https://peda.net/id/2e2bf878418 2019-03-08T11:40:16+02:00 https://peda.net/:static/535/peda.net.logo.bg.svg <div class="license">Tämän sivun lisenssi <a rel="license" href="https://peda.net/info">Peda.net-yleislisenssi</a></div> https://peda.net/id/4ab7fa30440 2019-03-11T15:47:53+02:00 <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=0%7B%2C%7D2x%2B1%7B%2C%7D5y%3D5" alt="0{,}2x+1{,}5y=5"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=2x%2B15y%3D50" alt="2x+15y=50"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=syt%5Cleft(2%7B%2C%7D15%5Cright)" alt="syt\left(2{,}15\right)"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=15%3D7%5Ccdot2%2B1" alt="15=7\cdot2+1"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=syt%5Cleft(2%7B%2C%7D1%5Cright)" alt="syt\left(2{,}1\right)"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=2%3D2%5Ccdot1" alt="2=2\cdot1"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=syt%5Cleft(15%7B%2C%7D2%5Cright)%3D1" alt="syt\left(15{,}2\right)=1"/><br/> <br/> <div>koska 50 on jaollinen luvulla 1, yhtälöllä on kokonaislukuratkaisuja</div> <div>ratkaistaan ensin yhtälön <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=2x%2B15y%3D1" alt="2x+15y=1"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=1%3D15-7%5Ccdot2" alt="1=15-7\cdot2"/></div> <div>joten yhtälön yksi kokonaislukuratkaisu on </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D-7" alt="x=-7"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y%3D1" alt="y=1"/></div> <div> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D-350%2B15n" alt="x=-350+15n"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y%3D50-2n" alt="y=50-2n"/></div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5Cge0" alt="x\ge0"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y%5Cge0" alt="y\ge0"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=-350%2B15n%5Cge0" alt="-350+15n\ge0"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=15n%5Cge350%5C%20%5Cparallel%3A15" alt="15n\ge350\ \parallel:15"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=n%5Cge23.33..." alt="n\ge23.33..."/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=-2n%5Cge-50" alt="-2n\ge-50"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=n%5Cle25" alt="n\le25"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=23.3...%5Cle%20n%5Cle25" alt="23.3...\le n\le25"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=n%3D24%5C%20tai%5C%2025" alt="n=24\ tai\ 25"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=kun%5C%20n%3D24" alt="kun\ n=24"/><!--filtered attribute: style="display: inline;"--><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D-350%2B15%5Ccdot24%3D10" alt="x=-350+15\cdot24=10"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y%3D50-48%3D2" alt="y=50-48=2"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=kun%5C%20n%3D25" alt="kun\ n=25"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D25" alt="x=25"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y%3D0" alt="y=0"/><br/> <br/> v:vähimmillään tarvitaan 12 astiallista</div> 2019-03-11T15:40:54+02:00 https://peda.net/id/77bff790440 2019-03-11T15:35:00+02:00 a)<br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=syt%5Cleft(15%7B%2C%7D6%5Cright)" alt="syt\left(15{,}6\right)"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=15%3D2%5Ccdot6%2B3" alt="15=2\cdot6+3"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=syt%5Cleft(6%7B%2C%7D3%5Cright)" alt="syt\left(6{,}3\right)"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=6%3D2%5Ccdot3" alt="6=2\cdot3"/><br/> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=syt%5Cleft(15%7B%2C%7D6%5Cright)%3Dsyt%5Cleft(6%7B%2C%7D3%5Cright)%3D3" alt="syt\left(15{,}6\right)=syt\left(6{,}3\right)=3"/></div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=21%3A3%3D7%2B0" alt="21:3=7+0"/></div> <div>jako