Oleelliset asiat

2024-02-13T17:28:21+02:00

Kurssilla käsiteltiin kahta matemaattista mallia: lineaarista ja eksponentiaalista. Lineaarisessa mallissa jokin kasvaa tai vähenee aina saman määrän esimerkiksi ajan funktiona, eksponentiaalisessa mallissa jokin kasvaa tai vähenee yhtä monta prosenttia esimerkiksi ajan funktiona.

Lineaarinen malli:
Kuvaaja on suora.
Funktio on melkein aina muotoa [[$y=kx+b$]], missä [[$k$]] on kulmakerroin ja [[$b$]] vakiotermi.
Funktion käyttäytymisen voi päätellä kulmakertoimesta ja vakiotermistä: Kulmakerroin kertoo, kuinka nopeasti funktio kasvaa, ja vakiotermi, millä korkeudella se leikkaa y-akselin.

Esimerkkejä:
[[$y=2x+3$]] kasvaa nopeudella 2 (eli kaksi ruutua ylöspäin yhdessä ruudussa oikealle) ja leikkaa y-akselin korkeudella 3
[[$y=x+5$]] kasvaa nopeudella 1 ja leikkaa y-akselin korkeudella 5
[[$y=-2x$]] kasvaa nopeudella -2 (eli menee alaspäin kaksi ruutua jokaisessa ruudussa oikealle) ja leikkaa y-akselin korkeudella 0.
[[$y=-x-2$]] kasvaa nopeudella -1 ja leikkaa y-akselin korkeudella 0.
[[$y=3$]] on vaakasuora suora korkeudella 3.
[[$x=2$]] on pystysuora suora kaksi ruutua oikealle y-akselista (eli kohdassa, jossa [[$x=2$]])

Esimerkkejä sovelluksista:
Taksimatkan perusmaksu on 10 euroa ja matka maksaa 2 euroa per km. Hintaa [[$y$]] kuvaava funktio on [[$y=2x+10$]].
Sähkölaskun kuukausimaksi on 4.50€ ja kilovattituntihinta 11c. Sähkölaskua kuvaava funktio on [[$y=0.11x+4.50$]].

Suoran yhtälön muodostaminen:
Jos tiedät kaksi pistettä, joiden kautta suora kulkee, [[$(x_1,y_1)$]] ja [[$(x_2 , y_2)$]] voit laskea kulmakertoimen kaavalla
[[$$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2 -y_1}{x_2 - x_1} .$$]]

Jos tiedät kulmakertoimen [[$k$]] ja yhden pisteen, jonka kautta suora kulkee, [[$(x_0 , y_0)$]], voit selvittää suoran yhtälön
a) Laittamalla numerot kaavaan [[$y_0 = kx_0 +b$]] ja laskemalla [[$b$]]:n,
tai
b) Laittamalla numerot kaavaan [[$y-y_0 = k(x-x_0 )$]] ja sieventämällä.

Eksponentiaalinen malli
on muotoa [[$A\cdot q^x$]], missä
[[$A$]] on alkuarvo, eli esimerkiksi arvo hetkellä 0,
[[$q$]] on kasvu/vähenemiskerroin, esimerkiksi 4%:n kasvulle 1.04, tai 3% vähenemiselle 0.97

Esimerkkejä:
Väestön koko on nyt 8 miljardia ja kasvaa 1.2% vuodessa. Väestön kokoa miljardeissa kuvaa funktio [[$y=8\cdot 1.012^x$]].
Radioaktiivisesta aineesta hajoaa 3.6% tunnissa. Alussa ainetta on 2500 g. Aineen määrää kuvaa funktio [[$y=2500\cdot 0.964^x$]]

Logaritmi vastaa esimerkiksi kysymykseen "mihin potenssiin 3 pitää nostaa, että saadaan 17?". Tämä kirjoitetaan [[$\log_3 17$]] ja laitetaan SpeedCrunchiin näin: log(3;17) . Vastaus on n. 2.58.

N-juuri vastaa esimerkiksi kysymykseen "mikä luku pitää nostaa potenssiin 6, että saadaan 200?". Tämä kirjoitetaan [[$\sqrt[6]{200}$]] ja laitetaan SpeedCrunchiin näin 200^(1/6). Tämä siksi, että 6:s juuri on sama kuin potenssi 1/6. Samoin vaikkapa 24:s juuri on sama kuin potenssi 1/24.

Logaritmia siis käytetään, kun tuntematon on eksponenttina, esim [[$5^x=631$]]. Juurta käytetään, kun tuntematon nostetaan johonkin potenssiin, esimerkiksi [[$x^5 = 650$]].

Koeinfo

2024-10-04T15:35:04+03:00

Koe on perjantaina 7.10. klo 17-20:20 luokassa 49.

Kokeen voi tehdä paperilla tai tietokoneella Abitissa. Kokeissa on muuten samat viisi tehtävää, mutta Abitti-kokeen yksi ylimääräinen GeoGebra-tehtävä voi korvata huonosti menneen tehtävän.

Jos teet kokeen paperilla, voit käyttää omaa laskinta ja paperisia MAOLin taulukkoja. Taulukkokirjoja on ainakin yksi kappale TYKin kirjastossa, luultavasti enemmänkin.

Kumpaankin koeversioon tulee mukaan lunttilappu: MAB4_lunttilappu.pdf

Kokeen saat takaisin pe 1.3. klo 16-17 juhlasalissa. Olen myös Google meetissä tuona aikana, jos on jotain kysyttävää. Jos et pääse tuolloin, voit hakea kokeen seuraavana tistaina kansliasta. Abitti-kokeet palautetaan sähköpostiin.

Kokeen voi uusia uusintakokeissa. Uusintakoepäivät ja ilmoittautuminen:
https://www.tyk.fi/aikuislukio/opiskelu/uusintakoe/
Kerro ilmoittautumislomakkeessa, haluatko tehdä uusintakokeen paperilla vai Abitissa.

Oleelliset asiat ja koeinfoa

Oleelliset asiat

Koeinfo