jossa sinα ja cosα ovat negatiivisia.</span> <div>Nyt saadaan kehäpisteelle tarkka arvo, jolloin käytetään taulukkoa apuna.</div> <div>Taulukoikossa on tarkat arvot kulmille väliltä 0 - 2π. Jos kulma ei ole tällä välillä niin silloin voidaan käyttää sinin ja kosinin jaksollisuutta eli lisätään tai vähennetään tähän kulmaan 2π tai sen monikertoja.</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=-%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7B3%7D%2B2%5Cpi%3D%5Cfrac%7B4%5Cpi%7D%7B3%7D%5C%20eli%5C%20%5Csin%5Cleft(-%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B3%7D%5Cright)%3D%5Csin%5Cleft(%5Cfrac%7B4%5Cpi%7D%7B3%7D%5Cright)%3D-%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B2%7D" alt="-\frac{2\pi}{3}+2\pi=\frac{4\pi}{3}\ eli\ \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}"/></div> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Ccos%5Cleft(-%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B3%7D%5Cright)%3D%5Ccos%5Cleft(%5Cfrac%7B4%5Cpi%7D%7B3%7D%5Cright)%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%20eli%5C%20P%3D%5Cleft(-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7B%2C%7D-%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B2%7D%5Cright)" alt="\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}\ eli\ P=\left(-\frac{1}{2}{,}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)"/> <div> </div> <div>b)</div> <div>Jos kulma on yli 2π niin silloin voidaan vähentää 2π tai sen monikertoja</div> <div>Huom!</div> <div>Voidaan ajatella myös seuraavasti: </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Calpha%3D%5Cfrac%7B21%5Cpi%7D%7B4%7D%3D5%5Cpi%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5Cpi%3D%5Cfrac%7B5%5Cpi%7D%7B4%7D%2B2%5Ccdot2%5Cpi" alt="\alpha=\frac{21\pi}{4}=5\pi+\frac{1}{4}\pi=\frac{5\pi}{4}+2\cdot2\pi"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=nyt%5C%20kulmalla%5C%20%5Calpha%5C%20on%5C%20sama%5C%20keh%C3%A4piste%5C%20kuin%5C%20kulmalla%5C%20%5Cfrac%7B5%5Cpi%7D%7B4%7D" alt="nyt\ kulmalla\ \alpha\ on\ sama\ kehäpiste\ kuin\ kulmalla\ \frac{5\pi}{4}"/></div> <div><br/> Kotitehtävät: 128, 129, 131 ja 136</div> </div> 2026-08-12T13:44:41+03:00 https://peda.net/id/6ae9b0fe9ba41 2026-08-19T11:04:23+03:00 <a href="https://peda.net/salo/koulut/halikon-lukio/oppiaineet/pitk%C3%A4-matematiikka/maa5-1/1.-trigonometriaa/muita-ominaisuuksia2/geogebra-export.png#top" title="geogebra-export.png" target="_blank" rel="noopener"><img src="https://peda.net/salo/koulut/halikon-lukio/oppiaineet/pitk%C3%A4-matematiikka/maa5-1/1.-trigonometriaa/muita-ominaisuuksia2/geogebra-export.png:file/photo/c194084289341bff3ec3e6e57abfaa49bb12ce6f/geogebra-export.png" alt="" title="geogebra-export.png" class="inline" loading="lazy"/></a><br/> <br/> <br/> <span>Peilataan kulman α kehäpiste P = (x, y) y-akselin suhteen. Saadaan uusi kehäpiste, jossa y-koord säilyy samana ja x-koord muuttuu vastakkaismerkkiseksi eli uusi kehäpiste P = (-x, y), joka on kulman π - α kehäpiste. Tämän perusteella saadaan<br/> <br/> </span> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Csin%5Calpha%3D%5Csin%5Cleft(%5Cpi-%5Calpha%5Cright)%5Cleft(%3Dy%5Cright)" alt="\sin\alpha=\sin\left(\pi-\alpha\right)\left(=y\right)"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=kulmat%5C%20%5Calpha%5C%20ja%5C%20%5Cpi-%5Calpha%5C%20ovat%5C%20toistensa%5C%20%5Csup%20lementtikulmia%5C%20%5Cleft(summa%5C%20on%5C%20%5Cpi%5Cright)" alt="kulmat\ \alpha\ ja\ \pi-\alpha\ ovat\ toistensa\ \sup lementtikulmia\ \left(summa\ on\ \pi\right)"/></div> <div>eli kulman ja sen suplementtikulman sinit ovat yhtäsuuret.<br/> <br/> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Toinen%5C%20yhteys%3A%5C%20%5Ccos%5Cleft(%5Cpi-%5Calpha%5Cright)%3D-%5Ccos%5Calpha%5C%20%5Cleft(%5Ccos%5Calpha%3D-%5Ccos%5Cleft(%5Cpi-%5Calpha%5Cright)%5Cright)" alt="Toinen\ yhteys:\ \cos\left(\pi-\alpha\right)=-\cos\alpha\ \left(\cos\alpha=-\cos\left(\pi-\alpha\right)\right)"/></div> <div> </div> <div>Jos α-kulman kehäpiste P = (x, y) peilataan x-akselin suhteen niin kehäpisteen x-koord säilyy samana mutta y-koord muuttuu vastakkaismerkkiseksi eli kulman α vastakulman, -α:n kehäpiste P = (x, -y)<br/> <br/> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=kulman%5C%20%5Calpha%5C%20ja%5C%20sen%5C%20vastakulman%5C%20-%5Calpha%5C%20ko%5Csin%20it%5C%20ovat%5C%20yht%C3%A4%5C%20suuret%5C%20eli%5C" alt="kulman\ \alpha\ ja\ sen\ vastakulman\ -\alpha\ ko\sin it\ ovat\ yhtä\ suuret\ eli\"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Ccos%5Calpha%3D%5Ccos%5Cleft(-%5Calpha%5Cright)" alt="\cos\alpha=\cos\left(-\alpha\right)"/><br/> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Toinen%5C%20yhteys%3A%5C%20%5Csin%5Cleft(-%5Calpha%5Cright)%3D-%5Csin%5Calpha" alt="Toinen\ yhteys:\ \sin\left(-\alpha\right)=-\sin\alpha"/></div> <div> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Nyt%5C%20on%5C%20helpompi%5C%20m%C3%A4%C3%A4ritt%C3%A4%C3%A4%5C%20esim%5C%20%5Ccos%5Cleft(-%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7B3%7D%5Cright)%3D%5Ccos%5Cleft(%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7B3%7D%5Cright)%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D" alt="Nyt\ on\ helpompi\ määrittää\ esim\ \cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right)=\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Vastaavasti%5C%20%5Csin%5Cleft(-%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7B3%7D%5Cright)%3D-%5Csin%5Cleft(%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7B3%7D%5Cright)%3D-%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B2%7D" alt="Vastaavasti\ \sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)=-\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}"/></div> <div> </div> <div><br/> <br/> <br/> <span>Trigonometrian perusyhtälö</span> <div> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Csin%5E2%5Calpha%2B%5Ccos%5E2%5Calpha%3D1%7B%2C%7D%5C%20jossa%5C%20merkit%C3%A4%C3%A4n%5C%20%5Csin%5E2%5Calpha%3D%5Cleft(%5Csin%5Calpha%5Cright)%5E2" alt="\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1{,}\ jossa\ merkitään\ \sin^2\alpha=\left(\sin\alpha\right)^2"/></div> <br/> <div>Tässä kulman α kehäpiste P = (x, y) = (cosα, sinα) eli kyseessä on Pythagoraan lause yksikköympyrällä.</div> <div> </div> <div>Trig perusyhtälöä joudutaan käyttämään, jos tiedetään sinα ja joudutaan määrittämään cosα (tai päinvastoin)</div> <div><br/> Esimerkki</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Tie%5Cdet%C3%A4%C3%A4n%7B%2C%7D%5C%20ett%C3%A4%5C%20%5Ccos%5Calpha%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%5C%20ja%5C%20%5Cpi%3C%5Calpha%3C2%5Cpi.