https://peda.net/id/52b887cdbbd21 2026-09-29T09:52:23+03:00 https://peda.net/:static/548/peda.net.logo.bg.svg <div class="license">Tämän sivun lisenssi <a rel="license noopener" href="https://peda.net/info" target="_blank">Peda.net-yleislisenssi</a></div> https://peda.net/id/52bb6fedbbd21 2023-11-08T15:15:33+02:00 Normaalijakauma on jatkuvista jakaumista yleisin ja tunnetuin.<br/> <br/> <span>Kun satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa parametrein µ (keskiarvo) ja σ (keskihajonta), merkitään</span> <div>X ∼ N(µ, σ).<br/> <br/> </div> <div>Tiheysfunktion kuvaaja on symmetrinen µ:n suhteen eli µ kertoo jakauman keskikohdan.</div> <div><br/> <a href="https://peda.net/salo/koulut/halikon-lukio/oppiaineet/pitk%C3%A4-matematiikka/maa122/3.-jatkuva-jakauma/normaalijakauma/geogebra-export-25-.png#top" title="geogebra-export (25).png" target="_blank" rel="noopener"><img src="https://peda.net/salo/koulut/halikon-lukio/oppiaineet/pitk%C3%A4-matematiikka/maa122/3.-jatkuva-jakauma/normaalijakauma/geogebra-export-25-.png:file/photo/4841776b143275ae1f73a4ffd6eb61d0bcdac581/geogebra-export%20%2825%29.png" alt="" title="geogebra-export (25).png" class="inline" loading="lazy"/></a></div> <div>Kuvan tiheysfunktiossa µ = 15 ja σ = 3 eli X ∼ N(15, 3)</div> <div> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Normaalijakauman%5C%20tiheysfunktiota%5C%20merkit%C3%A4%C3%A4n%5C%20%5Cvarphi%5Cleft(x%5Cright)%5C%20ja%5C%20%5Cker%20tym%C3%A4funktiota%5C%20%5CPhi%5Cleft(x%5Cright)" alt="Normaalijakauman\ tiheysfunktiota\ merkitään\ \varphi\left(x\right)\ ja\ \ker tymäfunktiota\ \Phi\left(x\right)"/></div> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Huom!%5C%20P%5Cleft(X%3Ca%5Cright)%3D%5CPhi%5Cleft(a%5Cright)%7B%2C%7D%5C%20P%5Cleft(X%5Cge%20b%5Cright)%3D1-%5CPhi%5Cleft(b%5Cright)%7B%2C%7D%5C%20P%5Cleft(a%5Cle%20X%5Cle%20b%5Cright)%3D%5CPhi%5Cleft(b%5Cright)-%5CPhi%5Cleft(a%5Cright)" alt="Huom!\ P\left(X\lt a\right)=\Phi\left(a\right){,}\ P\left(X\ge b\right)=1-\Phi\left(b\right){,}\ P\left(a\le X\le b\right)=\Phi\left(b\right)-\Phi\left(a\right)"/><br/> <div> </div> <div>Normaalijakauman X ∼ N(µ, σ) tiheysfunktio</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cvarphi%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csigma%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D%7De%5E%7B%5E%7B-%5Cfrac%7B%5Cleft(x-%5Cmu%5Cright)%5E2%7D%7B2%5Csigma%5E2%7D%7D%7D" alt="\varphi\left(x\right)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{^{-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2}}}"/></div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Nyt%5C%20%5Cker%20tym%C3%A4funktio%5C%20%5CPhi%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csigma%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D%7D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5Exe%5E%7B%5E%7B-%5Cfrac%7B%5Cleft(t-%5Cmu%5Cright)%5E2%7D%7B2%5Csigma%5E2%7D%7D%7Ddt" alt="Nyt\ \ker tymäfunktio\ \Phi\left(x\right)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^xe^{^{-\frac{\left(t-\mu\right)^2}{2\sigma^2}}}dt"/></div> <div> </div> <div>Normaalijakauman todennäköisyyksiä voidaan laskea</div> <div>1. Geogebran todennäköisyyslaskurilla, johon syötetään jakauman µ ja σ</div> <div>2. Symbolisen laskennan esim geogebran integraalitoiminnalla</div> <div>3. Taulukoitujen kertymäfunktion arvojen perusteella, taulukkokirjan avulla</div> <div> </div> <div>Taulukoidussa arvoissa on käytetty normitettua normaalijakaumaa, jossa µ = 0 ja σ =1 eli normitetun normaalijakauman</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=tiheysfunktio%5C%20on%5C%20%5Cvarphi%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D%7De%5E%7B%5E%7B-%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2%7D%7D%7D%5C%20ja%5C%20%5Cker%20tym%C3%A4f%5C%20%5C%20%5CPhi%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D%7D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5Exe%5E%7B%5E%7B-%5Cfrac%7Bt%5E2%7D%7B2%7D%7D%7Ddt" alt="tiheysfunktio\ on\ \varphi\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{^{-\frac{x^2}{2}}}\ ja\ \ker tymäf\ \ \Phi\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^xe^{^{-\frac{t^2}{2}}}dt"/></div> <div>Tiheysfunktio kuvaaja, kun X ∼ N(0, 1)</div> <div><a href="https://peda.net/salo/koulut/halikon-lukio/oppiaineet/pitk%C3%A4-matematiikka/maa122/3.-jatkuva-jakauma/normaalijakauma/geogebra-export-26-.png#top" title="geogebra-export (26).png" target="_blank" rel="noopener"><img src="https://peda.net/salo/koulut/halikon-lukio/oppiaineet/pitk%C3%A4-matematiikka/maa122/3.-jatkuva-jakauma/normaalijakauma/geogebra-export-26-.png:file/photo/b0cb3825d62d886014c1801a78b79c87eef38114/geogebra-export%20%2826%29.png" alt="" title="geogebra-export (26).png" class="inline" loading="lazy"/></a></div> <div> </div> <div>Esimerkkejä löytyy taulukkokirjasta.</div> <div> </div> <div>Usein normaalijakaumassa µ ≠ 1 ja σ ≠ 0 eli yleisille normaalijakaumille X ∼ N(µ, σ). Tällöin todennäköisyydet lasketaan normitetun satunnaismuuttujan Z avulla, jolloin Z ∼ N(0, 1)<br/> <br/> </div> <div> Satunnaismuuttujan normittaminen</div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Z%3D%5Cfrac%7BX-%5Cmu%7D%7B%5Csigma%7D" alt="Z=\frac{X-\mu}{\sigma}"/><br/> <br/> <div>Esim jos X ∼ N(28, 6) niin</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=P%5Cleft(X%3C35%5Cright)%3D%5CPhi%5Cleft(%5Cfrac%7B35-28%7D%7B6%7D%5Cright)%3D%5CPhi%5Cleft(%5Cfrac%7B7%7D%7B6%7D%5Cright)%3D%5CPhi%5Cleft(1%7B%2C%7D17%5Cright)%3D0%7B%2C%7D8790" alt="P\left(X\lt 35\right)=\Phi\left(\frac{35-28}{6}\right)=\Phi\left(\frac{7}{6}\right)=\Phi\left(1{,}17\right)=0{,}8790"/></div> <div> </div> <div> </div> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=P%5Cleft(24%5Cle%20X%5Cle30%5Cright)%3D" alt="P\left(24\le X\le30\right)="/><br/> <div> <div> </div> </div> 2026-09-29T09:52:23+03:00