3. Funktion monotonisuus ja ääriarvot
https://peda.net/id/33bf5df4bbd41
2026-09-29T10:05:50+03:00
https://peda.net/:static/548/peda.net.logo.bg.svg
<div class="license">Tämän sivun lisenssi <a rel="license noopener" href="https://peda.net/info" target="_blank">Peda.net-yleislisenssi</a></div>
Kasvaminen ja väheneminen
https://peda.net/id/9dbe3760cec91
2026-10-23T13:08:32+03:00
<h3><span>Funktion kasvaminen ja väheneminen (funktion kulku)</span></h3>
<div>Funktio määritellään kasvavaksi, jos muuttujan arvojen kasvaessa myös funktion arvot kasvavat. <br/>
Eli kasvavalle funktiolle jos<br/>
<span> </span><span class="math-editor-wrapper"><img class="sc-gtLWhw dicMAG" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x_1%3Cx_2%5C%20niin%5C%20my%C3%B6s%5C%20f%5Cleft(x_1%5Cright)%3Cf%5Cleft(x_2%5Cright)" alt="x_1<x_2\ niin\ myös\ f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)"/><!--filtered attribute: data-math-svg="true"--><!--filtered attribute: data-latex="x_1<x_2\ niin\ myös\ f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)"--><br/>
<br/>
</span>Vähenevällä funktiolla muuttujan arvojen kasvaessa funktion arvon pienenevät. <br/>
<span>eli vähenevälle funktiolle</span><br/>
<span> </span><span class="math-editor-wrapper"><img class="sc-gtLWhw dicMAG" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=jos%5C%20x_1%3Cx_2%5C%20niin%5C%20my%C3%B6s%5C%20f%5Cleft(x_1%5Cright)%3Ef%5Cleft(x_2%5Cright)" alt="jos\ x_1<x_2\ niin\ myös\ f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)"/><!--filtered attribute: data-math-svg="true"--><!--filtered attribute: data-latex="jos\ x_1<x_2\ niin\ myös\ f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)"--><!--filtered attribute: style="padding: 3px 10px; background-color: #edf9ff;"--></span><br/>
<br/>
<b>Funktion kasvamista ja vähenemistä tutkitaan derivaatan avulla:</b><br/>
<br/>
</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Jos%5C%20f%27%5Cleft(x%5Cright)%5Cge0%5C%20jollakin%5C%20lukusuoran%5C%20alueella%5C%20niin%5C%20t%C3%A4ll%C3%B6in%5C%20f%5C%20on%5C%20aidosti%5C%20kasvava." alt="Jos\ f'\left(x\right)\ge0\ jollakin\ lukusuoran\ alueella\ niin\ tällöin\ f\ on\ aidosti\ kasvava."/></div>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Jos%5C%20f%27%5Cleft(x%5Cright)%5Cle0%5C%20niin%5C%20f%5C%20on%5C%20aidosti%5C%20v%C3%A4henev%C3%A4." alt="Jos\ f'\left(x\right)\le0\ niin\ f\ on\ aidosti\ vähenevä."/>
<div> </div>
<div>Funktion kulun tutkimiseen eli missä lukusuoran osissa f on kasvava ja missä vähenevä, liittyvät seuraavat vaiheet:</div>
<div>1. Muodostetaan funktion f derivaatta f '(x)</div>
<div>2. Määritetään derivaatan nollakohdat eli ratkaistaan yhtälö f '(x) = 0</div>
<div>derivaatan merkki voi vaihtua vain derivaatan nollakohdan yhteydessä</div>
<div>3. Laaditaan derivaatan merkkikaavio, joka kertoo missä derivaatta on posit. ja missä negat.</div>
<div>Derivaatan merkkikaaviosta nähdään missä f on kasvava ja missä vähenevä (funktion kulkukaavio).</div>
<div><br/>
<br/>
Esimerkki</div>
<div>Tutki funktion f(x) kasvamista ja vähenemistä, kun</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3Dx%5E3-6x%5E2%2B9x" alt="f\left(x\right)=x^3-6x^2+9x"/></div>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%27%5Cleft(x%5Cright)%3D3x%5E2-12x%2B9%5C%20%5C%20%5C%20%5Cleft(1.%5Cright)" alt="f'\left(x\right)=3x^2-12x+9\ \ \ \left(1.\right)"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=ratkaistaan%5C%20yht%C3%A4l%C3%B6%5C%20f%27%5Cleft(x%5Cright)%3D0%5C%20%5C%20%5C%20%5Cleft(2.%5Cright)" alt="ratkaistaan\ yhtälö\ f'\left(x\right)=0\ \ \ \left(2.