4.2 Polynomifunktion ääriarvothttps://peda.net/id/518ace0ef552019-10-23T09:14:06+03:00https://peda.net/:static/537/peda.net.logo.bg.svg<div class="license">Tämän sivun lisenssi <a rel="license" href="https://peda.net/info">Peda.net-yleislisenssi</a></div>
430https://peda.net/id/6d04134ef712019-10-25T14:13:09+03:00<div>430</div>
<div>derivoidaaan </div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=-9%7B%2C%7D8x%2B10" alt="-9{,}8x+10"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3D0" alt="=0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D0%7B%2C%7D98" alt="x=0{,}98"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=testiarvot" alt="testiarvot"/><!--filtered attribute: style="display: inline;"--><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=1%3D-0%7B%2C%7D02" alt="1=-0{,}02"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=0%3D10" alt="0=10"/><!--filtered attribute: style="display: inline;"--></div>
<div>kulkukaavio </div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%26%260%7B%2C%7D98%26%5C%5C%0Af'%5Cleft(x%5Cright)%26%2B%26%26-%5C%5C%0Af%5Cleft(x%5Cright)%26%5Cnearrow%5C%20%26%26%5Csearrow%0A%5Cend%7Bmatrix%7D" alt="\begin{matrix} &&0{,}98&\\ f'\left(x\right)&+&&-\\ f\left(x\right)&\nearrow\ &&\searrow \end{matrix}"/></div>
<div>funktion maksimi on kohdassa x=0,98</div>
<div>lasketaan funktion arvo silloin </div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=h%5Cleft(0%7B%2C%7D98%5Cright)%3D6%7B%2C%7D094...m%5Capprox6%7B%2C%7D1m" alt="h\left(0{,}98\right)=6{,}094...m\approx6{,}1m"/></div>
<div>pallo osuu maahan kun funktion arvo on 0</div>
<div>laskimella saadaan tulos <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=2%7B%2C%7D13634%5C%20s%5Capprox2%7B%2C%7D1s" alt="2{,}13634\ s\approx2{,}1s"/></div>
<div> </div>
2019-10-25T14:13:09+03:00429https://peda.net/id/54303bfaf712019-10-25T14:05:18+03:00<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D-3x%5E4%2B4x%5E3%2B12x%5E2" alt="f\left(x\right)=-3x^4+4x^3+12x^2"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f'%5Cleft(x%5Cright)%3D-12x%5E3%2B12x%5E2%2B24x" alt="f'\left(x\right)=-12x^3+12x^2+24x"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=lasketaan%5C%20nollakohdat" alt="lasketaan\ nollakohdat"/><!--filtered attribute: style="display: inline;"--><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f'%5Cleft(x%5Cright)%3D0" alt="f'\left(x\right)=0"/><!--filtered attribute: style="display: inline;"--><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D-1%5C%20tai%5C%20x%3D0%5C%20tai%5C%20x%3D2" alt="x=-1\ tai\ x=0\ tai\ x=2"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=lasketaan%5C%20arvot%5C%20testikohdissa" alt="lasketaan\ arvot\ testikohdissa"/><!--filtered attribute: style="display: inline;"--><br/>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%26%26-1%26%260%26%262%26%5C%5C%0Af'%5Cleft(x%5Cright)%26%2B%26%26-%26%26%2B%26%26-%5C%5C%0Af%5Cleft(x%5Cright)%26%5Cnearrow%26%26%5Csearrow%26%26%5Cnearrow%26%26%5Csearrow%0A%5Cend%7Bmatrix%7D" alt="\begin{matrix} &&-1&&0&&2&\\ f'\left(x\right)&+&&-&&+&&-\\ f\left(x\right)&\nearrow&&\searrow&&\nearrow&&\searrow \end{matrix}"/></div>
<div>a)</div>
<div>mikä on funktion pienin arvo välillä [-1,1]</div>
<div>välillä on yksi lokaali minimi, x=0</div>
<div>funktion minimiarvo välillä on joko lokaali minimiarvo tai välin päätepiste</div>
<div>lasketaan funktion arvo kaikissa kolmessa pisteessä</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(-1%5Cright)%3D5" alt="f\left(-1\right)=5"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(0%5Cright)%3D0" alt="f\left(0\right)=0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(1%5Cright)%3D13" alt="f\left(1\right)=13"/></div>
