https://peda.net/id/52b80decbbd21 2026-09-29T09:52:23+03:00 https://peda.net/:static/548/peda.net.logo.bg.svg <div class="license">Tämän sivun lisenssi <a rel="license noopener" href="https://peda.net/info" target="_blank">Peda.net-yleislisenssi</a></div> https://peda.net/id/2856f80ed1dd1 2026-10-27T10:08:21+02:00 <div><span class="editor underline">Epäoleellinen raja-arvo</span></div> <div> </div> <div>Kun lasketaan erityisesti murtofunktion raja-arvoa kohdassa jossa funktio ei ole määritelty, saadaan raja-arvoksi </div> <div> - ∞ (ääretön), jolloin funktion arvot kasvavat rajatta tai </div> <div> - -∞ (miinus ääretön), jolloin funktion arvot pienenevät koko ajan lähestyen -∞<br/> <br/> </div> <div>Tällaisia raja-arvoja kutsutaan epäoleelliseksi raja-arvoksi, jotka ovat muotoa</div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7Bvakio%7D%7B0%7D" alt="\frac{vakio}{0}"/><br/> <br/> <div>esim funktiolla</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx-1%7D%5C%20" alt="f\left(x\right)=\frac{1}{x-1}\ "/></div> <div>määrittelyehto on x ≠ 1. Määritä sekä kuvaajan perusteella että laskemalla</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow1%7Df%5Cleft(x%5Cright)" alt="\lim_{x\rightarrow1}f\left(x\right)"/><br/> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx-1%7D%7B%2C%7D%5C%20x%5Cne1" alt="f\left(x\right)=\frac{1}{x-1}{,}\ x\ne1"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=kuvaajan%5C%20perusteella%5C%20%5Clim_%7Bx%5Crightarrow1-%7Df%5Cleft(x%5Cright)%3D-%5Cinfty%5C%20%5C%20ja%5C%20%5Clim_%7Bx%5Crightarrow1%2B%7Df%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cinfty" alt="kuvaajan\ perusteella\ \lim_{x\rightarrow1-}f\left(x\right)=-\infty\ \ ja\ \lim_{x\rightarrow1+}f\left(x\right)=\infty"/><br/> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5CRightarrow%5C%20%5Clim_%7Bx%5Crightarrow1%7Df%5Cleft(x%5Cright)%5C%20ei%5C%20ole" alt="\Rightarrow\ \lim_{x\rightarrow1}f\left(x\right)\ ei\ ole"/></div> <span>Laskemalla tai ilman kuvaajaa päättelemällä</span> <div> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow1%7D%5C%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx-1%7D%5C%20on%5C%20muotoa%5C%20%5Cfrac%7B1%7D%7B0%7D%5C%20%5C%20eli%5C%20raja-arvoksi%5C%20tulee%5C%20%5Cpm%5Cinfty" alt="\lim_{x\rightarrow1}\ \frac{1}{x-1}\ on\ muotoa\ \frac{1}{0}\ \ eli\ raja-arvoksi\ tulee\ \pm\infty"/></div> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7Cl%7D%0Ax-1%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20-%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%201%26%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%2B%5C%5C%0A%5Chline%0A%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Clim_%7Bx%5Crightarrow1-%7Df%5Cleft(x%5Cright)%3D-%5Cinfty%26%5Clim_%7Bx%5Crightarrow1%2B%7Df%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cinfty%0A%5Cend%7Barray%7D" alt="\begin{array}{l|l}&#10;x-1\ \ \ \ \ \ \ \ -\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1&amp;\ \ \ \ \ \ \ +\\&#10;\hline&#10;\ \ \ \ \ \ \ \lim_{x\rightarrow1-}f\left(x\right)=-\infty&amp;\lim_{x\rightarrow1+}f\left(x\right)=\infty&#10;\end{array}"/><br/> <br/> Huom! Murtofunktiolla on pystysuora asymptootti nimittäjän nollakohdassa tai nollakohdissa. <br/> <br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Esim%5C%20funktion%5C%20f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx-1%7D%7B%2C%7D%5C%20x%5Cne1%5C%20%5C%20pystysuora%5C%20asymptootti%5C%20on%5C%20suora%5C%20x%5C%20%3D%5C%201" alt="Esim\ funktion\ f\left(x\right)=\frac{1}{x-1}{,}\ x\ne1\ \ pystysuora\ asymptootti\ on\ suora\ x\ =\ 1"/><br/> <div> </div> <div>Asymptootti on suora, jota funktion kuvaaja lähestyy.<br/> <br/> <br/> </div> </div> 2026-10-27T10:05:21+02:00