MAA3 (MImm)

Peruskäsitteitä

2018-11-28T11:45:56+02:00

Kulma on kahden samasta pisteestä lähtevän puolisuoran rajaama tason osa. Kulmaa jonka suuruus on alle 90° sanotaan teräväksi ja yli 90° kulmaa sanotaan tylpäksi.

Esim.

Kulma alfa on terävä

Kulma A on suora

Kulma ABC on tylppä

Suorakulma on 90°, oikokulma 180° ja täysikulma 360°. Oikokulmaa pienemmät kulmat ovat koveria ja suuremmat kuperia.

Vieruskulmien summa on 180°. Kulmat ovat toistensa suplementtikulmia. Jos kulmien summa on 90° sanotaan kulmia komplementtikulmiksi ja jos kulmien summa on 360° eksplementtikulmiksi.

Ristikulmat ovat yhtä suuret

Samankohtaiset kulmat ovat yhtä suuret jos ja vain jos leikattavat suorat ovat yhdensuuntaiset.

Esimerkki 3
Esimerrki 10
Esimerrki 17

Harjoituksia 4, 5, 9, 11, 18, 24

Monikulmiot

2018-12-03T09:46:27+02:00

Kolmion kulmien summa on 180°. Nelikulmio voidaan jakaa kahteen kolmioon joten sen kulmien summa on 360°. Viisikulmio voidaan jakaa kolmeen kolmioon joten kulmien summa on 540° jne.

Suunnikas on nelikulmio jonka vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset.
Esim.

Esimerkki 21
Esimerkki 29
Esimerkki 37

Esimerkki: yksikkömuunnoksia

Harjoituksia 26, 27, 31, 32, 34 + 40

Mittakaava

2018-12-03T09:45:50+02:00

Kuviot jotka saadaan toisistaan siirtämällä, kiertämällä, peilaamalla tai kokoa muuttamalla ovat yhdenmuotoiset.

Huom! Jos yhdenmuotoisten kuvioiden vastinosat ovat yhtä pitkät (eli kokoa ei ole muutettu) sanotaan kuvioita yhteneviksi.

Esim. Kolmion peilaus pisteen suhteen

Yhdenmuotoisten kuvioiden vastinosien pituuksien suhdetta sanotaan mittakaavaksi.

Kolmiot ovat yhdenmuotoiset jos niissä on kaksi samaa kulmaa (kk).

Esim.

Kolmiot ovat yhden muotoiset koska niissä on kaksi samaa kulmaa a ja b (kk).
Tällöin vastinosien suhde on vakio eli

josta

Esimerkki 54
Esimerkki 63

Harjoituksia 49, 53, 55, 56, 58, 65

Pinta-alojen ja tilavuuksien suhde

2018-12-10T09:49:57+02:00

A₁=1

A₂=4 kun sivu kaksinkertaistuu, pinta-ala nelinkertaistuu

A₃=9 kun sivu kolminkertaistuu, pinta-ala yhdeksänkertaistuu

Yleistettynä: pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö k²=A₁/A_{2

Esimerkki 75

Esimerkki 79}

V₁=1

V₂=8 kun sivu kaksinkertaistuu, tilavuus muuttuu 8 kertaiseksi

V₃=27 kun sivu kolminkertaistuu, tilavuus muuttuu 27 kertaiseksi

Yleistettynä: tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio V₁/V₂=k³

_{Esimerkki 93}

Harjoituksia 72, 76, 77, 81

Suorakulmainen kolmio

2018-12-10T10:02:38+02:00

Suorakulmainen kolmio voidaan ratkaista trigonometrisilla funktioilla ja Pythagoraan lauseella

Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa

Pythagoraan lause

Kolmiot ovat yhdenmuotoisia. Suorakulma ja yhteinen kulma.

A3/A1=(a/c)²eli A3=A1(a/c)²

A2/A1=(b/c)²eliA2=A1(b/c)²

Ja nyt A1 = A2 + A3

A1 = A1(b/c)² + A1(a/c)²

kerrotaan puolittain c² ja jaetaan A1:lla.