<div>arvojen keskinäinen vertailu osoittaa pienimmän arvon olevan 0, kun x=0</div>
<div>b) välillä [-2,3]</div>
<div> </div>
<div>lokaali minimi x=0, funktion arvo silloin nolla</div>
<div>lasketaan arvot välin päätepisteille</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(-2%5Cright)%3D-32" alt="f\left(-2\right)=-32"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(3%5Cright)%3D-27" alt="f\left(3\right)=-27"/></div>
<div>arvojen keskinäinen vertailu osoittaa pienimmän arvon olevan -32, kun x=-2</div>
2019-10-25T14:05:17+03:00428https://peda.net/id/3ea57806f712019-10-25T13:50:22+03:00<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D-0%7B%2C%7D0074x%5E2%2B0%7B%2C%7D059x%2B999%7B%2C%7D86" alt="f\left(x\right)=-0{,}0074x^2+0{,}059x+999{,}86"/><br/>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f'%5Cleft(x%5Cright)%3D-0%7B%2C%7D0148x%2B0%7B%2C%7D059" alt="f'\left(x\right)=-0{,}0148x+0{,}059"/></div>
<div>etsitään mahdolliset nollakohdat</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D3.986486486..." alt="x=3.986486486..."/></div>
<div>kulkukaavio</div>
<div>testikohdat 3 ja 4</div>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(3%5Cright)%3E0" alt="f\left(3\right)>0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(4%5Cright)%3C0" alt="f\left(4\right)<0"/><br/>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%26%263%7B%2C%7D986...%26%5C%5C%0Af'%5Cleft(x%5Cright)%26%2B%26%26-%5C%5C%0Af%5Cleft(x%5Cright)%26%5Cnearrow%26%26%5Csearrow%0A%5Cend%7Bmatrix%7D" alt="\begin{matrix} &&3{,}986...&\\ f'\left(x\right)&+&&-\\ f\left(x\right)&\nearrow&&\searrow \end{matrix}"/></div>
<div>funktion globaali maksimi on kohdassa <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D3%7B%2C%7D986..." alt="x=3{,}986..."/></div>
<div>se on tarkasteluvälillä [0,20]</div>
<div>lasketaan funktion arvo derivaattafunktion nollakohdassa</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(3%7B%2C%7D986...%5Cright)%3D999%7B%2C%7D978%5C%20%5Cfrac%7Bg%7D%7Bdm%5E3%7D%5Capprox1000%7B%2C%7D0%5C%20%5Cfrac%7Bg%7D%7Bdm%5E3%7D" alt="f\left(3{,}986...\right)=999{,}978\ \frac{g}{dm^3}\approx1000{,}0\ \frac{g}{dm^3}"/></div>
<div>ja se saavutetaan lämpötilassa</div>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=4%7B%2C%7D0%C2%B0C" alt="4{,}0°C"/>2019-10-25T13:50:22+03:00426https://peda.net/id/1ef20a14f712019-10-25T13:20:51+03:00a)<br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D2x%5E3-5x%5E2-4x%2B2" alt="f\left(x\right)=2x^3-5x^2-4x+2"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f'%5Cleft(x%5Cright)%3D6x%5E2-10x-4" alt="f'\left(x\right)=6x^2-10x-4"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=nollakohdat%5C%20x%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5C%20tai%5C%20x%3D2" alt="nollakohdat\ x=-\frac{1}{3}\ tai\ x=2"/><!--filtered attribute: style="display: inline;"--><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=arvot%5C%20testikohdissa%5C%20-1%7B%2C%7D%5C%200%7B%2C%7D%5C%203" alt="arvot\ testikohdissa\ -1{,}\ 0{,}\ 3"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f'%5Cleft(-1%5Cright)%3D12%3E0" alt="f'\left(-1\right)=12>0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f'%5Cleft(0%5Cright)%3D-4%3C0" alt="f'\left(0\right)=-4<0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f'%5Cleft(3%5Cright)%3D20%3E0" alt="f'\left(3\right)=20>0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=muodostetaan%5C%20kulkukaavio" alt="muodostetaan\ kulkukaavio"/><br/>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%26%26-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%26%262%26%5C%5C%0Af'%5Cleft(x%5Cright)%26%2B%26%26-%26%26%2B%5C%5C%0Af%5Cleft(x%5Cright)%26%5Cnearrow%26%26%5Csearrow%26%26%5Cnearrow%0A%5Cend%7Bmatrix%7D" alt="\begin{matrix} &&-\frac{1}{3}&&2&\\ f'\left(x\right)&+&&-&&+\\ f\left(x\right)&\nearrow&&\searrow&&\nearrow \end{matrix}"/></div>
