https://peda.net/id/52b41dc7bbd21 2026-09-29T09:52:23+03:00 https://peda.net/:static/548/peda.net.logo.bg.svg <div class="license">Tämän sivun lisenssi <a rel="license noopener" href="https://peda.net/info" target="_blank">Peda.net-yleislisenssi</a></div> https://peda.net/id/52b47d40bbd21 2023-09-25T10:27:09+03:00 <h3><span>Funktion raja-arvo</span></h3> <div> </div> <div>Funktiolla f(x) on kohdassa x = a raja-arvona luku b, kun x lähestyy a:ta. Tätä merkitään</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20a%7Df%5Cleft(x%5Cright)%3Db%5C%20%5C%20%5Cleft(tai%5C%20f%5Cleft(x%5Cright)%5Crightarrow%20b%7B%2C%7D%5C%20kun%5C%20x%5Crightarrow%20a%5Cright)" alt="\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=b\ \ \left(tai\ f\left(x\right)\rightarrow b{,}\ kun\ x\rightarrow a\right)"/></div> <div>Nyt funktion raja-arvossa on kyse siitä, että funktio ei saavuta arvoa b, vaan lähestyy sitä.</div> <div> </div> <div>Raja-arvon laskeminen: Sijoitetaan se muuttujan arvo, jota lähestytään, funktion lausekkeeseen.</div> <div> </div> <div>Murtofunktioiden tapauksessa, jos lasketaan raja-arvoa kohdassa, jossa funktiota ei ole määritelty, sijoitus voi johtaa muotoon 0/0, jolloin murtolauseketta joudutaan sieventämään ennen raja-arvon laskemista.</div> <div> </div> <div>Laske raja-arvo.</div> <div>a)</div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow1%7D%5Cleft(x%5E2-3%5Cright)%3D1%5E2-3%3D-2" alt="\lim_{x\rightarrow1}\left(x^2-3\right)=1^2-3=-2"/> <div>b)</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow2%7D%5Cfrac%7B3x%5E2-6x%7D%7Bx-2%7D" alt="\lim_{x\rightarrow2}\frac{3x^2-6x}{x-2}"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=nyt%5C%20x%3An%5C%20arvon%5C%202%5C%20sijoitus%5C%20johtaa%5C%20muotoon%5C%20%5Cfrac%7B0%7D%7B0%7D" alt="nyt\ x:n\ arvon\ 2\ sijoitus\ johtaa\ muotoon\ \frac{0}{0}"/></div> <span>⇒ murtolauseketta sievennetään. Tiedetään, että myös osoittajan nollakohta on x = 2 ⇒ osoittajasta löytyy myös tekijä x - 2</span> <div> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow2%7D%5Cfrac%7B3x%5Cleft(x-2%5Cright)%7D%7Bx-2%7D%5C%20%5Cleft(%5Csup%20istetaan%5C%20yhteinen%5C%20tekij%C3%A4%5C%20x-2%5Cright)" alt="=\lim_{x\rightarrow2}\frac{3x\left(x-2\right)}{x-2}\ \left(\sup istetaan\ yhteinen\ tekijä\ x-2\right)"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow2%7D3x%3D3%5Ccdot2%3D6" alt="=\lim_{x\rightarrow2}3x=3\cdot2=6"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=eli%5C%20funktion%5C%20raja-arvo%5C%20on%5C%206%7B%2C%7D%5C%20kun%5C%20x%5C%20l%C3%A4hestyy%5C%202" alt="eli\ funktion\ raja-arvo\ on\ 6{,}\ kun\ x\ lähestyy\ 2"/></div> 2026-09-29T09:52:23+03:00 https://peda.net/id/52b4f5e1bbd21 2022-10-13T10:43:44+03:00 <a href="https://peda.net/salo/koulut/halikon-lukio/oppiaineet/pitk%C3%A4-matematiikka/maa122/1.-analyysin-kertausta-ja-taydennysta/funktion-muutosnopeus/geogebra-export-18-.png#top" title="geogebra-export (18).png" target="_blank" rel="noopener"><img src="https://peda.net/salo/koulut/halikon-lukio/oppiaineet/pitk%C3%A4-matematiikka/maa122/1.