Siis c² = a² + b²

Esimerkki 95
Esimerkki 106
Esimerkki 98

Harjoituksia 94, 96, 99, 102, 107, 110

Vinokulmainen kolmio

2018-12-17T10:11:46+02:00

Koska

ja edelleen

niin kolmion pinta-alalle voidaan kirjoittaa

Esimerkki 115

Sinilause:

Esimerkki 122

Sinifunktio voidaan määritellä tylpille kulmille yksikköympyrän avulla niin että sinifunktion arvokulmalle a tarkoittaa kehäpisteen y-koordinaattia.

tällöin saamme tuloksen

Esimerkki 130

Harjoituksia 120, 121, 123, 124

Kosinilause

2018-12-17T10:28:31+02:00

Ratkaistaan Pythagoraan lauseella h:n neliö vasemmasta pikkukolmiosta

ja vastaavasti oikeanpuoleisesta pikkukolmiosta

Jolloin saadaan

Edelleen termejä siirtelemällä saadaan

Huom! Tapaus jossa gamma on tylppä löytyy kirjasta.

Saatiin kosinilause, tunnetaan myös nimellä laajennettu Pythagoraan lause

Huom! Jos c² = a² + b² on eli gamma on 90° ja kolmio suorakulmainen.

Esimerkki 136
Esimerkki 148
Esimerkki 152

Harjoituksia 135, 138, 141, 142, 150

Kolmioon liittyviä lauseita

2019-01-07T13:26:28+02:00

Kolmion kulman puolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteeseen.

Todistus Kolmion kulman puolittaja jakaa alkuperäisen kolmion kahdeksi kolmioksi

Käytetään kuvan merkintöjä. Sovelletaan väritettyihin kolmioihin sinilausetta.

Jaetaan saadut yhtälöt puolittain.

siis; Kolmion kulman puolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteeseen.

Esimerkki 157

Esimerkki 170

Harjoituksia 156, 158, 160, 161

Ympyrä

2019-01-07T13:36:00+02:00

Ympyrä on niiden pisteiden joukko jotka ovat säteen etäisyydellä ympyrän keskipisteestä.

Ympyrän kehän pituuden ja halkaisijan suhdetta sanotaan piiksi jolloin ympyrän piiri saadaan

p=πd,
missä d on halkaisijan pituus.

Kaksi sädettä rajaa sektorin ja jänne jakaa ympyrän kahteen segmenttiin.

Ympyrän pinta-ala saadaan A = πr²,
missä r on ympyrän säde.

Esimerkki 180
Esimerkki 189

Harjoituksia 176, 179, 182, 183, 184 + 185

Esimerkki 203
Esimerkki 208
Esimerkki 213

Harjoituksia 198, 199, 202, 207 + 217

Ympyrään liittyviä kulmia

2019-01-14T09:56:19+02:00

Suoraa, joka leikkaa ympyrää kahdessa pisteessä, sanotaan sekantiksi ja suoraa, joka sivuaa ympyrää yhdessä pisteessä, sanotaan tangentiksi.

Huom! Tangentti on aina kohtisuorassa ympyrän sädettä vastaan.

Esimerkki 221

Kehäkulma on puolet vastaavasta keskuskulmasta.

Huom! Samaa kaartaa vastaavat kehäkulmat yhtä suuria.
Huom! Puoliympyrää vastaava kehäkulma on suora.

Esimerkki 224
Esimerkki 225

Harjoituksia 218, 220, 223, 227+ 229, 230

Kulma avaruudessa

2019-01-14T09:57:46+02:00

Esimerkki 251
Esimerkki 250

Harjoituksia 241, 243, 248, 256

Avaruuskappaleet

2019-01-14T10:00:15+02:00

Esimerkki 270
Esimerkki 272

Harjoituksia 261, 263, 264, 267

Esimerkki 292
Esimerkki 307

Harjoituksia 284, 285, 289, 304, 310 +282