https://peda.net/id/5c65f1a0bbd41 2026-09-29T10:06:58+03:00 https://peda.net/:static/548/peda.net.logo.bg.svg <div class="license">Tämän sivun lisenssi <a rel="license noopener" href="https://peda.net/info" target="_blank">Peda.net-yleislisenssi</a></div> https://peda.net/id/aebad586d6911 2026-11-02T09:48:16+02:00 <div><br/> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Polynomeissa%5C%20k%C3%A4ytett%C3%A4v%C3%A4%C3%A4%5C%20derivoimiss%C3%A4%C3%A4nt%C3%B6%C3%A4%5C%20Dx%5En%3Dn%5Ccdot%20x%5E%7Bn-1%7D" alt="Polynomeissa\ käytettävää\ derivoimissääntöä\ Dx^n=n\cdot x^{n-1}"/></div>  voidaan käyttää myös tapauksissa, joissa eksponentti n on negatiivinen tai murtoluku</div> <div><br/> <span>HUOM!</span><br/> <span> </span><span class="math-editor-wrapper"><img class="sc-gtLWhw dicMAG" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5Ep%7D%3Dx%5E%7B-p%7D" alt="\frac{1}{x^p}=x^{-p}"/><!--filtered attribute: data-math-svg="true"--><!--filtered attribute: data-latex="\frac{1}{x^p}=x^{-p}"--></span><span> </span><span> </span><br/> <br/> </div> <div>esimerkiksi</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=D%5C%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D%3DD%5C%20x%5E%7B-2%7D%3D-2%5Ccdot%20x%5E%7B-2-1%7D%3D-2%5Ccdot%20x%5E%7B-3%7D%3D-%5Cfrac%7B2%7D%7Bx%5E3%7D" alt="D\ \frac{1}{x^2}=D\ x^{-2}=-2\cdot x^{-2-1}=-2\cdot x^{-3}=-\frac{2}{x^3}"/></div> <span> </span><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=ennen%5C%20derivointia%5C%20muoto%5C%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D%5C%20muutetaan%5C%20muotoon%5C%20x%5E%7B-2%7D%7B%2C%7D%5C%20joka%5C%20derivoidaan%5C%20potenssifunktion" alt="ennen\ derivointia\ muoto\ \frac{1}{x^2}\ muutetaan\ muotoon\ x^{-2}{,}\ joka\ derivoidaan\ potenssifunktion"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=derivoimiss%C3%A4%C3%A4nn%C3%B6ll%C3%A4" alt="derivoimissäännöllä"/> <div> </div> <div>Samoin juurimuodot muutetaan ennen derivointia murtopotenssimuotoon</div> <div>esim</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5C%20%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%5E2%7D%3Dx%5E%7B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%7D" alt="\ \sqrt[3]{x^2}=x^{\frac{2}{3}}"/></div> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=nyt%5C%20D%5C%20%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%5E2%7D%3DD%5C%20x%5E%7B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%7D%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7Dx%5E%7B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D-1%7D%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7Dx%5E%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%7D%5C%20%5C%20%5Cleft(t%C3%A4m%C3%A4%5C%20muoto%5C%20muutetaan%5C%20takai%5Csin%5C%20juurimuotoon%5Cright)" alt="nyt\ D\ \sqrt[3]{x^2}=D\ x^{\frac{2}{3}}=\frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1}=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}\ \ \left(tämä\ muoto\ muutetaan\ takai\sin\ juurimuotoon\right)"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%7D%7D%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%7D%7D" alt="=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt[3]{x}}"/> 2026-11-02T09:47:41+02:00 https://peda.net/id/f0e64bacd6901 2026-11-02T09:43:28+02:00 <div> </div> <div><b>Tulon ja osamäärän derivoimissääntö</b></div> <div> </div> <div>Tulon tekijöitä ei voida derivoida erikseen vaan jos funktio on kahden eri lausekkeen tulo niin siinä joudutaan käyttämään tulon derivoimissääntöä.