-analyysin-kertausta-ja-taydennysta/funktion-muutosnopeus/geogebra-export-18-.png:file/photo/059c08c578582929274b11dc1d6ad4312c3b1c9e/geogebra-export%20%2818%29.png" alt="" title="geogebra-export (18).png" class="inline" loading="lazy"/></a> 2026-09-29T09:52:23+03:00 https://peda.net/id/52b72344bbd21 2025-09-30T11:20:42+03:00 Funktion f erotusosamäärä välillä [a, x] kertoo funktion keskimääräisen muutosnopeuden tällä välillä. Graafisesti tämä on suoran, sekantin kulmakerroin.<br/> <br/> <span>Erotusosamäärä välillä [a, x]</span> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7Bf%5Cleft(x%5Cright)-f%5Cleft(a%5Cright)%7D%7Bx-a%7D" alt="\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}"/></div> <br/> <br/> Seuraavasta linkistä nähdään mitä tapahtuu, kun x lähestyy a:ta:<br/> <a href="https://www.geogebra.org/m/wqqSvnbY" target="_blank" rel="nofollow ugc noopener">Derivaatan määritelmä</a><br/> <br/> Eli derivaatta on erotusosamäärän raja-arvo.<br/> Nyt funktion derivaatta kohdassa x = a on erotusosamäärän raja-arvo, kun x lähestyy a:ta.<br/> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%27%5Cleft(a%5Cright)%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20a%7D%5Cfrac%7Bf%5Cleft(x%5Cright)-f%5Cleft(a%5Cright)%7D%7Bx-a%7D" alt="f'\left(a\right)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}"/><br/> <br/> Tämä on funktion kuvaajalle kohtaan x = a piirretyn tangentin kulmakerroin. Derivaatta kertoo funktion hetkellisen muutosnopeuden.<br/> <br/> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=M%C3%A4%C3%A4rit%C3%A4%5C%20funktion%5C%20f%5Cleft(x%5Cright)%3Dx%5E2-4x%5C%20derivaatta%5C%20kohdassa%5C%20x%3D2%5C%20eli%5C%20f%27%5Cleft(2%5Cright)" alt="Määritä\ funktion\ f\left(x\right)=x^2-4x\ derivaatta\ kohdassa\ x=2\ eli\ f'\left(2\right)"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%27%5Cleft(2%5Cright)%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow2%7D%5Cfrac%7Bf%5Cleft(x%5Cright)-f%5Cleft(2%5Cright)%7D%7Bx-2%7D%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow2%7D%5Cfrac%7Bx%5E2-4x-%5Cleft(2%5E2-4%5Ccdot2%5Cright)%7D%7Bx-2%7D" alt="f'\left(2\right)=\lim_{x\rightarrow2}\frac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2}\frac{x^2-4x-\left(2^2-4\cdot2\right)}{x-2}"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow2%7D%5Cfrac%7Bx%5E2-4x%2B4%7D%7Bx-2%7D%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow2%7D%5Cfrac%7B%5Cleft(x-2%5Cright)%5Cleft(x-2%5Cright)%7D%7Bx-2%7D%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow2%7D%5Cleft(x-2%5Cright)%3D0" alt="=\lim_{x\rightarrow2}\frac{x^2-4x+4}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2}\frac{\left(x-2\right)\left(x-2\right)}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2}\left(x-2\right)=0"/> <div><br/> <div>eli f '(2) = 0. ⇒ Funktion derivaatta kohdassa x = 2 on 0 eli kohtaan x = 2 vastaavaan paraabelin pisteeseen piirretyn tangentin kulmakerroin on nolla (funktion derivaatan nollakohta on x = 2)<br/> <br/> <br/> </div> </div> 2026-09-29T09:52:23+03:00 https://peda.net/id/52b78bafbbd21 2025-10-21T18:53:28+03:00 <div> <div>Funktiolla on kohdassa x = a raja-arvona luku b, jos funktion vasemman ja oikeanpuoleiset raja-arvot ovat yhtä suuret