<div>funktion ääriarvokohdat ovat <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5C%20ja%5C%20x%3D2" alt="x=-\frac{1}{3}\ ja\ x=2"/></div>
<div>arvot ääriarvokohdissa ovat</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cright)%3D2%7B%2C%7D7037..." alt="f\left(-\frac{1}{3}\right)=2{,}7037..."/></div>
<div>paikallinen maksimi<br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D-10" alt="f\left(x\right)=-10"/></div>
<div>paikallinen minimi</div>
<div>b)</div>
<div>funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa tietyllä välillä </div>
<div>joko ääriarvokohdissa, joiden arvot olemme jo selvittäneet, tai välin päätepisteissä</div>
<div>välillä [-2,3] ne ovat <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D-2%5C%20ja%5C%20x%3D3" alt="x=-2\ ja\ x=3"/><!--filtered attribute: style="display: inline;"--></div>
<div>lasketaan funktion arvot välin päätepisteissä</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(-2%5Cright)%3D-26" alt="f\left(-2\right)=-26"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(3%5Cright)%3D-1" alt="f\left(3\right)=-1"/><br/>
funktion pienin arvo välillä on -26</div>
<div>funktion suurin arvo välillä on 2,7037...</div>
<div>c) </div>
<div>C</div>
2019-10-25T13:20:51+03:00435https://peda.net/id/5c4ed5a0f562019-10-25T12:56:29+03:00<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D3x%5E4-16x%5E3%2B18x%5E2%2B28" alt="f\left(x\right)=3x^4-16x^3+18x^2+28"/><br/>
derivoidaan<br/>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f'%5Cleft(x%5Cright)%3D12x%5E3-48x%5E2%2B36x" alt="f'\left(x\right)=12x^3-48x^2+36x"/></div>
<div>lasketaan nollakohdat</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D0%7B%2C%7D%5C%20x%3D1%5C%20tai%5C%20x%3D3" alt="x=0{,}\ x=1\ tai\ x=3"/><!--filtered attribute: style="display: inline;"--></div>
<div>arvot testikohdissa -1, 1/2, 2, 4</div>
<div><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%26%260%26%261%26%263%26%5C%5C%0Af'%5Cleft(x%5Cright)%26-%26%26%2B%26%26-%26%26%2B%5C%5C%0Af%5Cleft(x%5Cright)%26%5Csearrow%26%26%5Cnearrow%26%26%5Csearrow%26%26%5Cnearrow%5C%5C%0A%26%26%5Cmin%26%26%5Cmax%26%26%5Cmin%26%0A%5Cend%7Bmatrix%7D" alt="\begin{matrix} &&0&&1&&3&\\ f'\left(x\right)&-&&+&&-&&+\\ f\left(x\right)&\searrow&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow\\ &&\min&&\max&&\min& \end{matrix}"/><br/>
<br/>
paikalliset ääriarvokohdat:<br/>
minimiarvot x=0 ja x=3, jotka ovat 28 ja 1<br/>
maksimiarvo x=1, joka on 33<br/>
<br/>
funktiolla ei ole globaalia maksimia, koska funktio on kasvava kun x > 3<br/>
funktion toinen paikallinen minimiarvo on myös funktion globaali minimi, x=3, jossa funktion arvo on 1<br/>
funktiolla ei ole nollakohtia, globaali minimi on suurempaa kuin 0</div>
2019-10-23T09:57:21+03:00422https://peda.net/id/781ebda6f562019-10-23T09:43:49+03:00a)<br/>
suurin arvo<br/>
x=1 tai x=7<br/>
pienin arvo<br/>
x=-1 tai x=3 tai x=10<br/>
b)<br/>
suurin arvo<br/>
x=0 tai x=5<br/>
pienin arvo<br/>
x=-7 tai x=22019-10-23T09:43:49+03:00määritelmähttps://peda.net/id/d3e540d4f552019-10-23T09:39:13+03:00Polynomifunktion ääriarvot<br/>
<br/>
Lause<br/>
Jatkuvalla funktiolla f on suurin ja pienin arvo suljetulla välillä [a,b]<br/>
Jos funktio f on lisäksi derivoituva välillä ]a,b[, niin suurin ja pienin arvo saavutetaan<br/>
1) välin päätepisteessä<br/>
tai<br/>
2) välille kuuluvassa derivaattafunktion nollakohdassa2019-10-23T09:39:13+03:00