<br/> <br/> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=summan%5C%20tapauksessa%5C%20molemmat%5C%20yhteenlaskettavat%5C%20derivoidaan%5C%20erikseen%5C%20eli" alt="summan\ tapauksessa\ molemmat\ yhteenlaskettavat\ derivoidaan\ erikseen\ eli"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=D%5Cleft(f%5Cleft(x%5Cright)%2Bg%5Cleft(x%5Cright)%5Cright)%3Df%27%5Cleft(x%5Cright)%2Bg%27%5Cleft(x%5Cright)" alt="D\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)=f'\left(x\right)+g'\left(x\right)"/><br/> '<br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=tulon%5C%20tapauksessa%5C%20D%5Cleft(f%5Cleft(x%5Cright)%5Ccdot%20g%5Cleft(x%5Cright)%5Cright)%5Cne%5Cne%5Cne%5Cne%20f%27%5Cleft(x%5Cright)%5Ccdot%20g%27%5Cleft(x%5Cright)" alt="tulon\ tapauksessa\ D\left(f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right)\ne\ne\ne\ne f'\left(x\right)\cdot g'\left(x\right)"/><br/> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Tulon%5C%20derivoimiss%C3%A4%C3%A4nt%C3%B6%3A%5C%20D%5Cleft(f%5Cleft(x%5Cright)%5Ccdot%20g%5Cleft(x%5Cright)%5Cright)%3Df%27%5Cleft(x%5Cright)%5Ccdot%20g%5Cleft(x%5Cright)%2Bf%5Cleft(x%5Cright)%5Ccdot%20g%27%5Cleft(x%5Cright)" alt="Tulon\ derivoimissääntö:\ D\left(f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right)=f'\left(x\right)\cdot g\left(x\right)+f\left(x\right)\cdot g'\left(x\right)"/><br/> <br/> </div> <div>Nyt tässä kohdin tulon derivoimissääntöä ei juurikaan tarvita, koska kun f ja g ovat polynomeja niin yleensä tulo voidaan siventää ennen derivointia<br/> <br/> </div> <div>esimerkiksi</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=D%5Cleft(x%5E3%5Ccdot%20x%5E4%5Cright)%3DDx%5E7%3D7x%5E6%5C%20%5Cleft(ei%5C%20kannata%5C%20k%C3%A4ytt%C3%A4%C3%A4%5C%20tulon%5C%20derivoimiss%C3%A4%C3%A4nt%C3%B6%C3%A4%5Cright)" alt="D\left(x^3\cdot x^4\right)=Dx^7=7x^6\ \left(ei\ kannata\ käyttää\ tulon\ derivoimissääntöä\right)"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cleft(D%5Cleft(x%5E3%5Ccdot%20x%5E4%5Cright)%3D3x%5E2%5Ccdot%20x%5E4%2Bx%5E3%5Ccdot4x%5E3%3D3x%5E6%2B4x%5E6%3D7x%5E6%5Cright)" alt="\left(D\left(x^3\cdot x^4\right)=3x^2\cdot x^4+x^3\cdot4x^3=3x^6+4x^6=7x^6\right)"/></div> <div> </div> <div>Murtolauseke on kahden polynomin osamäärä, joka joudutaan derivoimaan osamäärän derivoimissäännön avulla. Eli ei voida ajatella siten, että derivoidaan osoittaja ja nimittäjä erikseen</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=D%5C%20%5Cfrac%7Bf%5Cleft(x%5Cright)%7D%7Bg%5Cleft(x%5Cright)%7D%5Cne%5Cne%5Cne%5Cne%5Cne%5Cfrac%7Bf%27%5Cleft(x%5Cright)%7D%7Bg%27%5Cleft(x%5Cright)%7D" alt="D\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\ne\ne\ne\ne\ne\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}"/><br/> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Osam%C3%A4%C3%A4r%C3%A4n%5C%20derivoimiss%C3%A4%C3%A4nt%C3%B6%3A%5C%20D%5Cfrac%7Bf%5Cleft(x%5Cright)%7D%7Bg%5Cleft(x%5Cright)%7D%3D%5Cfrac%7Bf%27%5Cleft(x%5Cright)%5Ccdot%20g%5Cleft(x%5Cright)-f%5Cleft(x%5Cright)%5Ccdot%20g%27%5Cleft(x%5Cright)%7D%7B%5Cleft(g%5Cleft(x%5Cright)%5Cright)%5E2%7D" alt="Osamäärän\ derivoimissääntö:\ D\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{f'\left(x\right)\cdot g\left(x\right)-f\left(x\right)\cdot g'\left(x\right)}{\left(g\left(x\right)\right)^2}"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Lyhyem%5Cmin%3A%5C%20D%5C%20%5Cfrac%7Bf%7D%7Bg%7D%3D%5Cfrac%7Bf%27%5Ccdot%20g-f%5Ccdot%20g%27%7D%7Bg%5E2%7D" alt="Lyhyem\min:\ D\ \frac{f}{g}=\frac{f'\cdot g-f\cdot g'}{g^2}"/><br/> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=esim" alt="esim"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cfrac%7B2x%2B1%7D%7B3x-4%7D" alt="f\left(x\right)=\frac{2x+1}{3x-4}"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%27%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cfrac%7B2%5Ccdot%5Cleft(3x-4%5Cright)-%5Cleft(2x%2B1%5Cright)%5Ccdot3%7D%7B%5Cleft(3x-4%5Cright)%5E2%7D%3D%5Cfrac%7B6x-8-6x-3%7D%7B%5Cleft(3x-4%5Cright)%5E2%7D%3D-%5Cfrac%7B11%7D%7B%5Cleft(3x-4%5Cright)%5E2%7D" alt="f'\left(x\right)=\frac{2\cdot\left(3x-4\right)-\left(2x+1\right)\cdot3}{\left(3x-4\right)^2}=\frac{6x-8-6x-3}{\left(3x-4\right)^2}=-\frac{11}{\left(3x-4\right)^2}"/></div> <div> </div> <div><span> </span><span> HUOM!! </span><span class="math-editor-wrapper"><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=D%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Cleft(x%5E2-2x%5Cright)%7D%7B5%7D%5Cright)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D%5Ccdot%20D%5Cleft(x%5E2-2x%5Cright)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D%5Ccdot%5Cleft(2x-2%5Cright)" alt="D\left(\frac{\left(x^2-2x\right)}{5}\right)=\frac{1}{5}\cdot D\left(x^2-2x\right)=\frac{1}{5}\cdot\left(2x-2\right)"/><!--filtered attribute: data-math-svg="true"--><!--filtered attribute: data-latex="D\left(\frac{\left(x^2-2x\right)}{5}\right)=\frac{1}{5}\cdot D\left(x^2-2x\right)=\frac{1}{5}\cdot\left(2x-2\right)"--></span><span> <br/> <br/> <br/> </span><br/> <br/> <br/> Murtofunktion kulku ja ääriarvot<br/> <br/> </div> 2026-11-02T09:42:23+02:00 https://peda.net/id/9f595431de6a1 2026-11-12T09:29:13+02:00 <div> </div> <div>Monet funktiot ovat kahden tai useamman funktion yhdistettyjä funktioita.</div> <div> </div> <div>Funktioden f ja g yhdistetty funktio, jossa f on ulkofunktio ja g sisäfunktio on</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5C%20%5Ccirc%5C%20g%3Df%5Cleft(g%5Cleft(x%5Cright)%5Cright)" alt="f\ \circ\ g=f\left(g\left(x\right)\right)"/></div> <div> </div> <div>esimerkkejä yhdistetyistä funktioista</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5C%20%5Ccirc%5C%20g%5C%20%3D%5Cleft(2x%5E2-3%5Cright)%5E4%7B%2C%7D%5C%20jossa%5C%20ulkofunktio%5C%20on%5C%20potenssifunktio%5C%20f%5Cleft(x%5Cright)%3Dx%5E4%5C%20ja%5C%20sis%C3%A4f%5C%20g%5Cleft(x%5Cright)%3D2x%5E2-3" alt="f\ \circ\ g\ =\left(2x^2-3\right)^4{,}\ jossa\ ulkofunktio\ on\ potenssifunktio\ f\left(x\right)=x^4\ ja\ sisäf\ g\left(x\right)=2x^2-3"/></div> <br/> <div> </div> <div><b>Yhdistetyn funktion derivaatta</b></div> <div> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=D%5C%20f%5C%20%5Ccirc%5C%20g%5C%20%3DD%5C%20f%5Cleft(g%5Cleft(x%5Cright)%5Cright)%3Df%27%5Cleft(g%5Cleft(x%5Cright)%5Cright)%5Ccdot%20g%27%5Cleft(x%5Cright)" alt="D\ f\ \circ\ g\ =D\ f\left(g\left(x\right)\right)=f'\left(g\left(x\right)\right)\cdot g'\left(x\right)"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5C%20jossa%5C%20f%27%5Cleft(g%5Cleft(x%5Cright)%5Cright)%5C%20on%5C%20ulkofunktion%5C%20derivaatta%5C%20ja%5C%20g%27%5Cleft(x%5Cright)%5C%20on%5C%20sis%C3%A4f.