2. PROSENTTILASKENTA

Määritelmä

2016-07-27T09:18:21+03:00

Sana prosentti tulee latinan kielen ilmaisusta pro centum, mikä tarkoittaa kirjaimellisesti sataa kohden. Prosentteja käytetään ilmaisemaan suhteellista osuutta. Yksi prosentti (%) tarkoittaa yhtä sadasosaa ([[$\frac{1}{100}$]]).

Prosentti

[[$ 1 \text{ prosentti }= 1 \% = \dfrac{1}{100} = \text{0,01}$]]

Lisäksi on hyvä tietää, että
1 ‰ (yksi promille) on yksi tuhannesosa. 1 ‰ [[$=\frac{1}{1000}=\text{0,001}$]]
1 ppm ("parts per million") on yksi miljoonasosa [[$1 \text{ ppm}=\frac{1}{1000000}=\text{0,00001}$]]

Erilaisia tilanteita, joissa törmätään prosentteihin

2016-07-27T09:19:50+03:00

Kuinka paljon on [[$p$]] prosenttia luvusta [[$a$]]?

Esimerkiksi 30 prosenttia luvusta 200 on 0,3 [[$\cdot$]] 200 [[$ = $]] 60. Asia voidaan ajatella prosentin määritelmän kautta: 30 sataa kohti, eli 60 kahta sataa kohti.

Yleisesti [[$p$]] prosenttia luvusta [[$a$]] on [[$\dfrac{p}{100}$]] kerrottuna luvulla [[$a$]].

Kuinka monta prosenttia luku [[$a$]] on luvusta [[$b$]]?

Esimerkiksi luvun 100 prosentuaalinen osuus luvusta 300 on
[[$\dfrac{100}{300}= \text{0,333}...\approx 33\,\%.$]]

Yleisesti ongelma "Kuinka monta prosenttia [[$a$]] on luvusta [[$b$]]" lasketaan jakamalla [[$a$]] luvulla [[$b$]] ja muuttamalla tulos prosenteiksi.

Mikä luku saadaan, kun luku [[$a$]] muuttuu [[$p$]] prosenttia?

Kun esimerkiksi luku 10 kasvaa 40 prosenttia, lisätään alkuperäiseen lukuun 40 prosenttia aiemmasta luvusta. Lausekkeena tämä tarkoittaa [[$10+\dfrac{40}{100}\cdot 10=14$]]

Huomaa: +40 %, muutoskerroin on 1,4 (Koska 1 [[$+$]] 0,40 [[$=$]] 1,4) ja 1,4 [[$ \cdot$]] 10 [[$=$]] 14.

Muutoskerroin muodostuu, kun lukuun 10 (joka on 100 % luvusta 10) lisätään 40 % luvusta 10, jolloin kysytty luku on 140 % alkuperäisestä luvusta 10.
100 % [[$+ $]] 40 % [[$= $]] 140 % [[$= $]] 1,4

Vastaavasti luvun 10 vähentyessä 40 prosenttia, luvusta 10 vähennetään 40 prosenttia alkuperäisestä luvusta 10. Vastaukseksi saadaan [[$10-\dfrac{40}{100}\cdot 10=6$]].

Huomaa: –40%, muutoskerroin on 0,6 (Koska 1 – 0,40 [[$=$]] 0,6) ja 0,6 [[$\cdot$]] 10 [[$=$]] 6

Muutoskerroin muodostuu, kun luvusta 10 (joka on 100 % luvusta 10) otetaan pois 40 % luvusta 10, jolloin kysytty luku on 100 % – 40 % alkuperäisestä luvusta 10.
100 % [[$ -$]] 40 % [[$ =$]] 60 % [[$=$]] 0,6

Aina kun luku kasvaa, kertoimen on oltava suurempi kuin yksi ja vastaavasti kun luku pienenee, kertoimen on oltava itseisarvoltaan pienempi kuin yksi.