\right)"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=3x%5E2-12x%2B9%3D0%5C%20%5Cmid%3A3" alt="3x^2-12x+9=0\ \mid:3"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E2-4x%2B3%3D0" alt="x^2-4x+3=0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D%5Cfrac%7B4%5Cpm%5Csqrt%7B%5Cleft(-4%5Cright)%5E2-4%5Ccdot1%5Ccdot3%7D%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B4%5Cpm2%7D%7B2%7D" alt="x=\frac{4\pm\sqrt{\left(-4\right)^2-4\cdot1\cdot3}}{2}=\frac{4\pm2}{2}"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D3%5C%20%5C%20%5C%20tai%5C%20x%3D1%5C%20%5C%20%5Cleft(derivaa%5Ctan%5C%20nollakohdat%5Cright)" alt="x=3\ \ \ tai\ x=1\ \ \left(derivaa\tan\ nollakohdat\right)"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Laaditaan%5C%20derivaa%5Ctan%5C%20merkkikaavio%5C%20%5Cleft(3.%5Cright)" alt="Laaditaan\ derivaa\tan\ merkkikaavio\ \left(3.\right)"/>
<div>Derivaatta on ylöspäin aukeava paraabeli ⇒ derivaatta on negatiivinen nollakohtien välissä<br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7Cl%7D%0Af%27%26%5C%20%5C%20%5C%20%2B%5C%20%5C%20%5C%20%5C%201%26%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20-%5C%20%5C%20%5C%20%5C%203%26%5C%20%5C%20%5C%20%2B%5C%5C%0A%5Chline%0Af%26kasvava%26v%C3%A4henev%C3%A4%26kasvava%0A%5Cend%7Barray%7D" alt="\begin{array}{l|l} f'&\ \ \ +\ \ \ \ 1&\ \ \ \ \ -\ \ \ \ 3&\ \ \ +\\ \hline f&kasvava&vähenevä&kasvava \end{array}"/></div>
<div>Funktio f on aidosti vähenevä välillä 1 ≤ x ≤ 3, muualla (x≤1, x≥3) aidosti kasvava</div>
<div> </div>
<div> </div>
2026-10-23T13:07:55+03:00
Funktion paikalliset ääriarvot
https://peda.net/id/6d766044d2ca1
2026-10-28T14:24:51+02:00
Erään funktion f derivaatan merkkikaavio ja kulkukaavio on ohessa.<br/>
<br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7Cl%7D%0Af%27%26%5C%20%5C%20%5C%20-%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20-2%26%5C%20%5C%20%5C%20%2B%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%201%26%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%2B%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%203%26%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20-%5C%5C%0A%5Chline%0Af%26v%C3%A4henev%C3%A4%5Csearrow%26kasvava%5Cnearrow%26kasvava%5Cnearrow%26%5Csearrow%20v%C3%A4henev%C3%A4%0A%5Cend%7Barray%7D" alt="\begin{array}{l|l} f'&\ \ \ -\ \ \ \ \ -2&\ \ \ +\ \ \ \ \ \ \ 1&\ \ \ \ \ +\ \ \ \ \ \ \ \ 3&\ \ \ \ -\\ \hline f&vähenevä\searrow&kasvava\nearrow&kasvava\nearrow&\searrow vähenevä \end{array}"/><br/>
<div> </div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=eli%5C%20funktion%5C%20f%5C%20derivaa%5Ctan%20nollakohdat%5C%20eli%5C%20yht%C3%A4l%C3%B6n%5C%20f%27%5Cleft(x%5Cright)%3D0%5C%20ratkaisut%5C%20ovat" alt="eli\ funktion\ f\ derivaa\tan nollakohdat\ eli\ yhtälön\ f'\left(x\right)=0\ ratkaisut\ ovat"/></div>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D-2%7B%2C%7D%5C%20x%3D1%5C%20ja%5C%20x%3D3" alt="x=-2{,}\ x=1\ ja\ x=3"/><br/>
Ne derivaatan nollakohdat, joissa derivaatan merkki vaihtuu ts funktio muuttuu kasvavasta väheneväksi tai päinvastoin, ovat funktion ääriarvokohtia. Derivaatan nollakohta on maksimikohta, jos funktio muuttuu kasvavasta väheneväksi ja minimikohta, jos funktio muuttuu vähenevästä kasvavaksi.<br/>
<br/>
Esimerkissä maksimikohta on x = 3 ja minimikohta on x = -2<br/>
<br/>
HUOM! Derivaatan nollakohdista x = 1 ei ole ääriarvokohta, koska derivaatan merkki ei vaihdu. Kohta x = 1 on ns. terassikohta.<br/>
<br/>
Ääriarvot on funktion arvoja eli <br/>
Maksimiarvo eli maksimi on funktion arvo kohdassa x = 3 eli f(3).<br/>
Minimiarvo eli minimi on funktion arvo kohdassa x = -2 eli f(-2).<br/>
<br/>
<br/>
<span>Määritä funktion f ääriarvot, kun</span>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3Dx%5E5-15x%5E3%2B10" alt="f\left(x\right)=x^5-15x^3+10"/><br/>
<br/>
<span> </span><span class="math-editor-wrapper"><img class="sc-gtLWhw dicMAG" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%27%5Cleft(x%5Cright)%3D5x%5E4-15%5Ccdot3x%5E2%3D5x%5E4-45x%5E2" alt="f'\left(x\right)=5x^4-15\cdot3x^2=5x^4-45x^2"/><!--filtered attribute: data-math-svg="true"--><!--filtered attribute: data-latex="f'\left(x\right)=5x^4-15\cdot3x^2=5x^4-45x^2"--></span><span> </span><br/>
