4.3 Potenssiyhtälö

Tutki & Kokeile teknologian avulla

2016-07-27T07:07:11+03:00

Ratkaise seuraavat yhtälöt oheisen havainnollistamisen avulla.
a) [[$x^2=4\qquad$]] b) [[$x^2=-2\qquad$]] c) [[$x^3=8\qquad$]] d) [[$x^5=0$]]

Kuinka monta ratkaisua yhtälöllä [[$x^n=a $]] on?

Potenssiyhtälön ratkaiseminen

2016-07-27T09:22:30+03:00

Potenssiyhtälö on muotoa [[$x^n=a$]] oleva yhtälö, jossa [[$n$]] on positiivinen kokonaisluku. Eksponentin [[$n$]] arvoa kutsutaan potenssiyhtälön asteeksi. Potenssiyhtälö ratkaistaan juuren avulla.

Potenssiyhtälön ratkaisu

Yhtälön [[$x^n=a, \quad n=1, 2, 3, \dots$]]
ratkaisu on
[[$x=\sqrt[n]{a},\quad \text{jos }n \text{ on pariton}\\x=\pm \sqrt[n]{a},\quad \text{jos }n \text{ on parillinen ja }a\ge 0.$]]

Mikäli [[$n$]] on parillinen ja [[$a<0$]], potenssiyhtälöllä ei ole ratkaisuja, sillä minkään reaaliluvun parillinen potenssi ei ole negatiivinen.

Esimerkki 1

2016-07-18T14:52:17+03:00

Ratkaise yhtälöt.
a) [[$x^2=4 \quad $]] b) [[$x^{15}=165 \quad $]] c) [[$x^{10}=-10 \quad $]] d) [[$x^9=-10 \quad $]] e) [[$x^5=0$]]

Ratkaisu:
a) [[$x^2=4 \quad $]] Kyseessä parillinen potenssi.
[[$x=-\sqrt{4}$]] tai [[$x=\sqrt{4}$]]
[[$x=-2$]] tai [[$x=2$]]

b) [[$x^{15}=165 \quad $]] Kyseessä pariton potenssi.
[[$x=\sqrt[15]{165} \quad $]] Likiarvo laskimella
[[$x\approx \text{1,4}$]]

c) [[$x^{10}=-10$]]
Kaikkien reaalilukujen parillinen potenssi on ei-negatiivinen, joten yhtälöllä ei ole ratkaisuja.

d) [[$x^9=-10 \quad $]] Kyseessä pariton potenssi.
[[$x=\sqrt[9]{-10} \quad $]] Likiarvo laskimella
[[$x\approx -\text{1,3}$]]

e) [[$x^5=0 \quad $]] Ratkaisu voidaan päätellä suoraan tai laskea kuten pariton potenssiyhtälö yleisesti.
[[$x=\sqrt[5]{0} \quad $]] Likiarvo laskimella
[[$x=0$]]

Esimerkki 2

2016-07-15T15:21:43+03:00

Navigointi

2016-06-20T09:38:26+03:00

Sisällys Luvun sisällys Sivun alkuun