MAA5 (MImm)

26.5. KOE klo 8-12

2020-05-26T07:59:05+03:00

14.5. - Kurssin loppuosan itsearvionti

2020-05-14T07:24:10+03:00

Aika vähän pohtia kuinka kurssin loppuosa meni omasta mielestä. Ohjeet wilmassa.

13.5. - Paraabeli

2020-05-13T07:14:25+03:00

Samalla tavoin kuin ylös- tai alaspäinaukeaville paraabeleille voidaan oikealle tai vasemmalle aukeaville paraabeleille johtaa

huippumuoto x-x₀ = a(y – y₀)²

ja yleinen muoto x = ay² + by + c

Huom! Jos a>0, aukeaa paraabeli oikealle ja jos a<0 vasemmalle.

Jos paraabelin aukeamissuunta tunnetaan, kolme pistettä määrää paraabelin yksikäsitteisesti, eli kolmen pisteen kautta voidaan piirtää vain yksi paraabeli.

Esim.

Huom! Muotoa y = ax² olevien paraabelien polttopiste on (0,1/4a) ja johtosuora y = -1/4a, sekä muotoa x = ay² paraabelien polttopiste (1/4a, 0) ja johtosuora x = -1/4a.

Paraabelista rakennetta voi hyödyntää vaikkapa valonheittimissä jossa säteiden halutaan lähtevän polttopisteestä tiettyyn suuntaan tai lautasantennissa jossa saapuvien säteiden halutaan kokoontuvan polttopisteeseen.

Harjoituksia 336 (palautettava), 347
Halutessaan voi syventää tutkimalla viistoon aukeavia paraabeleja: 354

11.5.2020 - Paraabeli

2020-05-10T19:24:46+03:00

Käytetään paraabelin opiskeluun kaksi kertaa. Sit alkais olla asiat kasassa.

Paraabeli on niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä kaukana polttopisteestä ja johtosuorasta.
Aloitetaan käymällä esimerkkinä kirjan tehtävä 341.

Yleisesti ylös tai alaspäin aukeavalle paraabelille voidaan johtaa yhtälö
(huippumuoto)

Josta poistamalla sulut saadaan muoto
(yleinen muoto)

Huom! Jos a>0 aukeaa paraabeli ylöspäin ja jos a<0 aukeaa paraabeli alaspäin.

Huippumuoto on kätevä jos tunnetaan paraabelin huippu ja piste jonka kautta se kulkee.
Esim.

Harjoituksia 327, 334 (palautettava)

matikkamatskut: https://www.youtube.com/watch?v=UeblkbLsil8&feature=emb_logo

7.5.2020 - Tangentin määrittäminen

2020-05-07T08:59:35+03:00

matikkamatskut: https://www.youtube.com/watch?v=g-invNf2bZA&feature=emb_logo

Harjoituksia 307, 309 (palautettava)
syventäviä 310, 323

6.5.2020 - Leikkauspisteitä

2020-05-06T07:12:16+03:00

Ympyrä ja suora voivat leikata seuraavin tavoin

Ympyrän ja suoran tai kahden ympyrän leikkauspisteitä ratkaistaessa muodostuu epälineaarinen yhtälöpari. Se siis tarkoittaa että ainakin toisessa yhtälössä muuttujan potenssi on jotain muuta kuin ykkönen. Tällaisen yhtälöparin ratkaiseminen ei aina ole helppoa (ellei käytä laskinta). Jos toinen yhtälö on lineaarinen (suoran yhtälö) kannattaa käyttää sijoitus keinoa ratkaisemalla toinen muuttujista lineaarisesta osasta ja sijoittaa se sitten toiseen yhtälöistä. Jos molemmat osat ovat epälineaarisia voi yrittää eliminoida epälineaarisen osan pois. Alla kirjan esimerkit molemmista tapauksista.

Harjoituksia kaikille jotka kannattaisi ratkaista käsin 280 (palautettava), 285
syventäviä harjoituksia edistyneemmille jotka kannattaisi ratkaista laskimella 299, 301

matikkamatskut: https://www.youtube.com/watch?v=qlO44gCQ_oQ&feature=emb_logo

4.5.2020 - Ympyrän yhtälön yleinen muoto

2020-05-03T15:10:20+03:00

Laskimessa on kyllä valmiina komento CompleteSquare joka tekee tuon siirtymän yleisestä muodosta keskipistemuotoon, sitä siis kannattaa tietysti käyttää aina kokeissa jos mahdollista mutta jos yrittää ymmärtää mitä tapahtuu niin käsinhän se on käytävä läpi.
Esim.

