4.1 Polynomifunktion kulun tutkiminenhttps://peda.net/id/398fb9aaf3e2019-10-21T13:33:30+03:00https://peda.net/:static/537/peda.net.logo.bg.svg<div class="license">Tämän sivun lisenssi <a rel="license" href="https://peda.net/info">Peda.net-yleislisenssi</a></div>
412https://peda.net/id/5f49620af552019-10-23T09:05:46+03:00<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D4x%5E3-6x%5E2%2B3x" alt="f\left(x\right)=4x^3-6x^2+3x"/></div>
<div>polynomifunktiot ovat aina jatkuvia</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f'%5Cleft(x%5Cright)%3D12x%5E2-12x%2B3" alt="f'\left(x\right)=12x^2-12x+3"/></div>
<div>lasketaan nollakohdat</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D" alt="x=\frac{1}{2}"/><!--filtered attribute: style="display: inline;"--></div>
<div>arvot kohdissa 0 ja 1</div>
<div>molemmat positiivisia, funktio on siis monotoninen ja kasvava</div>
<div>kasvava funktio saa saman arvon vain kerran</div>
<div>lasketaan laskimella <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D2" alt="f\left(x\right)=2"/></div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=1%7B%2C%7D22112%5Capprox1%7B%2C%7D22" alt="1{,}22112\approx1{,}22"/></div>
2019-10-23T09:00:10+03:00411https://peda.net/id/2a5cbbe8f552019-10-23T08:44:22+03:00a)<br/>
<div>funktio on jatkuva, koska se on polynomifunktio</div>
<div>funktion arvot välin päätepisteissä </div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D-x%5E5-x%5E3-x%2B1" alt="f\left(x\right)=-x^5-x^3-x+1"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(0%5Cright)%3D1" alt="f\left(0\right)=1"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(1%5Cright)%3D-2" alt="f\left(1\right)=-2"/></div>
<div>koska funktio on jatkuva ja sen päätepisteiden arvot välillä ]0,1[ ovat erimerkkiset, on funktiolla Bolzanon lauseen mukaan ainakin yksi nollakohta<br/>
b)<br/>
<div>derivoidaan funktio <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)" alt="f\left(x\right)"/></div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f'%5Cleft(x%5Cright)%3D-5x%5E4-3x%5E2-1" alt="f'\left(x\right)=-5x^4-3x^2-1"/></div>
<div>koska <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E4%3E0" alt="x^4>0"/> ja <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E2%3E0" alt="x^2>0"/>, niin <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=-5x%5E4-3x%5E2-1%5Cle-1" alt="-5x^4-3x^2-1\le-1"/></div>
<div>koska derivaattafunktio f' saa aina negatiivisia arvoja, se on laskeva monotoninen funktio</div>
<div>c)</div>
<div>laskeva funktio voi saada saman arvon vain kerran, siispä funktiolla on tasan yksi nollakohta</div>
<div>eli yhtälöllä <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=-x%5E5-x%5E3-x%2B1%3D0" alt="-x^5-x^3-x+1=0"/> on täsmälleen yksi ratkaisu</div>
</div>
2019-10-23T08:44:22+03:00402https://peda.net/id/b8fbf988f3f2019-10-21T14:12:51+03:00A2<br/>
B1<br/>
C2<br/>
D32019-10-21T14:12:51+03:00404https://peda.net/id/6d3abb7ef3f2019-10-21T14:10:44+03:00<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3Dx%5E3-12x" alt="f\left(x\right)=x^3-12x"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f'%5Cleft(x%5Cright)%3D3x%5E2-12" alt="f'\left(x\right)=3x^2-12"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f'%5Cleft(x%5Cright)%3D0" alt="f'\left(x\right)=0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D%5Cpm2" alt="x=\pm2"/><br/>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=testikohdiksi%5C%20-3%7B%2C%7D%5C%200%7B%2C%7D%5C%203" alt="testikohdiksi\ -3{,}\ 0{,}\ 3"/></div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f'%5Cleft(-3%5Cright)%3D15" alt="f'\left(-3\right)=15"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f'%5Cleft(0%5Cright)%3D-12" alt="f'\left(0\right)=-12"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f'%5Cleft(3%5Cright)%3D15" alt="f'\left(3\right)=15"/></div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%26%26-2%26%262%26%5C%5C%0Af'%5Cleft(x%5Cright)%26%2B%26%26-%26%26%2B%5C%5C%0Af%5Cleft(x%5Cright)%26%5Cnearrow%26%26%5Csearrow%26%26%5Cnearrow%0A%5Cend%7Bmatrix%7D" alt="\begin{matrix} &&-2&&2&\\ f'\left(x\right)&+&&-&&+\\ f\left(x\right)&\nearrow&&\searrow&&\nearrow \end{matrix}"/></div>
<div>funktio on kasvava väleillä <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3C-2%5C%20tai%5C%20x%3E2" alt="x<-2\ tai\ x>2"/></div>