menee tasan, Diofantoksen yhtälöllä on ratkaisuja<br/> b)<br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=syt%5Cleft(6%7B%2C%7D%5C%209%5Cright)" alt="syt\left(6{,}\ 9\right)"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=9%3D1%5Ccdot6%2B3" alt="9=1\cdot6+3"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=syt%5Cleft(6%7B%2C%7D3%5Cright)" alt="syt\left(6{,}3\right)"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=6%3D2%5Ccdot3" alt="6=2\cdot3"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=syt%5Cleft(6%7B%2C%7D9%5Cright)%3Dsyt%5Cleft(6%7B%2C%7D3%5Cright)%3D3" alt="syt\left(6{,}9\right)=syt\left(6{,}3\right)=3"/><br/> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=11%3D3%5Ccdot3%2B2" alt="11=3\cdot3+2"/></div> <div>jako ei mene tasan, Diofantoksen yhtälöllä ei ole ratkaisuja</div> </div> 2019-03-11T15:35:00+02:00 https://peda.net/id/2c5c46d8440 2019-03-11T15:25:55+02:00 <br/> <div>Etsitään Diofantoksen yhtälön <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=6x%2B7y%3D50" alt="6x+7y=50"/>positiiviset kokonaislukuratkaisut</div> <div>Määritetään ensin<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=syt%5Cleft(6%7B%2C%7D7%5Cright)" alt="syt\left(6{,}7\right)"/></div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=7%3D6%5Ccdot1%2B1" alt="7=6\cdot1+1"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=syt%5Cleft(6%7B%2C%7D1%5Cright)" alt="syt\left(6{,}1\right)"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=6%3D1%5Ccdot6" alt="6=1\cdot6"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=syt%5Cleft(6%7B%2C%7D7%5Cright)%3Dsyt%5Cleft(6%7B%2C%7D1%5Cright)%3D1" alt="syt\left(6{,}7\right)=syt\left(6{,}1\right)=1"/></div> <div>Ratkaistaan jakojäännös:</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=1%3D7-1%5Ccdot6" alt="1=7-1\cdot6"/></div> <div>Joten yhtälön <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=6x%2B7y%3D1" alt="6x+7y=1"/>eräs kokonaislukuratkaisu on</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D-1" alt="x=-1"/><!--filtered attribute: style="display: inline;"--><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y%3D1" alt="y=1"/><!--filtered attribute: style="display: inline;"--></div> <div>jolloin <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=6x%2B7y%3D50" alt="6x+7y=50"/>eräs kokonaislukuratkaisu on</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D-50" alt="x=-50"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y%3D50" alt="y=50"/></div> <div>tarkistus:</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=-50%5Ccdot6%2B50%5Ccdot7%3D50" alt="-50\cdot6+50\cdot7=50"/><br/> <br/> <br/> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D-50%2B%5Cfrac%7B7n%7D%7B1%7D%3D-50%2B7n" alt="x=-50+\frac{7n}{1}=-50+7n"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y%3D50-%5Cfrac%7B6n%7D%7B1%7D%3D50-6n" alt="y=50-\frac{6n}{1}=50-6n"/></div> <div>haetaan sopiva kokonaisluku n, kun <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5Cge0%7B%2C%7D%5C%20y%5Cge0" alt="x\ge0{,}\ y\ge0"/></div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=-50%2B7n%5Cge0" alt="-50+7n\ge0"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=7n%5Cge50%5C%20%5Cparallel%3A7" alt="7n\ge50\ \parallel:7"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=n%5Cge7%7B%2C%7D142..." alt="n\ge7{,}142..."/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=50-6n%5Cge0" alt="50-6n\ge0"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=-6n%5Cge-50%5C%20%5Cparallel%3A%5Cleft(-6%5Cright)" alt="-6n\ge-50\ \parallel:\left(-6\right)"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=n%5Cle8%7B%2C%7D333..." alt="n\le8{,}333..."