eli</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20a%7Df%5Cleft(x%5Cright)%3Db%5C%20%5C%20%5CLeftrightarrow%5C%20%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20a_-%7Df%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20a_%2B%7Df%5Cleft(x%5Cright)%5Cleft(%3Db%5Cright)" alt="\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=b\ \ \Leftrightarrow\ \lim_{x\rightarrow a_-}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow a_+}f\left(x\right)\left(=b\right)"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=T%C3%A4ss%C3%A4%5C%20x%5Crightarrow%20a_-%5C%20tarkoittaa%7B%2C%7D%5C%20ett%C3%A4%5C%20x%5C%20l%C3%A4hestyy%5C%20a%3Ata%5C%20vasemmalta%5C%20puolelta" alt="Tässä\ x\rightarrow a_-\ tarkoittaa{,}\ että\ x\ lähestyy\ a:ta\ vasemmalta\ puolelta"/></div> <div>(a:ta pienemmillä x:n arvoilla)</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=ja%5C%20x%5Crightarrow%20a_%2B%5C%20tarkoittaa%7B%2C%7D%5C%20ett%C3%A4%5C%20x%5C%20l%C3%A4hestyy%5C%20a%3Ata%5C%20oikealta%5C%20puolelta" alt="ja\ x\rightarrow a_+\ tarkoittaa{,}\ että\ x\ lähestyy\ a:ta\ oikealta\ puolelta"/><br/> (a:ta suuremmilla arvoilla)</div> <div> </div> <div>Jotta funktio f olisi jatkuva kohdassa x = a, niin</div> <div>1. Funktiolla on oltava raja-arvo kohdassa x = a eli</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20a_-%7Df%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20a_%2B%7Df%5Cleft(x%5Cright)%5Cleft(%5CRightarrow%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20a%7Df%5Cleft(x%5Cright)%5C%20on%5C%20olemassa%5Cright)" alt="\lim_{x\rightarrow a_-}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow a_+}f\left(x\right)\left(\Rightarrow\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)\ on\ olemassa\right)"/></div> <span>ja </span> <div>2. Funktion raja-arvon on oltava yhtä suuri kuin funktion arvo kohdassa x = a eli</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20a%7Df%5Cleft(x%5Cright)%3Df%5Cleft(a%5Cright)" alt="\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=f\left(a\right)"/><br/> <br/> Jatkuvan funktion kuvaaja on yhteinäinen (&quot;käyrä ei katkea&quot;).<br/> Funktion jatkuvuutta ja raja-arvon olemassa oloa tutkitaan yleensä paloittain määritellyille funktioille<br/> <br/> esim<br/> <span>Määritä vakio a siten, että funktio f on jatkuva kaikkialla, kun</span> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cbegin%7Bcases%7D%0Aax-1%7B%2C%7D%5C%20kun%5C%20x%3E-1%26%5C%5C%0Ax%5E2%7B%2C%7D%5C%20kun%5C%20x%5Cle-1%26%0A%5Cend%7Bcases%7D" alt="f\left(x\right)=\begin{cases}&#10;ax-1{,}\ kun\ x&gt;-1&amp;\\&#10;x^2{,}\ kun\ x\le-1&amp;&#10;\end{cases}"/><!--filtered attribute: style="max-width: 100%; border: none;"--><br/> <br/> <br/> <br/> <div><span class="editor underline">Epäoleellinen raja-arvo</span></div> <div> </div> <div>Kun lasketaan erityisesti murtofunktion raja-arvoa kohdassa jossa funktio ei ole määritelty, saadaan raja-arvoksi </div> <div> - ∞ (ääretön), jolloin funktion arvot kasvavat rajatta tai </div> <div> - -∞ (miinus ääretön), jolloin funktion arvot pienenevät koko ajan lähestyen -∞</div> <div>Tällaisia raja-arvoja kutsutaan epäoleelliseksi raja-arvoksi, jotka