2.3 Funktion jatkuvuushttps://peda.net/id/49237f6ee4d2019-10-02T08:27:11+03:00https://peda.net/:static/537/peda.net.logo.bg.svg<div class="license">Tämän sivun lisenssi <a rel="license" href="https://peda.net/info">Peda.net-yleislisenssi</a></div>
254https://peda.net/id/3f78497ae4e2019-10-02T09:52:49+03:00a) tosi, bolzanon säännön mukaan jos välin päätepisteiden raja-arvot ovat erimerkkiset ja funktio on jatkuva, sillä on ainakin yksi nollakohta<br/>
b) epätosi, välillä voisi olla vaikkapa neljä nollakohtaa<br/>
c) tosi, väleillä ]1,2[ ja ]2,3[2019-10-02T09:52:49+03:00256https://peda.net/id/931619d2e4e2019-10-02T09:48:00+03:00<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3Dx%5E4-x-3" alt="f\left(x\right)=x^4-x-3"/></div>
<div>koska funktio on polynomifunktio, se on aina jatkuva</div>
<div>kokeillaan bolzanon sääntöä välille ]0,2[</div>
<div> </div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(0%5Cright)%3D-3%5C%20%3C0" alt="f\left(0\right)=-3\ <0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(2%5Cright)%3D16-2-3%3D11%3E0" alt="f\left(2\right)=16-2-3=11>0"/></div>
<div>välin päätepisteissä funktion arvot ovat erimerkkiset ja funktio on jatkuva välillä, funktiolla on siis Bolzanon säännön mukaan olemassa nollakohta välillä ]0,2[</div>
2019-10-02T09:48:00+03:00252https://peda.net/id/6e937b14e4d2019-10-02T09:39:49+03:00<div>a)<br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cbegin%7Bcases%7D%0A%5Cfrac%7B25-x%5E2%7D%7B5-x%7D%7B%2C%7D%26kun%5C%20x%3C5%5C%5C%0A3x-5%7B%2C%7D%26kun%5C%20x%5Cge5%0A%5Cend%7Bcases%7D" alt="f\left(x\right)=\begin{cases} \frac{25-x^2}{5-x}{,}&kun\ x<5\\ 3x-5{,}&kun\ x\ge5 \end{cases}"/></div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(5%5Cright)%3D15-5%3D10" alt="f\left(5\right)=15-5=10"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow5-%7Df%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cfrac%7B0%7D%7B0%7D%7B%2C%7D%5C%20lauseketta%5C%20pit%C3%A4%C3%A4%5C%20sievent%C3%A4%C3%A4" alt="\lim_{x\rightarrow5-}f\left(x\right)=\frac{0}{0}{,}\ lauseketta\ pitää\ sieventää"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7B25-x%5E2%7D%7B5-x%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cleft(5-x%5Cright)%5Cleft(5%2Bx%5Cright)%7D%7B5-x%7D%3D5%2Bx" alt="\frac{25-x^2}{5-x}=\frac{\left(5-x\right)\left(5+x\right)}{5-x}=5+x"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow5-%7D%3D10" alt="\lim_{x\rightarrow5-}=10"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow5%2B%7D%3D10" alt="\lim_{x\rightarrow5+}=10"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=koska%5C%20%5Clim_%7Bx%5Crightarrow5-%7D%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow5%2B%7D%3D10%7B%2C%7D%5C%20%5Clim_%7Bx%5Crightarrow5%7D%3D10" alt="koska\ \lim_{x\rightarrow5-}=\lim_{x\rightarrow5+}=10{,}\ \lim_{x\rightarrow5}=10"/></div>
<div>funktion arvo on yhtäsuuri kuin funktion raja-arvo kohdassa x=5, joten funktio on jatkuva</div>
<div><br/>
b)<br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cbegin%7Bcases%7D%0A%5Cfrac%7Bx%5E3-5%7D%7Bx%5E2%2B1%7D%7B%2C%7D%26kun%5C%20x%5Cne5%5C%5C%0A12%26kun%5C%20x%3D5%0A%5Cend%7Bcases%7D" alt="f\left(x\right)=\begin{cases} \frac{x^3-5}{x^2+1}{,}&kun\ x\ne5\\ 12&kun\ x=5 \end{cases}"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(5%5Cright)%3D12" alt="f\left(5\right)=12"/><br/>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow5%7D%3D%5Cfrac%7B120%7D%7B26%7D%3D%5Cfrac%7B60%7D%7B13%7D%5Capprox4%7B%2C%7D651...%5Cne12" alt="\lim_{x\rightarrow5}=\frac{120}{26}=\frac{60}{13}\approx4{,}651...\ne12"/></div>
<div>funktio ei ole jatkuva kohdassa, raja-arvo on erisuuri kuin funktion arvo</div>
</div>
2019-10-02T09:39:49+03:00248https://peda.net/id/3a99066ee4d2019-10-02T09:24:03+03:00<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cbegin%7Bcases%7D%0A-2x%2B1%7B%2C%7D%26kun%5C%20x%5Cle1%5C%5C%0Ax-1%26kun%5C%20x%3E1%0A%5Cend%7Bcases%7D" alt="f\left(x\right)=\begin{cases} -2x+1{,}&kun\ x\le1\\ x-1&kun\ x>1 \end{cases}"/><br/>
