Pistettä vastaava paikkavektori

2015-05-09T14:05:33+03:00

"Kolme oikealle ja viisi ylös"

Koska vektorin voidaan ajatella kuvaavan tietyn suuruista siirtymää tiettyyn suuntaan, sen avulla voidaan antaa siirtymisohje origosta mihin tahansa paikkaan eli pisteeseen [[$xy$]]-tasossa. Origosta, eli pisteestä [[$O=(0,0)$]] tiettyyn pisteeseen [[$P=(x_p,y_p)$]] osoittavaa vektoria [[$\overline{OP}$]] kutsutaan pisteen [[$P$]] paikkavektoriksi. Luonnollisesti siitä syystä, että kyseinen vektori [[$\overline{OP}$]] kertoo meille reitin origosta paikkaan [[$P$]].

Siirtymiset [[$xy$]]-tasossa ilmoitetaan kantavektoreiden [[$\overline{i}$]] ja [[$\overline{j}$]] avulla

Siirtyminen [[$xy$]]-tasossa ilmoitetaan matkoina [[$x$]]-akselin suuntaan ja [[$y$]]-akselin suuntaan. Yhden yksikön mittaista siirtymää [[$x$]]-akselin suunnassa kuvataan vektorilla [[$\bar{i}$]] ja yhden yksikön mittaista siirtymää [[$y$]]-akselin suunnassa vektorilla [[$\bar{j}$]]. Vektorit [[$\bar{i}$]] ja [[$\bar{j}$]] ovat koordinaattiakseleiden kanssa samansuuntaiset yksikkövektorit. Kantavektori [[$\overline{i}$]] osoittaa [[$x$]]-akselin suuntaan ja kantavektori [[$\overline{j}$]] osoittaa [[$y$]]-akselin suuntaan.

Esimerkki

Kuinka origosta päästään pisteeseen [[$(3,5)$]] vektoreiden [[$\bar{i}$]] ja [[$\bar{j}$]] avulla ja kuinka pitkä matka origosta on pisteeseen [[$(3,5)$]]?

Ratkaisu:
Oheisesta kuvasta nähdään, että pistettä [[$P=(3,5)$]] vastaava paikkavektori [[$\overline{OP}$]] on vektoreiden [[$3\bar i$]]ja [[$5\bar j$]] summa.

Vektorin [[$\overline{OP}=3\bar i+5\bar j$]] pituus saadaan laskettua pyhtagoraan lauseella:
[[$|\overline{OP}| = \sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}$]]

Vastaus:
Siirtymä origosta pisteeseen [[$(3,5)$]] vektoreiden [[$\bar i$]] ja [[$\bar j$]] avulla lausuttuna on [[$3\bar i+5\bar j $]] ja etäisyys origosta pisteeseen [[$(3,5)$]] on [[$\sqrt{34}$]].

Paikkavektori

Pistettä [[$P=(x,y)$]] vastaava paikkavektori [[$\overline{OP}=x \overline{i}+y \overline{j}$]]

Vektorin pituus

[[$xy$]]-tason kantavektoreiden [[$\bar i$]] ja [[$\bar j$]] avulla lausutun vektorin
[[$\bar u=x \overline{ i}+y \overline{ j}$]]
pituus [[$\left|\bar u\right|=\sqrt{x^2+y^2}$]].

Pisteiden [[$A$]] ja [[$B$]] välinen vektori

2016-04-29T19:32:44+03:00

Pisteiden [[$A$]] ja [[$B$]] välinen siirtymä, eli vektori [[$\overline{AB}$]] voidaan esittää kantavektoreiden [[$\bar i $]] ja [[$\bar j$]] avulla. Piirretään tilanteesta kuva, johon merkitään origo [[$O$]], pisteitä [[$A$]] ja [[$B$]] vastaavat paikkavektorit [[$\overline{OA}$]] ja [[$\overline{OB}$]], sekä vektori [[$\overline{AB}$]].

Kuvasta nähdään, että pisteestä [[$A$]] päästään pisteeseen [[$B$]], kun siirrytään yksi oikealle ja kuusi alas. Samaan tulokseen [[$\overline{AB}=\bar i-6\bar j$]] päädytään myös laskemalla erotus [[$\overline{OB}-\overline{OA}.$]] Kahden pisteen välinen vektori muodostetaan aina vähentämällä loppupisteen paikkavektorista alkupisteen paikkavektori.

3. Vektori [[$xy$]]-koordinaatistossa

Pistettä vastaava paikkavektori

"Kolme oikealle ja viisi ylös"

Siirtymiset [[$xy$]]-tasossa ilmoitetaan kantavektoreiden [[$\overline{i}$]] ja [[$\overline{j}$]] avulla

Paikkavektori

Pistettä [[$P=(x,y)$]] vastaava paikkavektori [[$\overline{OP}=x \overline{i}+y \overline{j}$]]

Vektorin pituus

[[$xy$]]-tason kantavektoreiden [[$\bar i$]] ja [[$\bar j$]] avulla lausutun vektorin
[[$\bar u=x \overline{ i}+y \overline{ j}$]]
pituus [[$\left|\bar u\right|=\sqrt{x^2+y^2}$]].

Pisteiden [[$A$]] ja [[$B$]] välinen vektori

Kahden pisteen välinen vektori

Pisteiden [[$A=(x_a,y_a)$]] ja [[$B=(x_b,y_b)$]] välinen vektori [[$\overline{AB}=(x_b-x_a) \bar i + (y_b-y_a) \bar j $]]

Vektoripeli:

3. Vektori [[$xy$]]-koordinaatistossa

Pistettä vastaava paikkavektori

"Kolme oikealle ja viisi ylös"

Siirtymiset [[$xy$]]-tasossa ilmoitetaan kantavektoreiden [[$\overline{i}$]] ja [[$\overline{j}$]] avulla

Paikkavektori

Pistettä [[$P=(x,y)$]] vastaava paikkavektori [[$\overline{OP}=x \overline{i}+y \overline{j}$]]

Vektorin pituus

[[$xy$]]-tason kantavektoreiden [[$\bar i$]] ja [[$\bar j$]] avulla lausutun vektorin [[$\bar u=x \overline{ i}+y \overline{ j}$]] pituus [[$\left|\bar u\right|=\sqrt{x^2+y^2}$]].

Pisteiden [[$A$]] ja [[$B$]] välinen vektori

Kahden pisteen välinen vektori

Pisteiden [[$A=(x_a,y_a)$]] ja [[$B=(x_b,y_b)$]] välinen vektori [[$\overline{AB}=(x_b-x_a) \bar i + (y_b-y_a) \bar j $]]

Vektoripeli:​ ​

[[$xy$]]-tason kantavektoreiden [[$\bar i$]] ja [[$\bar j$]] avulla lausutun vektorin
[[$\bar u=x \overline{ i}+y \overline{ j}$]]
pituus [[$\left|\bar u\right|=\sqrt{x^2+y^2}$]].

Vektoripeli: