Kerto- ja jakolasku

2016-07-27T09:12:16+03:00

Kertolasku eli tulo

Jos on laskettava yhteen sama luku useampaan kertaan, voidaan summa kirjoittaa lyhyemmin kertolaskuna eli tulona. Esimerkiksi tulo "kolme kertaa luku [[$a$]]" tarkoittaa summaa [[$a+a+a$]].
Yleisesti:
[[$$ k\cdot a= \underbrace{a+a+\dots+a}_\text{k kpl} $$]]
Esimerkiksi
[[$4\cdot 7=7+7+7+7=28$]]

Luku kertaa nolla

Mikä tahansa reaaliluku kertaa nolla on yhtä suuri kuin nolla. Yhteenlaskun yhteydessä määriteltiin, että mille tahansa reaaliluvulle [[$x$]] pätee [[$x+0=x$]]. Tästä seuraa, että myös [[$0+0=0$]].
[[$$\begin{align}x \cdot 0 &= \underbrace{0+0+\dots +0}_\text{x kpl}\\&=0\end{align}$$]]
Esimerkiksi
[[$15\cdot 0 = 0$]]

Luku kertaa yksi

Mikä tahansa reaaliluku kertaa luku 1 on yhtä kuin luku itse.
[[$$\begin{align}x\cdot 1&=\underbrace{1+1+\dots +1}_\text{x kpl}=x\end{align}$$]]
Esimerkiksi
[[$96\cdot 1 = 96$]]

Käänteisluku

Määritellään luvulle käänteisluku siten, että luvun ja sen käänteisluvun tulo on yksi.
Luvun [[$x$]] käänteisluku on [[$\frac{1}{x}$]], koska
[[$$x\cdot \frac{1}{x}=1$$]]

Esimerkiksi
Luvun [[$-16$]] käänteisluku on [[$-\frac{1}{16}$]], koska [[$-16\cdot (-\frac{1}{16})=\frac{16}{16}=1$]]

Seuraus:
Koska aiemmin määriteltiin, että nolla kertaa mikä tahansa luku on nolla, ei nollalla voi olla käänteislukua. Ei ole mahdollista, että nolla kertaa jokin luku olisikin yksi.

Jakolasku eli osamäärä

Rationaalilukujen määrittelyn yhteydessä kahden kokonaisluvun suhde määritettiin osamäärällä [[$m:n=\frac{m}{n}$]]. Merkintä tarkoittaa, että [[$n\cdot \frac{m}{n}=m$]]. Käänteisluvun avulla kaikille nollasta eriäville rationaaliluvuille voidaan määritellä jakolasku niin, että jakaminen tarkoittaa samaa kuin käänteisluvulla kertominen. Reaalilukujen joukossa ei siis välttämättä tarvitse käyttää jakolaskutoimitusta, sillä kaikki jakolaskut
voidaan kirjoittaa tulona kertomalla jaettava jakajan käänteisluvulla.
[[$$a:b=\frac{a}{b}=a\cdot\frac{1}{b}$$]]

Esimerkiksi
[[$6:4=6\cdot \frac{1}{4} =\underbrace{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}_{=1}+\underbrace{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}_{=\frac{1}{2}}=1\frac{1}{2}$]]

Seuraus 1:
Koska nollalla ole käänteislukua, niin nollalla ei voi jakaa. Nollalla jakaminen (Wikipedia)
Seuraus 2:
Mikä tahansa nollasta eriävä reaaliluku jaettuna itsellään on yhtä suuri kuin luku yksi.
[[$$a:a=\frac{a}{a}=a\cdot\frac{1}{a}=1$$]]
Esimerkiksi
[[$5:5=\frac{5}{5}=1$]]

Käänteisluku

Luvun ja sen käänteisluvun tulo on yksi.
[[$$x\cdot \frac{1}{x}=1, \qquad x\neq 0$$]]

Nollalla ei ole käänteislukua.

Murtoluvun [[$\frac{a}{b}$]] käänteisluku on [[$\frac{b}{a}$]].
[[$$\frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a}=1,\qquad a,b\neq 0$$]]

Jakolasku

Jakaminen on käänteisluvulla kertomista. [[$$ a:b=\frac{a}{b}=a\cdot \frac{1}{b} $$]]

Luku jaettuna itsellään on yhtä suuri kuin yksi. [[$\frac{x}{x}=1$]]
Nolla jaettuna nollalla [[$\frac{0}{0}$]] ei ole määritelty.

Kertolaskun vaihdannaisuus, liitännäisyys ja osittelulaki

Kertolaskussa tulon tekijöiden laskujärjestys ei vaikuta arvoon.
[[$$\begin{align}a\cdot b&=b\cdot a\\(a\cdot b)\cdot c&=a\cdot(b\cdot c)\end{align}$$]]
Tästä seuraa kertolaskun osittelulaki:
[[$$\begin{align}a\cdot(x+y)&= \underbrace{(x+y)+(x+y)+\dots +(x+y)}_\text{a kpl}\\&=\underbrace{x+x+\dots +x}_\text{a kpl}+\underbrace{y+y+\dots +y}_\text{a kpl}\\&=a\cdot x + a\cdot y\end{align}$$]]

Kertolasku

Kertolaskun määritelmä
[[$$k\cdot a=\underbrace{a+a+\cdots +a}_{k \text{ kappaletta}}$$]]
Kertolasku on vaihdannainen [[$$a\cdot b=b\cdot a$$]]
Kertolasku on liitännäinen [[$$ (a\cdot b) \cdot c= a\cdot (b \cdot c )$$]]
Osittelulaki [[$$ a\cdot(b+c) = a\cdot b +a\cdot c $$]]

Esimerkki 1

2015-11-08T21:01:00+02:00

Luku [[$\frac{1}{3}$]] on luvun [[$3$]] käänteisluku, koska [[$$ 3\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}=1$$]]

Navigointi

2016-06-20T08:19:59+03:00

Sisällys Luvun sisällys Sivun alkuun

1.3 Kerto- ja jakolasku

Kerto- ja jakolasku

Kertolasku eli tulo

Luku kertaa nolla

Luku kertaa yksi

Käänteisluku

Jakolasku eli osamäärä

Käänteisluku

Jakolasku

Kertolaskun vaihdannaisuus, liitännäisyys ja osittelulaki

Kertolasku

Esimerkki 1

Navigointi