Yleisesti [[$p$]] prosenttia lukua [[$a$]] suurempi luku on [[$$a+\left(\dfrac{p}{100}\right) a=\left(1+\dfrac{p}{100}\right) a$$]] ja [[$p$]] prosenttia lukua [[$a$]] pienempi luku on [[$$a-\left(\dfrac{p}{100}\right) a=\left(1-\dfrac{p}{100}\right) a.$$]]

Kaikissa edellisissä oletettiin, että [[$a>0$]], [[$b>0$]] ja [[$p\geq 0$]].

Muutoskertoimen laskeminen korotuksiin ja alennuksiin

Jos luku kasvaa 30 %, se kerrotaan muutoskertoimella 1,3. (Kerroin on 1 [[$+ \frac{30}{100}$]])
Jos luku pienenee 15 %, se kerrotaan muutoskertoimella 0,85. (Kerroin on 1 [[$– \frac{15}{100}$]])
Jos luku kasvaa 100 %, se kerrotaan muutoskertoimella 2. (Kerroin on 1 [[$+ \frac{100}{100}$]])
Jos luku pienenee 50 %, se kerrotaan muutoskertoimella 0,5 (Kerroin on 1 [[$– \frac{50}{100}$]])

Kuinka monta prosenttia luku [[$a$]] on suurempi / pienempi kuin [[$b$]]?

Kun halutaan esimerkiksi tietää, kuinka paljon 110 on suurempi kuin 100, lasketaan erotuksen suuruus verrattuna arvoon 100. "Kuin"-sana viittaa verrattavaan arvoon (= perusarvoon). Vastaukseksi saadaan
[[$\dfrac{110-100}{100}=\dfrac{10}{100}=\text{0,1}=10\,\%.$]]

Tapa 2: Prosenttiero muutoskertoimen avulla

Lukujen suhteesta [[$\dfrac{a}{b}$]] saadaan muutoskerroin, jolla luku [[$a$]] on kerrottava, jotta saadaan [[$b$]]. Kysytty prosenttiero saadaan, kun vähennetään muutoskertoimesta 100 %.

Kuinka monta prosenttia 30 on suurempi kuin 25?
Muutoskertoimeksi saadaan [[$\frac{30}{25}=\text{1,2}$]].
Koska 1,2[[$-$]]100 % [[$=$]] 1,2 [[$-$]]1 [[$=$]] 0,2 [[$=$]] 20 %, niin luku 30 on 20 % suurempi kuin luku 25.

Kuinka monta prosenttia 25 on pienempi kuin 30?
Muutoskertoimeksi saadaan [[$\frac{25}{30}=\text{0,833}...$]].
Koska 0,833...[[$-$]]100 % [[$=$]] 0,833[[$...-$]]1 [[$=-$]]0,166 [[$...\approx -$]] 17 %, niin muutos on ollut –17 %,
joten luku 25 on noin 17% pienempi kuin luku 30.

Mistä luvusta [[$p$]] prosenttia on [[$a$]]?

Esimerkiksi, jos tuotteen verollinen hinta on 47,00 € ja hintaan sisältyy 24 % arvonlisävero, niin alkuperäinen veroton hinta saadaan laskettua ajattelemalla, että verollinen hinta on saatu korottamalla verotonta hintaa 24 prosenttia.
1,24 [[$\cdot x = $]] 47,00 €, josta verottomaksi hinnaksi saadaan [[$ \frac{\text{47,00 €}}{\text{1,24}}=$]] 37,90 €.

Esimerkki 1. Markkinointikulujen osuus yrityksen liikevaihdosta

2016-07-18T14:27:29+03:00

Eräs yritys käytti vuoden 2013 aikana 2500 euroa yrityksen markkinointiin. Yrityksen liikevaihto oli 80 000 €. Kuinka suuren osan liikevaihdosta yritys käytti markkinointiin?

Ratkaisu:
Halutaan tietää luvun 2500 osuus luvusta 80 000. Lasketaan:
[[$\dfrac{2500}{80 000}=\text{0,03125}\approx 3 \,\%$]]

Vastaus: Yritys käytti markkinointiin 3 % liikevaihdostaan.

Esimerkki 2. Farkkujen alennus

2016-07-18T14:28:33+03:00

Farkkujen hinta on 70 €, mutta siitä annetaan 30 % alennusta. Paljonko farkuista jää maksettavaa?