<div>funktio on vähenevä välillä <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=-2%3Cx%3C2" alt="-2<x<2"/></div>
2019-10-21T14:10:44+03:00409https://peda.net/id/6e0e1f24f3f2019-10-21T14:03:48+03:00<br/>
<div>409</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=h%5Cleft(x%5Cright)%3Dx%5E6-2x%5E5-x%5E4-2" alt="h\left(x\right)=x^6-2x^5-x^4-2"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=derivoidaan" alt="derivoidaan"/><!--filtered attribute: style="display: inline;"--><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=h'%5Cleft(x%5Cright)%3D6x%5E5-10x%5E4-4x%5E3" alt="h'\left(x\right)=6x^5-10x^4-4x^3"/></div>
<div>Ratkaistaan derivaatan nollakohdat laskimella</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=h'%5Cleft(x%5Cright)%3D0" alt="h'\left(x\right)=0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=6x%5E5-10x%5E4-4x%5E3%3D0" alt="6x^5-10x^4-4x^3=0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5C%20tai%5C%20x%3D0%5C%20tai%5C%20x%3D2" alt="x=-\frac{1}{3}\ tai\ x=0\ tai\ x=2"/><br/>
lasketaan arvot testipisteissä <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=-1%7B%2C%7D%5C%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%7B%2C%7D%5C%201%7B%2C%7D%5C%203" alt="-1{,}\ -\frac{1}{6}{,}\ 1{,}\ 3"/><br/>
<br/>
<a href="https://peda.net/p/oskari.lahtinen/maa6p-derivaatta/4pkt/409/sieppaa-png#top" title="Sieppaa.PNG"><img src="https://peda.net/p/oskari.lahtinen/maa6p-derivaatta/4pkt/409/sieppaa-png:file/photo/3d188e6d51563ca026b4f858912edd82c56eb973/Sieppaa.PNG" alt="" title="Sieppaa.PNG" class="inline" loading="lazy"/></a><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%26%26-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%26%260%26%262%26%5C%5C%0Ah'%5Cleft(x%5Cright)%26-%26%26%2B%26%26-%26%26%2B%5C%5C%0Ah%5Cleft(x%5Cright)%26%5Csearrow%26%26%5Cnearrow%26%26%5Csearrow%26%26%5Cnearrow%0A%5Cend%7Bmatrix%7D" alt="\begin{matrix} &&-\frac{1}{3}&&0&&2&\\ h'\left(x\right)&-&&+&&-&&+\\ h\left(x\right)&\searrow&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow \end{matrix}"/></div>
<div>funktio on kasvava väleillä <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%3Cx%3C0%5C%20ja%5C%20x%3E2" alt="-\frac{1}{3}<x<0\ ja\ x>2"/></div>
<div>funktio on laskeva väleillä <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3C-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5C%20ja%5C%200%3Cx%3C2" alt="x<-\frac{1}{3}\ ja\ 0<x<2"/></div>
<div> </div>
2019-10-21T14:03:36+03:00määritelmähttps://peda.net/id/ba9fb4caf3f2019-10-21T13:58:35+03:00<div>funktio f on kasvava jollakin välillä, kun funktion arvo kasvaa muuttujan kasvaessa eli</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x_1%5Cright)%3Cf%5Cleft(x_2%5Cright)%7B%2C%7D%5C%20kun%5C%20x_1%3Cx_2" alt="f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right){,}\ kun\ x_1<x_2"/></div>
<div>funktio f on vähenevä jollain välillä, kun funktion arvo pienenee muuttujan kasvaessa eli</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x_1%5Cright)%3Ef%5Cleft(x_2%5Cright)%7B%2C%7D%5C%20kun%5C%20x_1%3Cx_2" alt="f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right){,}\ kun\ x_1<x_2"/></div>
<div>Jos funktio on kasvava tai vähenevä jollakin välillä, funktio on monotoninen tällä välillä</div>
<div> </div>
<div>Lause</div>
<div>jos <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f'%5Cleft(x%5Cright)%3E0" alt="f'\left(x\right)>0"/> kaikissa välin kohdissa ja <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f'%5Cleft(x%5Cright)%3D0" alt="f'\left(x\right)=0"/>vain yksittäisissä pisteissä, niin funktio f on kasvava</div>
<div>jos <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f'%5Cleft(x%5Cright)%3C0" alt="f'\left(x\right)<0"/> kaikissa välin kohdissa ja <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f'%5Cleft(x%5Cright)%3D0" alt="f'\left(x\right)=0"/>vain yksittäisissä pisteissä, niin funktio f on vähenevä</div>
<div> </div>
<div>Toimintaohje:</div>
<div>1. derivoi</div>
<div>2. ratkaise derivaatan nollakohdat</div>
<div>3. hahmottele derivaattafunktion kuvaaja tai laske derivaattafunktion arvot testipisteissä</div>
<div>4. laadi kulkukaavio</div>
<div>5. päättele vastaus kulkukaavion avulla</div>
<div> </div>
2019-10-21T13:58:35+03:00