<span>Ääriarvokohtia voivat olla derivaatan nollakohdat (jos derivaatan merkki vaihtuu)</span><br/>
<br/>
<span> </span><span class="math-editor-wrapper"><img class="sc-gtLWhw dicMAG" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=5x%5E4-45x%5E2%3D0%5C%20%5C%20%5CLeftrightarrow%5C%20%5C%205x%5E2%5Cleft(x%5E2-9%5Cright)%3D0%5C%20%5C%20%5C%20%5CLeftrightarrow%5C%20%5C%20x%5E2%3D0%5C%20%5C%20tai%5C%20%5C%20x%5E2-9%3D0" alt="5x^4-45x^2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ 5x^2\left(x^2-9\right)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2=0\ \ tai\ \ x^2-9=0"/><!--filtered attribute: data-math-svg="true"--><!--filtered attribute: data-latex="5x^4-45x^2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ 5x^2\left(x^2-9\right)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2=0\ \ tai\ \ x^2-9=0"--></span><span> </span><br/>
<span> </span><span class="math-editor-wrapper"><img class="sc-gtLWhw dicMAG" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5CLeftrightarrow%20x%3D0%5C%20%5C%20tai%5C%20x%5E2%3D9%5C%20%5C%20%5C%20%5CLeftrightarrow%5C%20%5C%20x%3D0%5C%20tai%5C%20x%3D%5Cpm3" alt="\Leftrightarrow x=0\ \ tai\ x^2=9\ \ \ \Leftrightarrow\ \ x=0\ tai\ x=\pm3"/><!--filtered attribute: data-math-svg="true"--><!--filtered attribute: data-latex="\Leftrightarrow x=0\ \ tai\ x^2=9\ \ \ \Leftrightarrow\ \ x=0\ tai\ x=\pm3"--></span><span> </span><br/>
<span>Laaditaan derivaatan merkkikaavio:</span><br/>
<br/>
<span> </span><span class="math-editor-wrapper"><img class="sc-gtLWhw dicMAG" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7Cl%7D%0Af%27%26%5C%20%5C%20%5C%20%2B%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20-3%26%5C%20%5C%20%5C%20-%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%200%26%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20-%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%203%26%5C%20%5C%20%5C%20%2B%5C%20%5C%20%5C%20%5C%5C%0A%5Chline%0Af%26%5C%20%5C%20%5C%20%5Cnearrow%26%5C%20%5C%20%5C%20%5Csearrow%26%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Csearrow%26%5C%20%5C%20%5C%20%5Cnearrow%0A%5Cend%7Barray%7D" alt="\begin{array}{l|l} f'&\ \ \ +\ \ \ \ -3&\ \ \ -\ \ \ \ \ \ \ 0&\ \ \ \ -\ \ \ \ \ \ \ \ 3&\ \ \ +\ \ \ \\ \hline f&\ \ \ \nearrow&\ \ \ \searrow&\ \ \ \ \searrow&\ \ \ \nearrow \end{array}"/><!--filtered attribute: data-math-svg="true"--><!--filtered attribute: data-latex="\begin{array}{l|l}
f'&\ \ \ +\ \ \ \ -3&\ \ \ -\ \ \ \ \ \ \ 0&\ \ \ \ -\ \ \ \ \ \ \ \ 3&\ \ \ +\ \ \ \\
\hline
f&\ \ \ \nearrow&\ \ \ \searrow&\ \ \ \ \searrow&\ \ \ \nearrow
\end{array}"--></span><span> max min</span><br/>
<span>Maksimikohta on x = -3 ja minimikohta on x = 3</span><br/>
<span>Ääriarvot:</span><br/>
<span> </span><span class="math-editor-wrapper"><img class="sc-gtLWhw dicMAG" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=maksimi%5C%20on%5C%20f%5Cleft(-3%5Cright)%3D%5Cleft(-3%5Cright)%5E5-15%5Ccdot%5Cleft(-3%5Cright)%5E3%2B10%3D172" alt="maksimi\ on\ f\left(-3\right)=\left(-3\right)^5-15\cdot\left(-3\right)^3+10=172"/><!--filtered attribute: data-math-svg="true"--><!--filtered attribute: data-latex="maksimi\ on\ f\left(-3\right)=\left(-3\right)^5-15\cdot\left(-3\right)^3+10=172"--></span><span> </span><br/>
<span> </span><span class="math-editor-wrapper"><img class="sc-gtLWhw dicMAG" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cmin%20imi%5C%20on%5C%20f%5Cleft(3%5Cright)%3D3%5E5-15%5Ccdot3%5E3%2B10%3D-152" alt="\min imi\ on\ f\left(3\right)=3^5-15\cdot3^3+10=-152"/><!--filtered attribute: data-math-svg="true"--><!--filtered attribute: data-latex="\min imi\ on\ f\left(3\right)=3^5-15\cdot3^3+10=-152"--></span><span> </span><br/>
<br/>
<span><br/>
<br/>
</span></div>
2026-10-28T14:23:48+02:00