Esim. Kolme pistettä määrää ympyrän yksikäsitteisesti. Toisin sanoen kolmen pisteen kautta voidaan piirtää vain yksi ympyrä. Yhtälön näistä saa seuraavasti

Harjoituksia:

kaikille 259, 265 (palautettava)
syventyville 270

matikkamatskut: https://www.youtube.com/watch?v=q2bWXRH8Vj4&feature=emb_logo

30.4.2020 - Ympyrän yhtälön keskipistemuoto

2020-04-29T15:52:20+03:00

Määritetään pisteen (x,y) etäisyys r pisteestä (x₀,y₀).

Pythagoraan lausetta käyttämällä saadaan lauseke

Yhtälön toteuttavat kaikki pisteet (x,y) jotka ovat r:n etäisyydellä pisteestä (x₀,y₀). Saatiin ympyrän yhtälö

Esimerkkinä

Harjoituksia vapun ratoksi, palautus tämän viikon loppuun mennessä.

242, 245 (palautettava), 246

matikkamatskut: https://www.youtube.com/watch?v=bpcb4eGEeGg&feature=emb_logo

29.4.2020 - Lineaarinen yhtälöryhmä

2020-04-29T11:31:36+03:00

Esim. 223 Voidaan tulkita geometrisesti kolmen suoran yhtälön leikkauspisteen etsimiseksi. Ratkaistaan ensin yhtälöpari ja tarkistetaan sitten toteutuuko kolmaskin yhtälö

Geometrisesti tulkittuna:

Kolmen muuttujan yhtälö voidaan tulkita geometrisesti tason yhtälöksi ja kolmen yhtälön ryhmä kolmen tason leikkauspisteen määrittämiseksi. Kolme tasoa voi leikata toisensa yhdessä pisteessä, pitkin suoraa tai ne voivat olla kolme päällekkäistä tasoa niin että kaikki pisteet ovat yhteisiä tai niin että näillä ei ole yhteisiä pisteitä lainkaan. Vastaus pitää osata tulkita ymmärtäen mistä näistä tapauksista on kysymys.

Esimerkkinä otetaan 222. Tällaiset menee käsin ratkaistaessa väkisin hieman pitkiksi.

Eli yksi yhteinen piste (3, -1, -2) saatiin. Näitä kannattaa ehkä piirrellä geogebralla niin auttaa hahmottamaan tilannetta ja tulkitsemaan vastausta. Varsinkin jos vastaukseksi saadaan suoran yhtälö niin voi tuntua aluksi hämärälle.

Harjoituksia 211 (palautettava) ja 224 (Kun on kolme muuttujaa ja kaksi yhtälöä voit ratkaista kaksi muuttujista kolmannen suhteen. Ohje: Eliminoi ensin yhtälöparista yksi muuttujista ja ratkaise saamastasi yhtälöstä toinen jäljelle jäänyt. Sitten eliminoi yhtälöparista äsken ratkaisemasi muuttuja ja saamastasi yhtälöstä ratkaise ensimäiseksi eliminoimasi muuttuja. Jos sait ratkaisun voidaan tulkita geometrisesti että kaksi tasoa leikkaa, jos et saanut ratkaisua kaksi tasoa ei leikkaa. Geogebra auttaa hahmottamaan millainen muoto leikkauskuvio on. Huomaa että vastaus voi olla erinäköinen kuin kirjan takana riippuen mitkä muuttujat olet ratkaissut.)

27.4.2020 - Lineaarinen yhtälöryhmä

2020-04-26T20:11:21+03:00

Käytetään kaksi tuntia siten, että ensin kevyesti yhtälöparin ratkaisua ja seuraavalla kerralla kolmen muuttujan yhtälöryhmä joka on hieman työläämpi.

Huom! Geometrisesti tulkittuna tämä tarkoittaa kahden suoran leikkauspisteen etsimistä. Yhtälöparin yhtälöthän ovat molemmat suoran yhtälöitä.

Huom! Geometrisesti tulkittuna se että suorilla on äärettömän paljon yhteisiä pisteitä tarkoittaa että ne kulkevat päällekkäin ja yhtälöparin ratkaisuksi käyvät kaikki suoran pisteet.

Mieti vielä mitä tarkoittaa jos saat ratkaisuksi että yhtälö on identtisesti epätosi.

Laskimella kannattaa olla tarkka mille riville ja minkä sulun sisään ratkaistavat muuttujat tulevat. Varmista että osaat käyttää laskinta.
Huom! Käsin kun ratkaiset murtolukukertoimisia yhtälöitä tai yhtälöryhmiä saattaa olla hyvä tehdä "ylimääräinen" välivaihe jossa kaikki yhtälöt kerrotaan sellaisilla luvuilla että kertoimet muuttuvat kokonaisluvuiksi.