a)<br/>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(1%5Cright)%3D-2%5Cleft(1%5Cright)%2B1%3D-1" alt="f\left(1\right)=-2\left(1\right)+1=-1"/><br/>
b)<br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow1%7Df%5Cleft(x%5Cright)" alt="\lim_{x\rightarrow1}f\left(x\right)"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow1-%7Df%5Cleft(x%5Cright)%3D-1" alt="\lim_{x\rightarrow1-}f\left(x\right)=-1"/><br/>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow1%2B%7Df%5Cleft(x%5Cright)%3D0" alt="\lim_{x\rightarrow1+}f\left(x\right)=0"/></div>
<div>funktion toispuoleiset raja-arvot ovat erisuuret, funktiolla ei siis ole <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow1%7Df%5Cleft(x%5Cright)" alt="\lim_{x\rightarrow1}f\left(x\right)"/><br/>
c) <br/>
funktio ei ole jatkuva kohdassa x=1, sillä funktiolla ei ole kohdassa raja-arvoa</div>
</div>
2019-10-02T09:24:03+03:00247https://peda.net/id/5083ab4ce4d2019-10-02T09:17:30+03:00a) ei ole, funktiolla ei ole raja-arvoa<br/>
b) ei ole, funktion raja-arvo on erisuuri kuin funktion arvo<br/>
b) on, kohdassa funktion raja-arvo on yhtäsuuri kuin funktion arvo2019-10-02T09:17:30+03:00246https://peda.net/id/2b1dab3ce4d2019-10-02T09:16:27+03:00a)<br/>
on määritelty, f(2)=1<br/>
b) <br/>
on raja-arvo, <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow2%7Df%5Cleft(x%5Cright)%3D1" alt="\lim_{x\rightarrow2}f\left(x\right)=1"/><br/>
c) funktio on jatkuva, koska sen raja-arvo on kaikissa kohdissa sama kuin funktion arvo2019-10-02T09:16:27+03:00262https://peda.net/id/2aa71604e4d2019-10-02T09:02:08+03:00<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cfrac%7Bx%5E3-3x%2B1%7D%7Bx%5E3-8%7D%7B%2C%7D%5C%20x%5Cne2" alt="f\left(x\right)=\frac{x^3-3x+1}{x^3-8}{,}\ x\ne2"/></div>
<div>funktiolla on ainakin yksi nollakohta välillä ]0,3[</div>
<div> </div>
<div>Bolzanon lauseen mukaan nollakohta on, jos funktio on jatkuva välillä [0,3]</div>
<div>sitä ei voida käyttää, koska funktio ei ole jatkuva kohdassa x=2</div>
<div> </div>
<div>koska rationaalifunktio on jatkuva määrittelyjoukossaan, kokeillaan nollakohdan etsimistä välillä ]0,1[, joka on jatkuva</div>
<div>lasketaan funktion arvot välien päätepisteissä</div>
<div> </div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(0%5Cright)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B-8%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B8%7D%5C%20%5C%20%5C%20%3E0" alt="f\left(0\right)=\frac{1}{-8}=-\frac{1}{8}\ \ \ >0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(1%5Cright)%3D%5Cfrac%7B1-3%2B1%7D%7B1-8%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B7%7D%5C%20%5C%20%3C0" alt="f\left(1\right)=\frac{1-3+1}{1-8}=\frac{1}{7}\ \ <0"/></div>
<div>välin päätepisteissä funktion arvot ovat erimerkkiset, funktiolla on siis nollakohta<br/>
<br/>
</div>
2019-10-02T09:02:08+03:00257https://peda.net/id/7075d670e4d2019-10-02T08:36:20+03:00a)<br/>
<a href="https://peda.net/p/oskari.lahtinen/maa6p-derivaatta/2fj/257/sieppaa-png#top" title="Sieppaa.PNG"><img src="https://peda.net/p/oskari.lahtinen/maa6p-derivaatta/2fj/257/sieppaa-png:file/photo/96e3cce99fc69c0f792e70e116913857fc3b984b/Sieppaa.PNG" alt="" title="Sieppaa.PNG" class="inline" loading="lazy"/></a><br/>
b)<br/>
jotta funktio on jatkuva kohdassa x=1, sen raja-arvon kohdassa on oltava sama kuin funktion arvo<br/>
<br/>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cbegin%7Bcases%7D%0A3-x%5E2%7B%2C%7D%26kun%5C%20x%3C1%5C%5C%0Ax%2Ba%26kun%5C%20x%5Cge1%0A%5Cend%7Bcases%7D" alt="f\left(x\right)=\begin{cases} 3-x^2{,}&kun\ x<1\\ x+a&kun\ x\ge1 \end{cases}"/></div>
<div>funktion arvo kun x=1 <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=1%2Ba" alt="1+a"/><br/>
<br/>
toispuoleisten raja-arvojen on oltava yhtäsuuret:<br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=3-x%5E2%3D3-1%3D2" alt="3-x^2=3-1=2"/><br/>
siis 1+a on oltava myös 2<br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=1%2Ba%3D2" alt="1+a=2"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=a%3D1" alt="a=1"/></div>
2019-10-02T08:28:17+03:00