/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=7%7B%2C%7D14...%5Cle%20n%5Cle8%7B%2C%7D3..." alt="7{,}14...\le n\le8{,}3..."/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=n%3D8" alt="n=8"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D-50%2B7%5Ccdot8%3D6" alt="x=-50+7\cdot8=6"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y%3D50-6%5Ccdot8%3D2" alt="y=50-6\cdot8=2"/></div> 2019-03-11T15:25:44+02:00 https://peda.net/id/ca7f8d32419 2019-03-08T13:14:43+02:00 a)<br/> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=26%3D8%5Ccdot3%2B2" alt="26=8\cdot3+2"/></div> <div>syt(26,8)=syt(8,2)</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=8%3D2%5Ccdot4" alt="8=2\cdot4"/></div> <div>syt(8,2)=2<br/> b)</div> <div>syt(80,35)</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=80%3D35%5Ccdot2%2B10" alt="80=35\cdot2+10"/></div> <div>syt(80,35)=syt(35,10)</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=35%3D10%5Ccdot3%2B5" alt="35=10\cdot3+5" title=""/></div> <div>syt(80,35)=syt(35,10)=syt(10,5)</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=10%3D5%5Ccdot2" alt="10=5\cdot2"/></div> <div>syt(10,5)=5</div> <div>c)<br/> <div>syt(18192,8676)</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=18192%3D8676%5Ccdot2%2B840" alt="18192=8676\cdot2+840"/></div> <div>syt(8676,840)</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=8676%3D840%5Ccdot10%2B276" alt="8676=840\cdot10+276"/></div> <div>syt(840,276)</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=840%3D276%5Ccdot3%2B12" alt="840=276\cdot3+12"/></div> <div>syt(276,12)</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=276%3D23%5Ccdot12" alt="276=23\cdot12"/></div> <div>syt(18192,8676)=23</div> </div> 2019-03-08T13:10:32+02:00 https://peda.net/id/75370cf8419 2019-03-08T12:53:50+02:00 a)<br/> 6x+10y<br/> <br/> b) 6x+10y=56<br/> x=6, y=2<br/> x=1, y=5 2019-03-08T12:53:50+02:00 https://peda.net/id/fe0caeb2418 2019-03-08T12:50:44+02:00 a)<br/> x=1, y=7<br/> x=2, y=4<br/> b)<br/> x=2, y=1<br/> x=4, y=2<br/> c)<br/> x=2, y=2<br/> x=-2, y=-1 2019-03-08T12:50:30+02:00 https://peda.net/id/9558ecd6418 2019-03-11T15:07:58+02:00 68=12*5+8<br/> jaettavan ja jakajan suurin yhteinen tekijä on sama kuin jakajan ja jakojäännöksen<br/> <br/> jakoyhtälössä a=nq+r<br/> syt(a,n) = syt(n,r)<br/> <br/> <div>Esim. Määritetään Eukleideen algoritmin avulla syt(120,84)</div> <div> </div> <div>Jaetaan luku 120 luvulla 84</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=120%3D84%5Ccdot1%2B36" alt="120=84\cdot1+36"/></div> <div>syt(120,84)=syt(84,36)</div> <div> </div> <div>Jaetaan seuraavaksi 84 luvulla 36</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=84%3D36%5Ccdot2%2B12" alt="84=36\cdot2+12"/></div> <div>syt(84,36)=syt(36,12)</div> <div> </div> <div>Jaetaan seuraavaksi 36 luvulla 12</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=36%3D12%5Ccdot3%2B0" alt="36=12\cdot3+0"/></div> <div>syt(36,12)=12</div> <div> </div> <div>syt(120,84)=syt(84,36)=syt(36,12)=12<br/> <br/> <br/> <b>Kokonaislukuyhtälöt</b><br/> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=17x%2B14y%3D4" alt="17x+14y=4"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x_0%3D20" alt="x_0=20"/><br/> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y_0%3D-24" alt="y_0=-24"/></div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=syt%5Cleft(17%7B%2C%7D14%5Cright)%3D1" alt="syt\left(17{,}14\right)=1"/></div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D20%2B%5Cfrac%7B14n%7D%7B1%7D%3D20%2B14n" alt="x=20+\frac{14n}{1}=20+14n"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y%3D-24-%5Cfrac%7B17n%7D%7B1%7D%3D-24-17n" alt="y=-24-\frac{17n}{1}=-24-17n"/><br/> <br/> mikä tahansa kokonaisluku n paikalla toimii</div> </div> 2019-03-08T11:43:09+02:00