%5C%20derivaatta" alt="\ jossa\ f'\left(g\left(x\right)\right)\ on\ ulkofunktion\ derivaatta\ ja\ g'\left(x\right)\ on\ sisäf.\ derivaatta"/><br/> <div> </div> <div>Suomeksi yhdistetyn funktion derivaatta on ulko- ja sisäfunktion derivaattojen tulo.<br/> <br/> <span>Esimerkiksi</span> <div><img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=D%5Cleft(2x%5E2-3%5Cright)%5E4%3D4%5Cleft(2x%5E3-3%5Cright)%5E3%5Ccdot%20D%5Cleft(2x%5E2-3%5Cright)%3D4%5Cleft(2x%5E2-3%5Cright)%5E3%5Ccdot4x" alt="D\left(2x^2-3\right)^4=4\left(2x^3-3\right)^3\cdot D\left(2x^2-3\right)=4\left(2x^2-3\right)^3\cdot4x"/><!--filtered attribute: initialized=""--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=jossa%5C%20ulkof%5C%20derivaatta%5C%20on%5C%204%5Cleft(2x%5E3-3%5Cright)%5E3%5C%20ja%5C%20sis%C3%A4f%5C%20derivaatta%5C%204x" alt="jossa\ ulkof\ derivaatta\ on\ 4\left(2x^3-3\right)^3\ ja\ sisäf\ derivaatta\ 4x"/><!--filtered attribute: initialized=""--></div> </div> <div><br/> <span>Derivoi seuraavat funktiot</span> <div>a)</div> <div><img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cleft(2x%5E2-3x%2B1%5Cright)%5E6" alt="f\left(x\right)=\left(2x^2-3x+1\right)^6"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="f\left(x\right)=\left(2x^2-3x+1\right)^6"--></div> <div>Kyseessä on yhdistetty funktio, jossa ulkofunktio on potenssifunktio</div> <div><img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cleft(muotoa%5C%20a%5E6%5Cright)%5C%20ja%5C%20sis%C3%A4funktiona%5C%20on%5C%202x%5E2-3x%2B1" alt="\left(muotoa\ a^6\right)\ ja\ sisäfunktiona\ on\ 2x^2-3x+1"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="\left(muotoa\ a^6\right)\ ja\ sisäfunktiona\ on\ 2x^2-3x+1"--><br/> Derivaatta on ulko- ja sisäfunktion derivaattojen tulo</div> <div><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%27%5Cleft(x%5Cright)%3D6%5Cleft(2x%5E2-3x%2B1%5Cright)%5E5%5Ccdot%20D%5Cleft(2x%5E2-3x%2B1%5Cright)%3D6%5Cleft(2x%5E2-3x%2B1%5Cright)%5E5%5Cleft(4x-3%5Cright)" alt="f'\left(x\right)=6\left(2x^2-3x+1\right)^5\cdot D\left(2x^2-3x+1\right)=6\left(2x^2-3x+1\right)^5\left(4x-3\right)"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="f'\left(x\right)=6\left(2x^2-3x+1\right)^5\cdot D\left(2x^2-3x+1\right)=6\left(2x^2-3x+1\right)^5\left(4x-3\right)"--><br/> <br/> b)</div> <div><img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D2x%5Cleft(2-3x%5Cright)%5E4" alt="f\left(x\right)=2x\left(2-3x\right)^4"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="f\left(x\right)=2x\left(2-3x\right)^4"--><br/> Nyt käytetään tulon derivoimissääntöä, jossa </div> <div><img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=toinen%5C%20tekij%C3%A4%5C%20on%5C%202x%5C%20ja%5C%20toinen%5C%20%5Cleft(2-3x%5Cright)%5E%7B%5E4%7D" alt="toinen\ tekijä\ on\ 2x\ ja\ toinen\ \left(2-3x\right)^{^4}"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="toinen\ tekijä\ on\ 2x\ ja\ toinen\ \left(2-3x\right)^{^4}"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Ctext%7BD%7Df(x)g(x)%3Df%27(x)g(x)%2Bf(x)g%27(x)" alt="\text{D}f(x)g(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="\text{D}f(x)g(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%27%5Cleft(x%5Cright)%3D2%5Cleft(2-3x%5Cright)%5E4%2B2x%5Ccdot4%5Cleft(2-3x%5Cright)%5E3%5Ccdot%5Cleft(-3%5Cright)%3D2%5Cleft(2-3x%5Cright)%5E4-24x%5Cleft(2-3x%5Cright)%5E3" alt="f'\left(x\right)=2\left(2-3x\right)^4+2x\cdot4\left(2-3x\right)^3\cdot\left(-3\right)=2\left(2-3x\right)^4-24x\left(2-3x\right)^3"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="f'\left(x\right)=2\left(2-3x\right)^4+2x\cdot4\left(2-3x\right)^3\cdot\left(-3\right)=2\left(2-3x\right)^4-24x\left(2-3x\right)^3"--><br/> <br/> Määritetään derivaatan nollakohdat</div> <div><img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=2%5Cleft(2-3x%5Cright)%5E4-24x%5Cleft(2-3x%5Cright)%5E3%3D0" alt="2\left(2-3x\right)^4-24x\left(2-3x\right)^3=0"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="2\left(2-3x\right)^4-24x\left(2-3x\right)^3=0"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cleft(2-3x%5Cright)%5E4-12x%5Cleft(2-3x%5Cright)%5E3%3D0" alt="\left(2-3x\right)^4-12x\left(2-3x\right)^3=0"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="\left(2-3x\right)^4-12x\left(2-3x\right)^3=0"--><br/> Huomataan, että molemmissa derivaatan termeissä yhteinen tekijä on </div> <div><img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cleft(2-3x%5Cright)%5E3" alt="\left(2-3x\right)^3"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="\left(2-3x\right)^3"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cleft(2-3x%5Cright)%5E3%5Cleft(%5Cleft(2-3x%5Cright)-12x%5Cright)%3D0" alt="\left(2-3x\right)^3\left(\left(2-3x\right)-12x\right)=0"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="\left(2-3x\right)^3\left(\left(2-3x\right)-12x\right)=0"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cleft(2-3x%5Cright)%5E3%5Cleft(2-15x%5Cright)%3D0" alt="\left(2-3x\right)^3\left(2-15x\right)=0"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="\left(2-3x\right)^3\left(2-15x\right)=0"--><br/> tulon nollasäännön mukaan</div> <div><img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cleft(2-3x%5Cright)%5E3%3D0%5C%20%5C%20tai%5C%202-15x%3D0" alt="\left(2-3x\right)^3=0\ \ tai\ 2-15x=0"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="\left(2-3x\right)^3=0\ \ tai\ 2-15x=0"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=2-3x%3D0%5C%20tai%5C%202-15x%3D0" alt="2-3x=0\ tai\ 2-15x=0"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="2-3x=0\ tai\ 2-15x=0"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5C%20tai%5C%20x%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B15%7D" alt="x=\frac{2}{3}\ tai\ x=\frac{2}{15}"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="x=\frac{2}{3}\ tai\ x=\frac{2}{15}"--><br/> <br/> </div> <div> </div> <br/> <br/> <br/> <span>477.</span> <div>a)</div> <div><img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3Dx%5Cleft(2x-6%5Cright)%5E4" alt="f\left(x\right)=x\left(2x-6\right)^4"/><!