https://peda.net/id/24b4a722bcc 2018-09-20T14:05:54+03:00 https://peda.net/:static/532/peda.net.logo.bg.svg <div class="license">Tämän sivun lisenssi <a rel="license" href="https://peda.net/info">Peda.net-yleislisenssi</a></div> https://peda.net/id/770e964eddb 2018-11-01T12:28:43+02:00 13. <div>Funktio on jatkuvajos</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(a%5Cright)%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20a%7Df%5Cleft(x%5Cright)" alt="f\left(a\right)=\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)"/></div> a) lasketaan funktion raja-arvo kohdassa x=5<br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%5Cbegin%7Bcases%7D%0Ax%5E3-121%26%7B%2C%7Dkun%5C%20x%3C5%5C%5C%0A%5Cfrac%7Bx%5E3%2Bx%5E2%7D%7Bx%5E4-2x%7D%26%7B%2C%7Dkun%5C%20x%3E5%0A%5Cend%7Bcases%7D" alt="f\left(x\right)\begin{cases}&#10;x^3-121&amp;{,}kun\ x&lt;5\\&#10;\frac{x^3+x^2}{x^4-2x}&amp;{,}kun\ x&gt;5&#10;\end{cases}"/><!--filtered attribute: style="max-width: 100%; max-height: 1000px; vertical-align: middle; margin: 4px; padding: 3px 10px; cursor: pointer; border: 1px solid #e6f2f8; background: #edf9ff;"--> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow5-%7D%5Cleft(x%5E3-121%5Cright)%3D5%5E3-121%3D4" alt="f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow5-}\left(x^3-121\right)=5^3-121=4"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow5%2B%7D%5Cleft(%5Cfrac%7Bx%5E3%2Bx%5E2%7D%7Bx%5E4-2x%7D%5Cright)%3D%5Cfrac%7B5%5E3%2B5%5E2%7D%7B5%5E4-2%5Ccdot5%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D" alt="f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow5+}\left(\frac{x^3+x^2}{x^4-2x}\right)=\frac{5^3+5^2}{5^4-2\cdot5}=\frac{1}{4}"/><br/> <div>koska <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=4%5Cne%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D" alt="4\ne\frac{1}{4}"/>, joten funktiolla ei ole raja-arvoa kohdassa x=5</div> <div>Siten funktiota ei saada jatkuvaksi kohdsassa x=5</div> <div> </div> <div>b)</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cfrac%7Bx-5%7D%7B50-2x%5E2%7D%7B%2C%7Dx%5Cne%5Cpm5" alt="f\left(x\right)=\frac{x-5}{50-2x^2}{,}x\ne\pm5"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow5%7D%5Cleft(%5Cfrac%7Bx-5%7D%7B50-2x%5E2%7D%5Cright)%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow5%7D%5Cfrac%7Bx-5%7D%7B-2%5Cleft(x%5E2-25%5Cright)%7D%3D%5Cfrac%7Bx-5%7D%7B-2%5Cleft(x%2B5%5Cright)%5Cleft(x-5%5Cright)%7D%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow5%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B-2%5Cleft(x%2B5%5Cright)%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B-2%5Cleft(5%2B5%5Cright)%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B-20%7D" alt="\lim_{x\rightarrow5}\left(\frac{x-5}{50-2x^2}\right)=\lim_{x\rightarrow5}\frac{x-5}{-2\left(x^2-25\right)}=\frac{x-5}{-2\left(x+5\right)\left(x-5\right)}=\lim_{x\rightarrow5}\frac{1}{-2\left(x+5\right)}=\frac{1}{-2\left(5+5\right)}=\frac{1}{-20}"/> <div>Valitsemalla <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(5%5Cright)%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B20%7D" alt="f\left(5\right)=-\frac{1}{20}"/>saadaan funktio jatkuvaksi kohdassa