%5C%20M%C3%A4%C3%A4rit%C3%A4%5C%20%5Csin%5Calpha%5C%20%5Cleft(tarkka%5C%20arvo%5Cright)." alt="Tie\detään{,}\ että\ \cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{5}}\ ja\ \pi\lt \alpha\lt 2\pi.\ Määritä\ \sin\alpha\ \left(tarkka\ arvo\right)."/><br/> <div>Mietitään, missä neljänneksessä kulma ja kehäpiste sijaitsee. Tämän avulla voidaan päätellä onko sinα &gt; 0 vai onko sinα &lt; 0</div> <div> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Ccos%5Calpha%3C0%5C%20eli%5C%20ollaan%5C%20joko%5C%20II%5C%20tai%5C%20III-nelj%C3%A4nneksess%C3%A4%5C%20ja" alt="\cos\alpha\lt 0\ eli\ ollaan\ joko\ II\ tai\ III-neljänneksessä\ ja"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cpi%3C%5Calpha%3C2%5Cpi%5C%20eli%5C%20ollaan%5C%20III-%5C%20tai%5C%20IV-nelj%C3%A4nneksess%C3%A4" alt="\pi\lt \alpha\lt 2\pi\ eli\ ollaan\ III-\ tai\ IV-neljänneksessä"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5CRightarrow%5C%20kulma%5C%20ja%5C%20sen%5C%20keh%C3%A4piste%5C%20on%5C%20nyt%5C%20III%3Assa%7B%2C%7D%5C%20jossa%5C%20%5Csin%5Calpha%3C0" alt="\Rightarrow\ kulma\ ja\ sen\ kehäpiste\ on\ nyt\ III:ssa{,}\ jossa\ \sin\alpha\lt 0"/><br/> <div> </div> <div>Käytetään trigonometrian perusyhtälöä</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Csin%5E2%5Calpha%2B%5Ccos%5E2%5Calpha%3D1%5C%20%5C%20%5C%20%5Cleft(%5Cleft(%5Csin%5Calpha%5Cright)%5E2%2B%5Cleft(%5Ccos%5Calpha%5Cright)%5E2%3D1%5Cright)" alt="\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\ \ \ \left(\left(\sin\alpha\right)^2+\left(\cos\alpha\right)^2=1\right)"/></div> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Csin%5E2%5Calpha%2B%5Cleft(-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%5Cright)%5E2%3D1%5C%20%5C%20%5C%20%5CLeftrightarrow%5C%20%5C%20%5Csin%5E2%5Calpha%3D1-%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D%3D%5Cfrac%7B4%7D%7B5%7D" alt="\sin^2\alpha+\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2=1\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin^2\alpha=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5CLeftrightarrow%5C%20%5Csin%5Calpha%3D%5Cpm%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B4%7D%7B5%7D%7D%3D-%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D" alt="\Leftrightarrow\ \sin\alpha=\pm\sqrt{\frac{4}{5}}=-\frac{2}{\sqrt{5}}"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Kulman%5C%20%5Calpha%5C%20keh%C3%A4piste%5C%20on%5C%20%5Cleft(-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B%2C%7D-%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%5Cright)" alt="Kulman\ \alpha\ kehäpiste\ on\ \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}{,}-\frac{2}{\sqrt{5}}\right)"/><br/> <br/> <br/> </div> <div> </div> <div>Trigonometriassa tarvitaan sinin ja kosinin kaksinkertaisia kulmia, jotka määritellään</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Csin2%5Calpha%3D2%5Csin%5Calpha%5Ccos%5Calpha" alt="\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Ccos2%5Calpha%3D%5Ccos%5E2%5Calpha-%5Csin%5E2%5Calpha" alt="\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha"/><br/> <div> </div> </div> 2026-08-19T11:03:09+03:00