Harjoituksia (käsin nämä tee!) 208, 210 (palautettava)
syventävä tehtävä 226

matikkamatskut: https://www.youtube.com/watch?v=xNkAKUq-cqs&feature=emb_logo

23.4.2020 - Puolivälin arviointi

2020-04-23T06:31:42+03:00

Ohjeet wilmassa. Vastausaikaa huomisiltaan

22.4.2020 - Pisteen etäisyys suorasta

2020-04-22T06:53:30+03:00

Pisteen (x₀,y₀) etäisyys suorasta ax + by + c = 0 saadaan kaavalla

Kaavan johtaminen on hieman pitkä. Sen voi tarkistaa kirjasta. Tärkeintä nyt olisi opetella käyttämään sitä eri tilanteissa. Huomaa, että
x0 on suoran ulkopuolisen pisteen x koordinaatti
y0 on suoran ulkopuolisen pisteen y koordinaatti
a on x:n kerroin suoran yhtälöstä kun se on yleisessä muodossa.
b on y:n kerroin suoran yhtälöstä kun se on yleisessä muodossa.
c on vakio-osa suoran yhtälön yleisestä muodosta.

Tutki seuraavat kirjan tehtävät läpi esimerkkeinä

matikkamatskut: https://www.youtube.com/watch?v=G3JUz0nJi1M&feature=emb_logo

Harjoituksia 183, 185 (palautettava), 191
ja sitten oikeestaan ois hyvä vielä tehdä 189, 202 mutta nää niille jotka haluaa sen kiitettävän osaamisen.

20.4.2020 - Kohtisuorat suorat

2020-04-19T16:49:16+03:00

Suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan jos niiden kulmakertoimien tulo k₁k₂ = -1.

Tällöin suoria sanotaan toistensa normaaleiksi.

Janan keskinormaalilla tarkoitetaan janaa vastaan kohtisuorassa olevaa suoraa joka kulkee janan keskipisteen kautta. Keskinormaalin pisteet ovat yhtä kaukana janan päätepisteistä.

Esimerkkeinä kannattaa lukaista kirjan tehtävät 156 ja 170

matikkamatskut: https://www.youtube.com/watch?v=LHKXzVxJBlQ&feature=emb_logo

Harjoituksina:

157, 159, 162 (palautettava), 164

16.4.2020 - Suoran yhtälö

2020-04-15T15:29:16+03:00

Huom! Suoran yhtälöä varten tarvitset siis yhden pisteen (x0, y0) ja kulma kertoimen k tai vaihtoehtoisesti kaksi pistettä joiden avulla voit laskea kulmakertoimen ja sitten valitset toisen pisteistä pisteeksi (x0,y0). Sitten vaan y-y0 = k (x-x0).

Tietokoneella suoran piirtäminen käy helposti geogebralla johon suoran yhtälön voi syöttää suoraan missä muodossa tahansa. Laskinohjelmassa jotuu taas vähän valikoita selaamaan.
147b.

matikkamatskut: https://www.youtube.com/watch?v=Nm1V2-5dHCY&feature=emb_logo

Harjoituksia 133, 135 (palautettava), 137, 138, 140
Hyviä syventäviä tehtäviä niille joilla aikaa riittää 149, 153

15.4.2020 - Suoran kulmakerroin

2020-04-15T11:25:59+03:00

Suoran kulmakerroin määritellään sen suuntakulman, s.o. kulma jonka suora muodostaa x-akselin kanssa, avulla. Kulmakerroin on tangenttifunktion arvo suoran suuntakulmasta. Käytännössä kulmakerroin voidaan määrittää kahden suoran pisteen ja niistä muodostuvan apukolmion avulla.

Esim.

Esim. 124

matikkamatskut:
https://www.youtube.com/watch?v=1dmre2rLG1k&feature=emb_logo

Palautettavana tehtävänä sitten harjoitellaan vähän geogebraa tai laskimen piirto-ominaisuuksia.

Harjoituksia 110, 112, 114, 116 (palautettava), 118, 125
niille jotka haluaa vielä vähän ekstraa voisivat kokeilla vaativampana harjoituksena 128

9.4.2020 - Tason koordinaatisto ja pistejoukon yhtälö

2020-04-08T15:31:02+03:00

Esim. Laske pisteiden (3,2) ja (1, -1) välinen etäisyys.

