MAY1 (MImm)

Luvut ja lukujonot

2019-08-13T13:23:10+03:00

- Välitestit 2*6p=12p

- Loppukoe 6*12p=72p

- Kokeessa A osio ilman laskinta

- B-Osiossa laskinohjemistot käytössä

- Koe tehdään omalla tietokoneella, usb-tikulta käynnistettävässä Abitti-ympäristössä

- Laskimena käytetään TI-nspire -ohjelmistoa. Nspire.fi/aloitus

- Toinen ohjelmisto Geogebra. Geogebra.org

- Kirjana Sanomapro: Tekijä

- Taulukkokirjana Otava: MAOL-taulukot

1 - Kokonaisluvut

2016-08-16T17:41:08+03:00

Lukujoukot:

Luonnolliset luvut

Kokonaisluvut

Rationaaliluvut

Irrationaaliluvut ovat niitä reaalilukuja, jotka eivät ole rationaalilukuja. Ne tunnistaa päättymättömästä, jaksottomasta desimaaliesityksestä.

Reaaliluvut R on edellisten yhdiste

Reaalilukujen laskutoimitukset (yhteenlasku ja kertolasku) ovat vaihdannaisia ja liitännäisiä

Esimerkki 11.

Luvun ja sen vastaluvun summa on nolla.

Itseisarvo ilmaisee luvun etäisyyden lukusuoralla luvusta nolla. Luku ja sen vastaluku ovat lukusuoralla yhtä kaukana luvusta nolla.

Esimerkki 17

Harjoituksia 1, 4, 6, 8, 10, 12 + 18, 20

2 - Reaaliluvut

2016-08-21T19:43:08+03:00

Luvun ja sen käänteisluvun tulo on yksi

Murtolukujen summa lasketaan

Lavenna saman nimisiksi
Laske osoittajat yhteen

Murtolukujen tulo lasketaan

Supista jos mahdollista
Kerro osoittajat ja nimittäjät keskenään

Sekaluvut kannattaa muuttaa usein murtoluku muotoon

Esimerkki 30

Esimerkki 33

Esimerkki 41

Harjoituksia 26, 27, 29, 32, 34, 35 + 42, 43

3 - Yhtälö ja epäyhtälö

2016-08-24T07:25:19+03:00

Kun kaksi lauseketta merkitään yhtä suuriksi, saadaan yhtälö. Tämä voi olla tosi tai epätosi. Muuttujan arvoja, joilla yhtälö on tosi sanotaan yhtälön ratkaisuiksi, eli juuriksi.

Esimerkki 45

Esimerkki 48

Esimerkki 52

Epäyhtälössä ratkaisu keinot ovat samat kunhan muistaa kääntää epäyhtälön suunnan kerrottaessa tai jaettaessa negatiivisella luvulla.

Esimerkki 55

Harjoituksia 46, 51, 54, 58, 60, 61, 62

4 - Potenssi

2016-08-24T15:19:12+03:00

Esimerkki 67

Esimerkki 74

Esimerkki 77

Esimerkki 78

Esimerkki 85

Harjoituksia 68, 69, 70, 73, 75, 86, 88

5 - Potenssin laskusäännöt

2016-08-28T19:27:02+03:00

Esimerkki 92

Esimerkki 93

Esimerkki 95

Esimerkki 97

Esimerkki 98

Harjoituksia 90, 94, 96, 102, 103, 104, 109

6 - Eksponentin ratkaiseminen

2016-08-30T15:37:46+03:00

Yhtälö jossa muuttuja esiintyy eksponentissa, voidaan ratkaista

Muuttamalla lausekkeiden kantaluvut yhtä suuriksi
Käyttämällä apuna logaritmia

Esimerkki 116

Esimerkki 119

Luvun b a-kantainen logaritmi tarkoittaa yhtälön a^x = b ratkaisua.

Esimerkki 125

Esimerkki 128

Harjoituksia 115, 120, 123, 124, 126, 133

7 - Prosenttilaskentaa

2016-09-01T14:37:52+03:00

Prosentti tarkoittaa sadasosaa, eli

1% = 1/100 = 0,01

Huom! Promille 1‰ = 1/1000

Esimerkki 139

Esimerkki 164

Esimerkki 167

Harjoituksia 142, 145, 148, 149, 152, 168, 170

8 - Prosentuaalinen muutos

2016-09-02T11:52:37+03:00

Muutos voidaan ilmaista myös prosenttiyksikköinä.

Esimerkiksi jos lainan korko nousee yhden prosenttiyksikön 2 prosentista 3 prosenttiin on muutos yhden prosenttiyksikön mutta muutoksen suuruus prosentteina on (3-2)/2 * 100% = 50%.

Esimerkki 154

Prosenttiyhtälöt voidaan ratkaista lausekkeen

prosenttikerroin x alkuarvo = loppuarvo

Esimerkki 171

Esimerkki 175

Harjoituksia 153, 157, 172, 173, 176

9 - Funktio

2016-09-07T07:31:26+03:00

Funktio joukosta A joukkoon B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon yhden alkion joukosta B.

Merkitään f: A->B

Esim.

Ympyrän pinta-ala riippuu sen säteestä, joten ympyrän pinta-ala on säteen funktio ja sääntö voidaan esittää vaikkapa muodossa A(r) = πr².

Esimerkki 186

Esimerkki 190

Esimerkki 193

Esimerkki 201

Harjoituksia 185, 192, 195, 200, 202

10 - Funktion kuvaaja

2016-09-07T14:18:51+03:00

Olkoon y x:n funktion, eli y = f(x). Funktion arvoa eri muuttujan arvoilla voidaan havainnollistaa kuvaajan avulla.

