https://peda.net/id/52a27256bbd41 2026-09-29T10:06:41+03:00 https://peda.net/:static/548/peda.net.logo.bg.svg <div class="license">Tämän sivun lisenssi <a rel="license noopener" href="https://peda.net/info" target="_blank">Peda.net-yleislisenssi</a></div> https://peda.net/id/a6094d72d6911 2026-11-02T09:48:42+02:00 <div><br/> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Polynomeissa%5C%20k%C3%A4ytett%C3%A4v%C3%A4%C3%A4%5C%20derivoimiss%C3%A4%C3%A4nt%C3%B6%C3%A4%5C%20Dx%5En%3Dn%5Ccdot%20x%5E%7Bn-1%7D" alt="Polynomeissa\ käytettävää\ derivoimissääntöä\ Dx^n=n\cdot x^{n-1}"/></div>  voidaan käyttää myös tapauksissa, joissa eksponentti n on negatiivinen tai murtoluku</div> <div><br/> <span>HUOM!</span><br/> <span> </span><span class="math-editor-wrapper"><img class="sc-gtLWhw dicMAG" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5Ep%7D%3Dx%5E%7B-p%7D" alt="\frac{1}{x^p}=x^{-p}"/><!--filtered attribute: data-math-svg="true"--><!--filtered attribute: data-latex="\frac{1}{x^p}=x^{-p}"--></span><span> </span><span> </span><br/> <br/> </div> <div>esimerkiksi</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=D%5C%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D%3DD%5C%20x%5E%7B-2%7D%3D-2%5Ccdot%20x%5E%7B-2-1%7D%3D-2%5Ccdot%20x%5E%7B-3%7D%3D-%5Cfrac%7B2%7D%7Bx%5E3%7D" alt="D\ \frac{1}{x^2}=D\ x^{-2}=-2\cdot x^{-2-1}=-2\cdot x^{-3}=-\frac{2}{x^3}"/></div> <span> </span><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=ennen%5C%20derivointia%5C%20muoto%5C%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D%5C%20muutetaan%5C%20muotoon%5C%20x%5E%7B-2%7D%7B%2C%7D%5C%20joka%5C%20derivoidaan%5C%20potenssifunktion" alt="ennen\ derivointia\ muoto\ \frac{1}{x^2}\ muutetaan\ muotoon\ x^{-2}{,}\ joka\ derivoidaan\ potenssifunktion"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=derivoimiss%C3%A4%C3%A4nn%C3%B6ll%C3%A4" alt="derivoimissäännöllä"/> <div> </div> <div>Samoin juurimuodot muutetaan ennen derivointia murtopotenssimuotoon</div> <div>esim</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5C%20%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%5E2%7D%3Dx%5E%7B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%7D" alt="\ \sqrt[3]{x^2}=x^{\frac{2}{3}}"/></div> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=nyt%5C%20D%5C%20%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%5E2%7D%3DD%5C%20x%5E%7B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%7D%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7Dx%5E%7B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D-1%7D%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7Dx%5E%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%7D%5C%20%5C%20%5Cleft(t%C3%A4m%C3%A4%5C%20muoto%5C%20muutetaan%5C%20takai%5Csin%5C%20juurimuotoon%5Cright)" alt="nyt\ D\ \sqrt[3]{x^2}=D\ x^{\frac{2}{3}}=\frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1}=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}\ \ \left(tämä\ muoto\ muutetaan\ takai\sin\ juurimuotoon\right)"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%7D%7D%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%7D%7D" alt="=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt[3]{x}}"/> 2026-11-02T09:47:26+02:00 https://peda.net/id/fb9ead9dd6901 2026-11-02T09:45:20+02:00 <div> </div> <div><b>Tulon ja osamäärän derivoimissääntö</b></div> <div> </div> <div>Tulon tekijöitä ei voida derivoida erikseen vaan jos funktio on kahden eri lausekkeen tulo niin siinä joudutaan käyttämään tulon derivoimissääntöä.<br/> <br/> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=summan%5C%20tapauksessa%5C%20molemmat%5C%20yhteenlaskettavat%5C%20derivoidaan%5C%20erikseen%5C%20eli" alt="summan\ tapauksessa\ molemmat\ yhteenlaskettavat\ derivoidaan\ erikseen\ eli"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=D%5Cleft(f%5Cleft(x%5Cright)%2Bg%5Cleft(x%5Cright)%5Cright)%3Df%27%5Cleft(x%5Cright)%2Bg%27%5Cleft(x%5Cright)" alt="D\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)=f'\left(x\right)+g'\left(x\right)"/><br/> '<br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=tulon%5C%20tapauksessa%5C%20D%5Cleft(f%5Cleft(x%5Cright)%5Ccdot%20g%5Cleft(x%5Cright)%5Cright)%5Cne%5Cne%5Cne%5Cne%20f%27%5Cleft(x%5Cright)%5Ccdot%20g%27%5Cleft(x%5Cright)" alt="tulon\ tapauksessa\ D\left(f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right)\ne\ne\ne\ne f'\left(x\right)\cdot g'\left(x\right)"/><br/> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Tulon%5C%20derivoimiss%C3%A4%C3%A4nt%C3%B6%3A%5C%20D%5Cleft(f%5Cleft(x%5Cright)%5Ccdot%20g%5Cleft(x%5Cright)%5Cright)%3Df%27%5Cleft(x%5Cright)%5Ccdot%20g%5Cleft(x%5Cright)%2Bf%5Cleft(x%5Cright)%5Ccdot%20g%27%5Cleft(x%5Cright)" alt="Tulon\ derivoimissääntö:\ D\left(f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right)=f'\left(x\right)\cdot g\left(x\right)+f\left(x\right)\cdot g'\left(x\right)"/><br/> <br/> </div> <div>Nyt tässä kohdin tulon derivoimissääntöä ei juurikaan tarvita, koska kun f ja g ovat polynomeja niin yleensä tulo voidaan siventää ennen derivointia<br/> <br/> </div> <div>esimerkiksi</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=D%5Cleft(x%5E3%5Ccdot%20x%5E4%5Cright)%3DDx%5E7%3D7x%5E6%5C%20%5Cleft(ei%5C%20kannata%5C%20k%C3%A4ytt%C3%A4%C3%A4%5C%20tulon%5C%20derivoimiss%C3%A4%C3%A4nt%C3%B6%C3%A4%5Cright)" alt="D\left(x^3\cdot x^4\right)=Dx^7=7x^6\ \left(ei\ kannata\ käyttää\ tulon\ derivoimissääntöä\right)"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cleft(D%5Cleft(x%5E3%5Ccdot%20x%5E4%5Cright)%3D3x%5E2%5Ccdot%20x%5E4%2Bx%5E3%5Ccdot4x%5E3%3D3x%5E6%2B4x%5E6%3D7x%5E6%5Cright)" alt="\left(D\left(x^3\cdot x^4\right)=3x^2\cdot x^4+x^3\cdot4x^3=3x^6+4x^6=7x^6\right)"/></div> <div> </div> <div>Murtolauseke on kahden polynomin osamäärä, joka joudutaan derivoimaan osamäärän derivoimissäännön avulla. Eli ei voida ajatella siten, että derivoidaan osoittaja ja nimittäjä erikseen</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=D%5C%20%5Cfrac%7Bf%5Cleft(x%5Cright)%7D%7Bg%5Cleft(x%5Cright)%7D%5Cne%5Cne%5Cne%5Cne%5Cne%5Cfrac%7Bf%27%5Cleft(x%5Cright)%7D%7Bg%27%5Cleft(x%5Cright)%7D" alt="D\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\ne\ne\ne\ne\ne\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}"/><br/> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Osam%C3%A4%C3%A4r%C3%A4n%5C%20derivoimiss%C3%A4%C3%A4nt%C3%B6%3A%5C%20D%5Cfrac%7Bf%5Cleft(x%5Cright)%7D%7Bg%5Cleft(x%5Cright)%7D%3D%5Cfrac%7Bf%27%5Cleft(x%5Cright)%5Ccdot%20g%5Cleft(x%5Cright)-f%5Cleft(x%5Cright)%5Ccdot%20g%27%5Cleft(x%5Cright)%7D%7B%5Cleft(g%5Cleft(x%5Cright)%5Cright)%5E2%7D" alt="Osamäärän\ derivoimissääntö:\ D\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{f'\left(x\right)\cdot g\left(x\right)-f\left(x\right)\cdot g'\left(x\right)}{\left(g\left(x\right)\right)^2}"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Lyhyem%5Cmin%3A%5C%20D%5C%20%5Cfrac%7Bf%7D%7Bg%7D%3D%5Cfrac%7Bf%27%5Ccdot%20g-f%5Ccdot%20g%27%7D%7Bg%5E2%7D" alt="Lyhyem\min:\ D\ \frac{f}{g}=\frac{f'\cdot g-f\cdot g'}{g^2}"/><br/> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=esim" alt="esim"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cfrac%7B2x%2B1%7D%7B3x-4%7D" alt="f\left(x\right)=\frac{2x+1}{3x-4}"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%27%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cfrac%7B2%5Ccdot%5Cleft(3x-4%5Cright)-%5Cleft(2x%2B1%5Cright)%5Ccdot3%7D%7B%5Cleft(3x-4%5Cright)%5E2%7D%3D%5Cfrac%7B6x-8-6x-3%7D%7B%5Cleft(3x-4%5Cright)%5E2%7D%3D-%5Cfrac%7B11%7D%7B%5Cleft(3x-4%5Cright)%5E2%7D" alt="f'\left(x\right)=\frac{2\cdot\left(3x-4\right)-\left(2x+1\right)\cdot3}{\left(3x-4\right)^2}=\frac{6x-8-6x-3}{\left(3x-4\right)^2}=-\frac{11}{\left(3x-4\right)^2}"/></div> <div> </div> <div><span> </span><span> HUOM!! </span><span class="math-editor-wrapper"><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=D%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Cleft(x%5E2-2x%5Cright)%7D%7B5%7D%5Cright)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D%5Ccdot%20D%5Cleft(x%5E2-2x%5Cright)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D%5Ccdot%5Cleft(2x-2%5Cright)" alt="D\left(\frac{\left(x^2-2x\right)}{5}\right)=\frac{1}{5}\cdot D\left(x^2-2x\right)=\frac{1}{5}\cdot\left(2x-2\right)"/><!--filtered attribute: data-math-svg="true"--><!--filtered attribute: data-latex="D\left(\frac{\left(x^2-2x\right)}{5}\right)=\frac{1}{5}\cdot D\left(x^2-2x\right)=\frac{1}{5}\cdot\left(2x-2\right)"--></span><span> <br/> <br/> </span><br/> <br/> <br/> Murtofunktion kulku ja ääriarvot<br/> <br/> <br/> </div> 2026-11-02T09:42:41+02:00