Luonnollisista luvuista reaalilukuihin

2016-08-10T08:12:51+03:00

Vastaus: Onpas sinulla kapea vyötärö.

Luonnolliset luvut

Yksinkertaisin lukujoukko sisältää luvut, joilla ilmaistaan kappalemäärää. Tällaisia lukuja kutsutaan luonnollisiksi luvuiksi, ja niiden joukkoa merkitään kirjaimella [[$\mathbb{N}$]]. Luonnollisten lukujen joukkoon kuuluvat luvut 0, 1, 2, 3...

Kokonaisluvut

Määrittelemällä jokaiselle luonnolliselle luvulle [[$a$]] vastaluku [[$-a$]] siten, että luvun ja sen vastaluvun summa on nolla saadaan uusi laajempi lukujoukko. Luonnolliset luvut ja niiden vastaluvut ovat kokonaislukuja. Kokonaislukujen joukkoa merkitään kirjaimella [[$\mathbb{Z}$]]. Kokonaislukujen joukkoon kuuluvat siis luonnolliset luvut ja niiden vastaluvut, eli [[$\mathbb{Z}=\{\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\}$]]

Merkinnällä [[$\mathbb{Z_{+}}$]] tarkoitetaan positiivisten, eli nollaa suurempien kokonaislukujen joukkoa [[$\{1,2,3,\dots\}$]]. Vastaavasti ainoastaan negatiivisia, eli nollaa pienempiä kokonaislukuja kuvataan merkinnällä [[$\mathbb{Z_{-}}$]].

Rationaaliluvut

Kahden peräkkäisen kokonaisluvun väliin jääviä lukuja päästään käsittelemään, kun otetaan käyttöön kaikki ne luvut, jotka saadaan jakamalla jokin kokonaisluku toisella kokonaisluvulla. Tällaisia lukuja kutsutaan rationaaliluvuiksi, ja niiden muodostamaa joukkoa merkitään kirjaimella [[$\mathbb{Q}$]].

Huomaa: Kaikki päättyvät ja päättymättömät, mutta jaksolliset desimaaliluvutkin kuuluvat rationaalilukuihin, esimerkiksi luku [[$\text{0,123}=\frac{123}{1000}$]], tai [[$ \text{0,333}\ldots = \frac{1}{3}$]].

Reaaliluvut

Edellä esitettyjen lukujen lisäksi on olemassa myös sellaisia lukuja, joita ei voida esittää kahden kokonaisluvun suhteena. Näitä lukuja kutsutaan irrationaalisiksi. Tällaisten lukujen tarkka esitys on mahdotonta pelkkien numeroiden avulla ja siksi niiden esitystä varten käytetään erikoissymboleita. Irrationaalisia lukuja ovat esimerkiksi ympyrän kehän ja halkaisijan suhde [[$\pi$]], monet murtopotenssit, kuten [[$\sqrt{2}$]], kultaisen leikkauksen suhde ja Neperin luku [[$e$]]. Kun rationaalilukujen joukkoon lisätään kaikki irrationaaliluvut, saadaan reaalilukujen joukko, jota merkitään kirjaimella [[$\mathbb{R}$]]. Reaaliluvut täyttävät koko lukusuoran, ja toisin päin, suora esittää aina koko reaalilukujen joukkoa.
Nollaa suuremmat reaaliluvut, eli positiiviset luvut ilmoitetaan usein merkinnällä [[$\mathbb{R_{+}}$]].
Vastaavasti negatiivisten reaalilukujen joukkoa esitetään merkinnällä [[$\mathbb{R_{-}}$]].

Lukujoukkoja voidaan kuvata joukko-opissa käytetyillä Venn-diagrammeilla. Sisäkkäiset kuviot kuvaavat sitä, että sisällä oleva joukko kuuluu ulommaiseen. Esimerkiksi kokonaislukujen joukko sisältää kaikki luonnolliset luvut.

Lukujoukot
Luonnolliset luvut	[[$\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\ldots\}$]]
Kokonaisluvut	[[$\mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}$]]
Rationaaliluvut (kaikki sellaiset luvut, jotka voidaan esittää murtolukumuodossa)	[[$\mathbb{Q}=\{ \frac{m}{n}\}, m,n \in \mathbb{Z}, n\neq 0 $]]
Reaaliluvut	[[$\mathbb{R}$]]

Reaalilukuakseli eli lukusuora

2016-08-03T07:31:44+03:00

Reaalilukuakseli ja lukuvälit

Reaalilukujen joukosta voidaan erottaa haluttu osajoukko kuvaamalla se lukusuoran, eli reaalilukuakselin välinä. Esimerkiksi kaikki nollaa suuremmat ja ykköstä pienemmät reaaliluvut [[$0<x<1$]] voidaan kuvata lukusuoralla avoimena välinä nollasta yhteen [[$\left] 0,1 \right[$]]. Hakasulun aukeamissuunnalla kuvataan sitä, kuuluuko välin päätepiste haluttuun joukkoon, vai ei. Vaihtoehtoisena merkintätapana väärinpäin olevan hakasulun tilalla voidaan käyttää tavallista oikein päin olevaa kaarisulkua, kuten [[$\left] a,b \right] = \left( a,b \right] $]].
Lukuväliä kuvataan graafisesti janalla, ja päätepisteitä palloilla. Jos piste kuuluu kuvattavaan joukkoon, pallo on väritetty, kun taas välille kuulumattomat pisteet kuvataan värittömillä, ontoilla palloilla. Ontot pallot kuvaavat reikiä yhtenäisessä, äärettömän tiheässä lukusuorassa.

Navigointi

2016-06-20T08:19:19+03:00

Sisällys Luvun sisällys Sivun alkuun

1.1 Lukujoukot ja reaalilukuakseli