Pythagoraan lauseella saadaan

Vastaavasti pisteiden (x₁,y₁) ja (x₂,y₂) välinen etäisyys saadaan

Janan keskipisteen koordinaatit saadaan x- ja y-koordinaattien keskiarvona päätepisteiden koordinaateista.
Esimerkkinä kirjasta

Kolmio on suorakulmainen jos sivujen pituudet toteuttavat Pythagoraan lauseen. Huomaa että pisin sivu on se jota kannattaa kokeilla hypotenuusaksi.
Esim.

Analyyttisessä geometriassa kuviot määrätään yhtälöin. Piste on kuvion piste, vain jos sen koordinaatit toteuttavat pistejoukon yhtälön.

Esim.

Piste (1,1) kuuluu suoralle 2y + 3x – 5 = 0, koska 2∙1 + 3∙1 – 5 = 0

Piste (1,2) ei kuulu paraabeliin y = 2x² + 1, koska 2 ≠2∙1² + 1

Erilaisten pistejoukkojen hahmottamisen voi aloittaa vaikka ratkaisemalla yhtälöstä muuttujan y
Esim.

Yleensä piirtäminen kannattaa ehdä laskimella tai geogebralla. Geogebra on siitä kätevä että tähän voi kuvaajan syöttää suoraan yhtälömuodossa, laskinohjelmassa voi ratkaista y:n ja syöttää funktiona tai sitten pitää tunnistaa mistä muodosta on kysymys
Esim. 107a

matikkamatskuvideot:
https://www.youtube.com/watch?v=NYbtTG-jcLo&feature=emb_logo
https://www.youtube.com/watch?v=0dJiCgYKAXc&feature=emb_logo

Harjoituksia 74, 75, 81, 94, 97 (palautettava)

8.4.2020 - Itseisarvoepäyhtälö

2020-04-08T11:18:04+03:00

Käydään eri tapaukset läpi esimerkkien avulla. Tehtävässä 60 kiinnitä erityisesti huomio "tai"- ja "ja"-sanojen merkitykseen eri tilanteissa.
kun saat ratkaisuksi lukusuoran alueen joka on kahdessa osassa, tulee vastauskin ilmoittaa kahdella epäyhtälöllä kuten yllä.

kun saat ratkaisuksi lukusuoran alueen joka on yhdessä osassa voit ilmoittaa vastauksen kaksoisepäyhtälönä tai kahdella eri epäyhtälöllä ja "ja"-sanaa käyttämällä kuten yllä. Tarkkana myös suljetun ja avoimen välin kanssa, eli tuleeko yhtäsuuruus mukaan epäyhtälöön.

Itseisarvoepäyhtälö voidaan ratkaista myös korottamalla epäyhtälö puolittain toiseen potenssiin (muista neliöön korotusehto!). Koska toinen potenssi on vähintään nollan suuruinen voidaan itseisarvot tämän jälkeen jättää pois. Tosin tässä on tietysti vaara että korottamisen jälkeinen epäyhtälö on vaikea ratkaista esimerkiksi korkean potenssin takia.

matikkamatskut aiheeseen
https://www.youtube.com/watch?v=hN1Czjt44nI&feature=emb_logo
Harjoituksia 49, 51, 54, 56 (palautettava)

6.4.2020 - Itseisarvoyhtälö

2020-04-03T08:37:35+03:00

Aloitetaan pohtimalla kuinka kaukana 3 ja -3 ovat nollasta lukusuoralla. Mikä on lukujen 53 ja 40 välimatka lukusuoralla? Entä mikä on lukujen 40 ja 53 välimatka?

Itseisarvo määritellään seuraavasti

Geometrisesti tulkittuna |x| tarkoittaa x:n etäisyyttä origosta.

Vastaavasti |a – b| tarkoittaa a:n ja b:n etäisyyttä lukusuoralla.

Tutkitaan seuraavaksi lauseketta |ab| eri tapauksissa.

Olkoon a<0 ja b<0. Nyt |ab|= ab = |a||b|
Olkoon a<0 ja b≥0. Nyt |ab|= -ab = |a||b|
Olkoon a≥0 ja b≥0 Nyt |ab| = ab = |a||b|

Siis |ab|=|a||b| ja vastaavasti voidaan johtaa.

Huom! Määritelmästä seuraa |a|=|-a|.

Käy seuraavaksi läpi seuraavat tehtävät

Matikkamatskut on tehnyt myös hyvää videota aiheeseen
https://www.youtube.com/watch?v=ugqbkbOtS_M&feature=emb_logo
https://www.youtube.com/watch?v=RSJvJVZwbqg&feature=emb_logo

Harjoituksia 12, 13, 14, 15, 29, 32 (palautettava), 41