4.5 Logaritmi

2016-07-19T09:58:40+03:00

Tässä luvussa tarkastelemme logaritmifunktiota, joka on käänteinen toiminto eksponenttifunktiolle.

Tutkimus
Laske ensin laskimella eksponenttifunktion [[$10^x$]] arvoja, kun [[$x$]] saa kokonaislukuarvoja [[$-2,...,5$]]
Kirjaa tulokset.

Laske sen jälkeen laskimen log-näppäimellä lausekkeen [[$\log a$]] arvoja. Sijoita luvun [[$a$]] paikalle äsken saamasi tulokset. Mitä huomaat?

Katso tästä Tutkimuksen tulokset.

Logaritmin määritelmä

2016-07-29T07:45:09+03:00

Logaritmi merkitsee eksponenttiyhtälön ratkaisua

[[$x = \log_a b \Leftrightarrow a^x = b , \quad a > 0 , a \neq 1$]]

Logaritmin merkinnässä luku [[$a$]] on kantaluku ja luku [[$b$]] on numerus.

Funktion [[$2^x$]] kuvaaja saa kaikki positiiviset arvot. Funktion arvo kasvaa aina kun [[$x$]] kasvaa. Näin logaritmi on määritelty aina, kun [[$b > 0 $]] ja sen arvona voi olla mikä hyvänsä reaaliluku.

Logaritmifunktion kuvaajat

Logaritmifunktion määrittelyjoukko ja arvojoukko

[[$$ \begin{align} f(x) &= \log_a b \\ \mathbf{M}_f &= \mathbf{R}_+ \\ \mathbf{A}_f &= \textrm{R} \end{align} $$]]

Esimerkki 1

a) Merkitse luku [[$x$]] logaritmina, kun [[$5^x = 37$]]
b) Ratkaise luku [[$y$]], kun [[$\log_3 y = 2$]].

Ratkaisu:
a) Logaritmin määritelmän mukaan [[$a^x = b \Leftrightarrow x= \log_a b$]], joten [[$x = \log_5 37$]].

b) Logaritmin määritelmässä kantalukuna [[$a$]] on luku [[$3$]] ja logaritmin arvon [[$x$]] paikalla luku 2. Siten [[$y = 3^2 = 9 $]].

Logaritmijärjestelmät

2016-07-27T09:24:16+03:00

Ensimmäisessä tutkimuksessa käytettiin kantalukua 10. Tavanomaisesti laskimesta löytyy kaksi logarimia. Näppäin log merkitsee logaritmia, jonka kantaluku on 10 sekä näppäin ln luonnollista logaritmia, jota ei käsitellä tässä kurssissa.

Briggsin logaritmi

Logaritmia, jonka kantaluku on kymmenen, kutsutaan Briggsin logaritmiksi ja merkitään [[$\log_{10} b = \lg b$]].

10-kantaisen logaritmin määritelmä

[[$$10^x = b \Leftrightarrow x = \lg b, \quad (b > 0 ) $$]]

Esimerkki 2

2016-07-18T15:02:19+03:00

Ratkaise yhtälöt a) [[$10^x =243 \quad $]] b) [[$3\cdot 100^x =60$]]

Ratkaisu:
a) Logaritmin määritelmän mukaan [[$10^x = 243 \Leftrightarrow x = \lg 243 = \text{2,385}... \approx \text{2,39} $]]

b) Ratkaistaan ensin luvun 10 potenssi.
[[$ \begin{align} 3 \cdot 100^x &=60 &&| : 3 \\ 100^x&=20 &&| 100 = 10^2 \\ (10^2)^x &= 20 &&| (a^b)^c = a^{bc} \\ 10^{2x} &= 20 &&\\ 2x &= \lg 20 &&|:2 \\ x&=\frac{\lg 20 }{2} = \text{0,6505}... \approx \text{0,65}&& \end{align}$]]

Muut kantaluvut

2016-07-19T10:00:40+03:00

Muut kantaluvut

Kun eksonenttiyhtälön kantaluku on muu kuin 10, ratkaisu saadaan käyttämällä kaavaa [[$\log_a b = \dfrac{\log_k b}{\log_k a}$]]. Tämä kaava perustellaan pitkän matematiikan kurssilla 8. Sillä saadaan laskettua logaritmin likiarvoja, kun valitaan kantaluvuksi [[$k$]] luku 10.

*Logaritmiin perustuvia mitta-asteikoita

Jotkin luonnonilmiöihin ja fysiikkaan liittyvät mitta-asteikot perustuvat logaritmiseen asteikkoon. Tällaisia ovat mm. liuoksen happamuutta kuvaava pH-asteikko sekä maanjäristyksien voimakkuuksien mittaus Richterin asteikkoon perustuvalla asteikolla. Lisätietoa näistä asteikosta löytyy alaluvusta 4.5.1.

Esimerkki 3

2016-07-18T15:03:42+03:00

Ratkaise yhtälöt a) [[$6^x = 245\quad $]] b) [[$5^x = - 25$]]

Ratkaisu:
a)
[[$\begin{align}6^x&=245 &&|\text{ ratkaisu 6-kantaisena logaritmina} \\ x&= \log _6 245 &&|\text{ lasketaan likarvo käyttämällä muunnoskaavaa} \\ x &= \frac{\lg 245}{\lg 6} = \text{3,07}... \approx \text{3,1}&&\end{align}$]]

b) Eksponenttifunktio [[$5^x$]] saa vain positiivisia arvoja, eikä sen arvo voi koskaan olla yhtä suuri kuin –25. Siksi eksponenttiyhtälöllä ei ole ratkaisua. (Sama voidaan huomata myös ratkaisemalla [[$x=\log_5(-25)$]], jolloin negatiivisen luvun logaritmi ei ole määritelty.)

Esimerkki 4

2016-07-18T15:05:18+03:00

Bakteerit lisääntyvät niin, että yksi bakteeri jakautuu kahdeksi uudeksi bakteeriksi vuorokauden kuluessa. Oletetaan, että alussa on yksi bakteeri. Kuinka monen vuorokauden kuluttua bakteereja on miljoona kappaletta?

Ratkaisu:
Bakteereja on yhden vuorokauden kuluttua 1 [[$\cdot$]] 2 = 2 kpl. Kahden vuorokauden kuluttua niitä on 1 [[$ \cdot$]] 2 [[$\cdot$]] 2 = 4 kpl, kolmen vuorokauden kuluttua 2 [[$\cdot$]] 2 [[$\cdot$]] 2 = 2³ =8 kpl. Näin bakteerien määrä x vuorokauden kuluttua on 2^x.

Muodostetaan yhtälö 2^x = 1 000 000 ja ratkaistaan se logaritmin avulla.

[[$\begin{eqnarray} 2^x =& 1000000&& |\text{merkitään ratkaisu logaritmina} \\ x=&\log_2{1 000 000}&&|\log_a b = \frac{\log_k b}{\log_k a} \\x=&\frac{\lg 1 000 000}{\lg 2}&& \\ x = & \text{19,92}... \approx 20 && \end{eqnarray}$]]

Vastaus: Miljoonan raja on ylittynyt 20 vuoden kuluttua.

(Tehtävän ratkaisu voidaan tarkistaa laskemalla logaitmin arvo [[$ 2^{20} = 1 048 576 $]].)

Esimerkki 5. Eksponentin ratkaiseminen logaritmilla

2016-07-15T11:46:37+03:00

Navigointi

2016-06-20T09:38:57+03:00

Sisällys Luvun sisällys Sivun alkuun