Esim.

Nyt

f(-5) = 3
f(-4) = 3
f(-2) = 2
f(3) = 4

Huom! Funktiota ei ole määritelty kun -1 < x < 1.

Esimerkki 208

Esimerkki 211

Esimerkki 218 Kuvaajan piirtäminen käsin

Esimerkki 217 Kuvaajan piirtäminen laskimella

Harjoituksia 206, 210, 214, 220, 224, 225

11 - Lukujono

2020-09-09T09:35:13+03:00

Määritteleminen yleisen jäsenen avulla:

lukujonon jäsenet a₁, a₂, a₃, … , a_n, … missä on positiivinen kokonaisluku, ilmaistaan yleisen jäsenen a_n avulla.

Esim.
a_n = 2n – 1 määrittelee jonon 1, 3, 5, 7, …

a_n = 1/n määrittelee jonon 1, ½, 1/3, …

Lukujono (a_n) on

kasvava, kun

aidosti kasvava, kun

vähenevä, kun

aidosti vähenevä, kun

monotoninen = kasvava tai vähenevä

Esim.

Olkoon a_n = n + (n-1)(n-2)(n-3)(n-4)*(π-5)/24

nyt

a₁ = 1

a₂ = 2

a₃ = 3

a₄ = 4

a₅ = 5+π

Esimerkki 231

Esimerkki 234

Esimerkki 237

Harjoituksia 230, 233, 235, 236, 241, 243

11 - Rekursiivinen lukujono

2016-09-14T21:10:07+03:00

Rekursiivisesti määritelty jono:

Seuraava jäsen ilmoitetaan edellisten avulla.

Esim. Fibonaccin jono

Jono on 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …

Esimerkki 250

Esimerkki 258

Esimerkki 259

Harjoituksia 249, 252, 256, 260, 261, 264

12 - Aritmeettinen lukujono

2016-09-18T15:32:32+03:00

Lukujonoa sanotaan aritmeettiseksi jos sen peräkkäisten jäsenten erotus (differenssi) on vakio.

Esim.

Jono 1,2,3,4,5,… d=1

tai jono 4, 2, 0, -2, -4, … d=-2

Esim. Selvitä aritmeettisen lukujonon 6, 10, 14, … n. jäsen.

Differenssi d saadaan peräkkäisten jäsenten erotuksena 10 – 6 = 4.

a₁ = 6

a₂ = 6 + 4

a₃ = (6 + 4) + 4 = 6 + 2x4

a₄ = (6 + 2x4) + 4 = 6 + 3x4

…

a_n = 6 + (n -1)x4

Huom! Aritmeettisen lukujonon yleinen jäsen a_n = a₁ + (n-1) x d

Esimerkki 269

Esimerkki 272

Esimerkki 273

Esimerkki 277

Esimerkki 284

Harjoituksia 268, 271, 276, 278, 283, 287

13 - Aritmeettinen summa

2016-09-19T17:53:22+03:00

Lasketaan aritmeettisen lukujonon n ensimmäistä jäsentä yhteen ja kirjoitetaan saatu summalauseke kahdella tavalla.

Josta saadaan

ja edelleen laskemalla lausekkeet puolittain yhteen

Jaetaan lopuksi saatu yhtälö puolittain kahdella jolloin saamme aritmeettisen summan lausekkeeksi:

Esimerkki

Laske 1+2+3+...+99+100.

Summa saadaan

Esimerkki 293

Esimerkki 297

Esimerkki 300, 301 (Summamerkintä)

Esimerkki 302

Harjoituksia 291, 296, 300, 301, 303, 310

14 - Geometrinen lukujono

2018-09-17T11:36:37+03:00

Lukujonoa sanotaan geometriseksi jos sen peräkkäisten jäsenten suhde on vakio.

Esimerkki

Jono 1, 2, 4, 8, 16, … suhdeluku q=2

jono -1, 1, -1, 1, -1, … q=-1

Esimerkki: Selvitä geometrisen lukujonon 1, 2, 4, 8, … n. jäsen.

Suhdeluku saadaan peräkkäisten jäsenten suhteena

Jolloin

a₁ = 1

a₂ = 1 x 2

a₃ = (1 x 2) x 2 = 1 x2²

a₄ = (1 x2²) x 2 = 1 x2³

a₅ = (1 x2³) x 2 = 1 x2⁴

…

a_n = 1 x2^n-1

Huom! Geometrisen jonon yleinen jäsen a_n = a₁ x q^n-1

Esimerkki 315

Esimerkki 318

Esimerkki 320

Harjoituksia 317, 321, 322, 325, 326 + 330

15 - Geometrinen summa

2016-09-25T18:05:40+03:00

Kirjoitetaan ensin summa lausekkeet joista ensimmäisessä on laskettu yhteen n kappaletta geometrisen lukujonon jäseniä ja jälkimmäisessä sama summa on kerrottu luvulla q.

Vähennetään ylemmästä lausekkeesta puolittain alempi, jolloin saadaan

Tästä ottamalla yhteinen tekijä, yhtälö saa muodon

Josta edelleen jakamalla puolittain termillä 1 – q, saadaan geometrisen summan lauseke

Esimerkki

Laske summa 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512.

Esimerkki 340

Esimerkki 343

Esimerkki 345

Harjoituksia 339, 341, 342, 344, 348, 354