ovat muotoa</div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7Bvakio%7D%7B0%7D" alt="\frac{vakio}{0}"/><br/> <br/> <div>esim funktiolla</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx-1%7D%5C%20" alt="f\left(x\right)=\frac{1}{x-1}\ "/></div> <div>määrittelyehto on x ≠ 1. Määritä sekä kuvaajan perusteella että laskemalla</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow1%7Df%5Cleft(x%5Cright)" alt="\lim_{x\rightarrow1}f\left(x\right)"/><br/> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx-1%7D%7B%2C%7D%5C%20x%5Cne1" alt="f\left(x\right)=\frac{1}{x-1}{,}\ x\ne1"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=kuvaajan%5C%20perusteella%5C%20%5Clim_%7Bx%5Crightarrow1-%7Df%5Cleft(x%5Cright)%3D-%5Cinfty%5C%20%5C%20ja%5C%20%5Clim_%7Bx%5Crightarrow1%2B%7Df%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cinfty" alt="kuvaajan\ perusteella\ \lim_{x\rightarrow1-}f\left(x\right)=-\infty\ \ ja\ \lim_{x\rightarrow1+}f\left(x\right)=\infty"/><br/> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5CRightarrow%5C%20%5Clim_%7Bx%5Crightarrow1%7Df%5Cleft(x%5Cright)%5C%20ei%5C%20ole" alt="\Rightarrow\ \lim_{x\rightarrow1}f\left(x\right)\ ei\ ole"/></div> <span>Laskemalla tai ilman kuvaajaa päättelemällä</span> <div> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow1%7D%5C%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx-1%7D%5C%20on%5C%20muotoa%5C%20%5Cfrac%7B1%7D%7B0%7D%5C%20%5C%20eli%5C%20raja-arvoksi%5C%20tulee%5C%20%5Cpm%5Cinfty" alt="\lim_{x\rightarrow1}\ \frac{1}{x-1}\ on\ muotoa\ \frac{1}{0}\ \ eli\ raja-arvoksi\ tulee\ \pm\infty"/></div> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7Cl%7D%0Ax-1%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20-%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%201%26%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%2B%5C%5C%0A%5Chline%0A%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Clim_%7Bx%5Crightarrow1-%7Df%5Cleft(x%5Cright)%3D-%5Cinfty%26%5Clim_%7Bx%5Crightarrow1%2B%7Df%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cinfty%0A%5Cend%7Barray%7D" alt="\begin{array}{l|l}&#10;x-1\ \ \ \ \ \ \ \ -\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1&amp;\ \ \ \ \ \ \ +\\&#10;\hline&#10;\ \ \ \ \ \ \ \lim_{x\rightarrow1-}f\left(x\right)=-\infty&amp;\lim_{x\rightarrow1+}f\left(x\right)=\infty&#10;\end{array}"/><br/> <br/> Huom! Murtofunktiolla on pystysuora asymptootti nimittäjän nollakohdassa tai nollakohdissa. <br/> <br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Esim%5C%20funktion%5C%20f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx-1%7D%7B%2C%7D%5C%20x%5Cne1%5C%20%5C%20pystysuora%5C%20asymptootti%5C%20on%5C%20suora%5C%20x%5C%20%3D%5C%201" alt="Esim\ funktion\ f\left(x\right)=\frac{1}{x-1}{,}\ x\ne1\ \ pystysuora\ asymptootti\ on\ suora\ x\ =\ 1"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="Esim\ funktion\ f\left(x\right)=\frac{1}{x-1}{,}\ x\ne1\ \ pystysuora\ asymptootti\ on\ suora\ x\ =\ 1"--><br/> <div> </div> <div>Asymptootti on suora, jota funktion kuvaaja lähestyy.</div> <br/> <div> </div> <div> </div> </div> </div> </div> 2026-09-29T09:52:23+03:00