--filtered attribute: initialized=""--><br/> Derivointi onnistuu helpoiten käyttämällä tulon derivoimissääntöä</div> <div><img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=D%5Cleft(f%5Cleft(x%5Cright)%5Ccdot%20g%5Cleft(x%5Cright)%5Cright)%3Df%27%5Cleft(x%5Cright)%5Ccdot%20g%5Cleft(x%5Cright)%2Bf%5Cleft(x%5Cright)%5Ccdot%20g%27%5Cleft(x%5Cright)" alt="D\left(f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right)=f'\left(x\right)\cdot g\left(x\right)+f\left(x\right)\cdot g'\left(x\right)"/><!--filtered attribute: initialized=""--> (nyt f(x) = x ja g(x) potenssilauseke)<br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%27%5Cleft(x%5Cright)%3D1%5Ccdot%5Cleft(2x-6%5Cright)%5E4%2Bx%5Ccdot4%5Cleft(2x-6%5Cright)%5E3%5Ccdot2" alt="f'\left(x\right)=1\cdot\left(2x-6\right)^4+x\cdot4\left(2x-6\right)^3\cdot2"/><!--filtered attribute: initialized=""--></div> <div><img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%27%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cleft(2x-6%5Cright)%5E4%2B8x%5Cleft(2x-6%5Cright)%5E3" alt="f'\left(x\right)=\left(2x-6\right)^4+8x\left(2x-6\right)^3"/><!--filtered attribute: initialized=""--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Derivaa%5Ctan%5C%20lausekkeessa%5C%20on%5C%20kaksi%5C%20termi%C3%A4%7B%2C%7D%5C%20joista%5C%20l%C3%B6ytyy%5C%20yhteinen%5C%20tekij%C3%A4%5C%20%5Cleft(2x-6%5Cright)%5E3" alt="Derivaa\tan\ lausekkeessa\ on\ kaksi\ termiä{,}\ joista\ löytyy\ yhteinen\ tekijä\ \left(2x-6\right)^3"/><!--filtered attribute: initialized=""--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%27%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cleft(2x-6%5Cright)%5E3%5Cleft(%5Cleft(2x-6%5Cright)%2B8x%5Cright)%3D%5Cleft(2x-6%5Cright)%5E3%5Cleft(10x-6%5Cright)" alt="f'\left(x\right)=\left(2x-6\right)^3\left(\left(2x-6\right)+8x\right)=\left(2x-6\right)^3\left(10x-6\right)"/><!--filtered attribute: initialized=""--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%27%5Cleft(x%5Cright)%3D0%7B%2C%7D%5C%20kun%5C%20%5Cleft(2x-6%5Cright)%5E3%3D0%5C%20%5C%20eli%5C%20x%3D3%5C%20%5C%20tai%5C%2010x-6%3D0%5C%20eli%5C%20x%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D" alt="f'\left(x\right)=0{,}\ kun\ \left(2x-6\right)^3=0\ \ eli\ x=3\ \ tai\ 10x-6=0\ eli\ x=\frac{3}{5}"/><!--filtered attribute: initialized=""--><br/> <br/> <br/> <br/> 468.<br/> <span class="small"><a href="https://peda.net/salo/koulut/halikon-lukio/oppiaineet/pitk%C3%A4-matematiikka/maa6-1-derivaatta/4.-derivoimissaantoja/yhdistetty-funktio/t-468.png2#top" title="T 468.png" target="_blank" rel="noopener"><img src="https://peda.net/salo/koulut/halikon-lukio/oppiaineet/pitk%C3%A4-matematiikka/maa6-1-derivaatta/4.-derivoimissaantoja/yhdistetty-funktio/t-468.png2:file/photo/81ba2a5f27cddfd147ed2e3c7622863fb8fe44a9/T%20468.png" alt="" title="T 468.png" class="inline" loading="lazy"/></a></span><br/> <span class="small"><a href="https://peda.net/salo/koulut/halikon-lukio/oppiaineet/pitk%C3%A4-matematiikka/maa6-1-derivaatta/4.-derivoimissaantoja/yhdistetty-funktio/t468b.png#top" title="T468b.png" target="_blank" rel="noopener"><img src="https://peda.net/salo/koulut/halikon-lukio/oppiaineet/pitk%C3%A4-matematiikka/maa6-1-derivaatta/4.-derivoimissaantoja/yhdistetty-funktio/t468b.png:file/photo/6308f2643ac88124b764149e8fdf89c9ffcf09ed/T468b.png" alt="" title="T468b.png" class="inline" loading="lazy"/></a></span><br/> <br/> </div> </div> </div> 2026-11-12T09:28:14+02:00