Opetusvideot

2016-08-16T15:06:09+03:00

Potenssien laskusäännöt.

Sulut potenssimerkinnässä, negatiivinen eksponentti ja esimerkki eksponentiaalisesta mallista.

Esimerkkikysymykset

2017-09-21T11:51:03+03:00

1. Sievennä ilman laskinta

[[$ \quad $]] a) [[$ \frac{3^{10}}{3^8} $]]

[[$ \quad $]] b) [[$ 2^5\cdot2\cdot2^6$]]

[[$ \quad $]] c) [[$ (2x)^3 x^4$]]

2. Eräällä alalla keskipalkka on nyt 3200€/kk. Keskipalkka kaksinkertaistuu 12 vuoden välein.

[[$ \quad $]] a) Mikä on keskipalkka 24 vuoden kuluttua?

[[$ \quad $]] b) Mikä oli keskipalkka 360 vuotta sitten?

Ratkaisut esimerkkikysymyksiin

2017-09-21T11:51:17+03:00

1. a) [[$ \frac{3^{10}}{3^8}=3^{10-8}=3^2 \quad $]] b) [[$ 2^5\cdot2\cdot2^6=2^{5+1+6}=2^{12} \quad $]] c) [[$ (2x)^3 x^4=2^3x^3x^4=8x^7 $]]

2. a) 24 vuoden kuluttua = 2 kaksinkertaistumista [[$ \rightarrow 3200\cdot2^2=3200\cdot4=12800\,€ $]]
b) 360 vuotta sitten = 30 puolittumista [[$ \rightarrow 3200\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{30}=3200\cdot\frac{1}{1073741824}=0,00000298\, € $]]

2.1-2.2 Potenssilaskuja

2020-08-21T10:51:54+03:00

1) Potenssimerkintä
2) Negatiivinen eksponentti ja eksponentti 0
3) Kymmenpotenssimuoto.

1) Potenssimerkintä

Esim.1 Miten merkitään kertolaskuna [[$ 2^3 $]]?

Ratkaisu: [[$$ 2^3=2 \cdot 2\cdot2 = 8. $$]]
Tässä luku 2 on kantaluku ja luku 3 on eksponentti.

Esim.2 Ilmoita potenssimerkintänä ja laske

[[$ 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 =$]]
[[$ (-3) \cdot (-3) \cdot(-3) \cdot (-3)= $]]
[[$ -1 \cdot 3 \cdot3 \cdot3 \cdot 3= $]]
[[$ x\cdot x \cdot x \cdot x \cdot y\cdot y =$]]
luvun 7 neliö
luvun 2 kuutio.

2) Eksponentti 0 tai negatiivinen eksponentti:

Taulukossa on luvun 2 eri potensseja:

Potenssi	[[$ 2^4 $]]	[[$ 2^3 $]]	[[$ 2^2 $]]	[[$ 2^1 $]]	[[$ 2^0 $]]	[[$ 2^{-1} $]]	[[$ 2^{-2} $]]	[[$ 2^{-3} $]]	[[$ 2^{-4} $]]
Arvo	16	8	4	2	1	[[$ \frac{1}{2} $]]	[[$ \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} $]]	[[$ \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} $]]	[[$ \frac{1}{16} = \frac{1}{2^4}$]]

Millä logiikalla taulukon viisi viimeistä lukua saadaan?

Pari tärkeää johtopäätöstä:

[[$$ a^0 = 1, $$]]
ja
[[$$ a^{-n} = \frac{1}{a^n}, $$]]

Lisäksi, [[$ 0^0 $]] ei ole määritelty.

3) Kymmenpotenssimerkintä - hyvin suurien ja pienien lukujen tavallisin merkintätapa

Esimerkkejä:
[[$$ a) 2 180 000 000=2,18 \cdot 10^9 \\ \\ b) 0,000316 = 3,16\cdot 10^{-4} \\ \\ c) 6 378 140 \text{ m } \approx 6 400 000 \text{ m } = 6,4\cdot 10^6 \text{ m } $$]]

2.2 Potenssien laskusäännöt

Hyödylliset potenssien laskusäännöt (ks. taulukkokirja):

Tulon potenssi	[[$ (ab)^n=a^nb^n $]]
Osamäärän potenssi	[[$ (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} $]]
Potenssien tulo	[[$ a^ma^n = a^{m+n} $]]
Potenssien osamäärä	[[$ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n} $]]
Potenssin potenssi	[[$ (a^m)^n=a^{mn} $]]

Miksi ja miten ne toimivat?

Esim. 1 (potenssien tulo):
Säännön mukaan: [[$ 5^3 \cdot 5^4 = 5^{3+4}=5^7 $]].
Perustelu:
Koska [[$ 5^3 =5\cdot5\cdot5 \text{ ja } 5^4 = 5\cdot5\cdot5\cdot5, $]] niin [[$ 5^3\cdot5^4=5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5 = 5^7=5^{3+4}. $]]

Esim. 2 (tulon potenssi):
Säännön mukaan[[$ (2a)^4 = 2^4a^4 $]] ja tässä tulee perustelu:
[[$ (2a)^4=(2a)\cdot(2a)\cdot(2a)\cdot(2a) = 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a =2^4\cdot a^4=16a^4 $]].

Esim. 3 (osamäärän potenssi + negatiivinen eksponentti): Sievennä
[[$ (\frac{2}{5})^{-2} $]].
Negatiivinen eksponentti murtoluvusta saadaan seuraavasti:
[[$ (\frac{2}{5})^{-2}=(\frac{5}{2})^2 = \frac{5^2}{2^2}=\frac{25}{4}. $]]

Esim. 4. Sievennä ilman laskinta potenssilaskusääntöjä käyttäen:
a) [[$ \frac{3^7}{3^6} =$]]
b) [[$ x^4\cdot x^3 =$]]
c) [[$ (a^2)^5 = $]]
d) [[$ 2,5^2\cdot 4^2 = $]]
e) [[$ \frac{x^2y^5y^3}{y^2x} = $]]

2.1-2.2 Potenssi ja sen laskusäännöt