Ratkaisutapa 1:
Ratkaistaan kuinka paljon alennus 30 % on 70 eurosta.
Alennus on [[$\text{0,3}\cdot 70\,€=21\,€$]]
Vähennetään alennus alkuperäisestä hinnasta, jolloin uudeksi hinnaksi saadaan [[$70\, €-21\,€=49\,€$]]

Ratkaisutapa 2:
Huomataan, että 30 % alennuksen jälkeen uusi hinta on 70 % alkuperäisestä, jolloin voidaan suoraan laskea uusi hinta [[$\text{0,7}\cdot 70\,€=49\,€$]]

Vastaus: Farkuista jää maksettavaa 49 euroa.

Testaa taitosi!

2016-02-29T14:17:11+02:00

Mitä tyhjiin ruutuihin tulee?

p	p % a:sta	a kasvanut p %	a pienentynyt p %
5
	0,9·a
		1,2·a
			0,99·a
0,1
p

Katso ratkaisut tästä:
Prosenttitaulukon ratkaisu

Esimerkki 3. Monta muutosta

2016-07-18T19:14:45+03:00

Esimerkki 4. Muutos prosenttiyksiköissä / Muutos prosenteissa

2016-07-18T14:29:40+03:00

Erään älypuhelimen markkinaosuus laskee 15 prosentista 13 prosenttiin.
a) Kuinka monta prosenttiyksikköä markkinaosuus laskee?
b) Kuinka monta prosenttia markkinaosuus laskee?

Ratkaisu:
a) Markkinaosuuksien erotus on [[$15-13=2$]], eli markkinaosuus laskee 2 prosenttiyksikköä.

b) Lasketaan, kuinka monta prosenttia 13 on pienempi kuin 15.
[[$\dfrac{15-13}{15}=\dfrac{2}{15}\approx \text{0,13}=13 \%$]]
Markkinaosuus laskee 13 prosenttia.

Vastaus: a) 2 prosenttiyksikköä b) 13 prosenttia

Tarkkaile, kumpaa käytetään uutisoinnissa!

Lisäesimerkit 1-2 (napsauta alaosasta "näytä katselutilassa")

2019-04-25T10:54:33+03:00

: Lisäesimerkki 1.
: Lisäesimerkki 2.

Yhteenveto prosenttilaskennasta

2016-07-19T15:20:51+03:00

Tehtävätyyppejä, joissa vastauksena prosentti
Tehtävänanto	Verrattava luku	Luku, johon verrataan	Vastaus
Kuinka monta prosenttia suurempi luku 5 on kuin luku 4?	Lukujen erotus 5 – 4 = 1	4 (sana "kuin" viittaa verrattavaan)	[[$ \frac{1}{4} =$]] 25 %
Kuinka monta prosenttia luku 5 on pienentynyt, kun uusi arvo on 4? (Kyse voisi olla vaikkapa alennusprosentista.)	Lukujen erotus 5 – 4 = 1	Alkuperäinen arvo 5	[[$ \frac{1}{5} = $]] 20 %
Kuinka monta prosenttia luku 4 on luvusta 5?	4	5	[[$ \frac{4}{5} =$]] 80 %
Kuinka monta prosenttia luku 5 on luvusta 4?	5	4	[[$ \frac{5}{4} =$]] 125 %

Tehtävätyyppejä, joissa vastauksena luku
Tehtävänanto	Perusarvo, eli arvo ennen muutosta	Prosenttikerroin, eli luku, jolla kertomalla muutos tehdään	Vastaus
Mikä on uusi hinta, kun 100 eurosta annetaan 20 % alennus?	100 €	0,8	0,8 ∙ 100 € = 80 €
Mikä luku on 30 % luvusta 10?	10	0,3	0,3 ∙ 10 = 3
Hinta 100 € on 70 prosenttia alkuperäisestä. Mikä on alkuperäinen hinta?	Kysyttävä arvo, eli merkitään x:llä.	0,7	0,7 ∙ x = 100 €, josta ratkaisemalla saadaan [[$ x = \frac{100}{\text{0,7}} ≈ $]] 143 €

Navigointi

2016-06-20T09:27:52+03:00

Sisällys Luvun sisällys Sivun alkuun