x=5</div> <div> <div><br/> K8</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=h%27%5Cleft(3%5Cright)%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow3%7D%5Cfrac%7Bh%5Cleft(x%5Cright)-h%5Cleft(3%5Cright)%7D%7Bx-3%7D%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow3%7D%5Cfrac%7B%5Cleft(x%5E2-2x%2B1%5Cright)-%5Cleft(3%5E2-2%5Ccdot3%2B1%5Cright)%7D%7Bx-3%7D%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow3%7D%5Cfrac%7Bx%5E2-2x%2B1-9%2B6-1%7D%7Bx-3%7D%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow3%7D%5Cfrac%7Bx%5E2-2x-3%7D%7Bx-3%7D%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow3%7D%5Cfrac%7B%5Cleft(x-3%5Cright)%5Cleft(x%2B1%5Cright)%7D%7Bx-3%7D%3Dx%2B1%3D3%2B1%3D4" alt="h'\left(3\right)=\lim_{x\rightarrow3}\frac{h\left(x\right)-h\left(3\right)}{x-3}=\lim_{x\rightarrow3}\frac{\left(x^2-2x+1\right)-\left(3^2-2\cdot3+1\right)}{x-3}=\lim_{x\rightarrow3}\frac{x^2-2x+1-9+6-1}{x-3}=\lim_{x\rightarrow3}\frac{x^2-2x-3}{x-3}=\lim_{x\rightarrow3}\frac{\left(x-3\right)\left(x+1\right)}{x-3}=x+1=3+1=4"/></div> </div> 2018-11-01T12:11:14+02:00 https://peda.net/id/41294140d84 2018-10-25T14:15:18+03:00 <div>5.1</div> <div> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=D%5C%20x%5En%3Dnx%5E%7Bn-1%7D%7B%2C%7D%5C%20kun%5C%20x%5Cne0%5C%20ja%5C%20n%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D" alt="D\ x^n=nx^{n-1}{,}\ kun\ x\ne0\ ja\ n\in\mathbb{Z}"/></div> <div> </div> <div>Muista:</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E%7B-k%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5Ek%7D%7B%2C%7D%5C%20x%5Cne0" alt="x^{-k}=\frac{1}{x^k}{,}\ x\ne0"/></div> <br/> <div>Esim. Derivoi</div> <div> </div> <div>a)</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7B3%7D%7Bx%5E3%7D%7B%2C%7D%5C%20x%5Cne0" alt="\frac{3}{x^3}{,}\ x\ne0"/></div> <br/> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=D%5C%20%5Cfrac%7B3%7D%7Bx%5E3%7D%3DD%5C%203%5Ccdot%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E3%7D%3DD%5C%203x%5E%7B-3%7D%3D9x%5E%7B-4%7D%3D-9%5Ccdot%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E4%7D%3D%5Cfrac%7B-9%7D%7Bx%5E4%7D" alt="D\ \frac{3}{x^3}=D\ 3\cdot\frac{1}{x^3}=D\ 3x^{-3}=9x^{-4}=-9\cdot\frac{1}{x^4}=\frac{-9}{x^4}"/></div> <div> </div> <div>b) </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7Bx%5E4-2%7D%7Bx%5E4%7D%7B%2C%7D%5C%20x%5Cne0" alt="\frac{x^4-2}{x^4}{,}\ x\ne0"/></div> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=D%5C%20%5Cfrac%7Bx%5E4-2%7D%7Bx%5E4%7D%3DD%5C%20%5Cfrac%7Bx%5E4%7D%7Bx%5E4%7D-%5Cfrac%7B2%7D%7Bx%5E4%7D%3DD%5C%201-%5Cfrac%7B2%7D%7Bx%5E4%7D" alt="D\ \frac{x^4-2}{x^4}=D\ \frac{x^4}{x^4}-\frac{2}{x^4}=D\ 1-\frac{2}{x^4}"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3DD%5C%201-2x%5E%7B-4%7D%3D8x%5E%7B-5%7D%3D%5Cfrac%7B8%7D%7Bx%5E5%7D" alt="=D\ 1-2x^{-4}=8x^{-5}=\frac{8}{x^5}"/><br/> <div> </div> <div>Lause:<br/> Olkoot f ja g derivoituvia. Tällöin </div> <div> </div> <div>a) </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=D%5Cleft(f%5Cleft(x%5Cright)g%5Cleft(x%5Cright)%5Cright)%3Df%27%5Cleft(x%5Cright)g%5Cleft(x%5Cright)%2Bf%5Cleft(x%5Cright)g%27%5Cleft(x%5Cright)" alt="D\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)=f'\left(x\right)g\left(x\right)+f\left(x\right)g'\left(x\right)"/></div> <div> </div> <div>b) </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=D%5C%20%5Cfrac%7Bf%5Cleft(x%5Cright)%7D%7Bg%5Cleft(x%5Cright)%7D%3D%5Cfrac%7Bf%27%5Cleft(x%5Cright)g%5Cleft(x%5Cright)-f%5Cleft(x%5Cright)g%27%5Cleft(x%5Cright)%7D%7B%5Cleft(g%5Cleft(x%5Cright)%5E2%5Cright)%7D" alt="D\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{f'\left(x\right)g\left(x\right)-f\left(x\right)g'\left(x\right)}{\left(g\left(x\right)^2\right)}"/></div> <br/> <div>Esim. Määritä</div> <div> </div> <div>a) </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D2x%5C%20eli%5C%20f%27%5Cleft(x%5Cright)%3D2%5C%20ja%5C%20g%5Cleft(x%5Cright)%3Dx%5E2%2B1%5C%20eli%5C%20g%27%5Cleft(x%5Cright)%3D2x" alt="f\left(x\right)=2x\ eli\ f'\left(x\right)=2\ ja\ g\left(x\right)=x^2+1\ eli\ g'\left(x\right)=2x"/></div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=D%5C%20%5Cleft(2x%5Cleft(x%5E2%2B1%5Cright)%5Cright)%3D2%5Cleft(x%5E2%2B1%5Cright)%2B2x%5Ccdot2x%3D2x%5E2%2B2%2B4x%5E2%3D6x%5E2%2B2" alt="D\ \left(2x\left(x^2+1\right)\right)=2\left(x^2+1\right)+2x\cdot2x=2x^2+2+4x^2=6x^2+2"/></div> <br/> <div>b)</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3Dx%5E4-2%7B%2C%7D%5C%20f%27%5Cleft(x%5Cright)%3D4x%5E3%7B%2C%7D%5C%20g%5Cleft(x%5Cright)%3Dx%5E4%7B%2C%7D%5C%20g%27%5Cleft(x%5Cright)%3D4x%5E3" alt="f\left(x\right)=x^4-2{,}\ f'\left(x\right)=4x^3{,}\ g\left(x\right)=x^4{,}\ g'\left(x\right)=4x^3"/></div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=D%5C%20%5Cfrac%7Bx%5E4-2%7D%7Bx%5E4%7D%3D%5Cfrac%7B4x%5E3%5Ccdot%20x%5E4-%5Cleft(x%5E4-2%5Cright)%5Ccdot4x%5E3%7D%7B%5Cleft(x%5E4%5Cright)%5E2%7D%3D%5Cfrac%7B4x%5E7-4x%5E7%2B8x%5E3%7D%7Bx%5E8%7D%3D%5Cfrac%7B8x%5E3%7D%7Bx%5E8%7D%3D%5Cfrac%7B8%7D%7Bx%5E5%7D%7B%2C%7D%5C%20x%5Cne0" alt="D\ \frac{x^4-2}{x^4}=\frac{4x^3\cdot x^4-\left(x^4-2\right)\cdot4x^3}{\left(x^4\right)^2}=\frac{4x^7-4x^7+8x^3}{x^8}=\frac{8x^3}{x^8}=\frac{8}{x^5}{,}\ x\ne0"/></div> <div> </div> <div> </div> <div>515</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Bcases%7D%0Ay%3Dx%5E2%5C%5C%0Ay%3D%5Cfrac%7Bx%5E2%2Bx%7D%7B3-x%7D%0A%5Cend%7Bcases%7D" alt="\begin{cases}&#10;y=x^2\\&#10;y=\frac{x^2+x}{3-x}&#10;\end{cases}"/></div> <br/> <span>Laskimella saadaan käyrien leikkauspisteet (0,0) ja (1,1)</span> <div> </div> <div>Ratkaistaan leikkauspisteeseen piirrettyjen tangenttien kulmakertoimet.</div> <div>Tangentin kulmakerroin on derivaatan arvo leikkauspisteessä.</div> <div> </div> <div>Olkoon </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3Dx%5E2" alt="f\left(x\right)=x^2"/> ja </div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=g%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cfrac%7Bx%5E2%2Bx%7D%7B3-x%7D%7B%2C%7D%5C%20x%5Cne3" alt="g\left(x\right)=\frac{x^2+x}{3-x}{,}\ x\ne3"/> <div> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%27%5Cleft(x%5Cright)%3D2x" alt="f'\left(x\right)=2x"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=g%27%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cfrac%7B%5Cleft(2x%2B1%5Cright)%5Cleft(3-x%5Cright)-%5Cleft(x%5E2%2Bx%5Cright)%5Cleft(-1%5Cright)%7D%7B%5Cleft(3-1%5Cright)%5E2%7D%3D%5Cfrac%7B-x%5E2%2B6x%2B3%7D%7B%5Cleft(3-x%5Cright)%5E2%7D" alt="g'\left(x\right)=\frac{\left(2x+1\right)\left(3-x\right)-\left(x^2+x\right)\left(-1\right)}{\left(3-1\right)^2}=\frac{-x^2+6x+3}{\left(3-x\right)^2}"/> <div> </div> <div>Lasketaan derivaattafunktioiden arvot leikkauspisteessä eli kun x = 0 ja x = 1</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%27%5Cleft(0%5Cright)%3D0" alt="f'\left(0\right)=0"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=g%27%5Cleft(0%5Cright)%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B3%5E2%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D" alt="g'\left(0\right)=\frac{3}{3^2}=\frac{1}{3}"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%27%5Cleft(1%5Cright)%3D2" alt="f'\left(1\right)=2"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=g%27%5Cleft(1%5Cright)%3D%5Cfrac%7B-1%5E2%2B6%5Ccdot1%2B3%7D%7B%5Cleft(3-1%5Cright)%5E2%7D%3D2" alt="g'\left(1\right)=\frac{-1^2+6\cdot1+3}{\left(3-1\right)^2}=2"/></div> <div> </div> <div>Pisteessä (0,0) tangenttien kulmakertoimet ovat erisuuret, joten leikkaavat toisensa </div> <div>Pisteessä (1,1) tangenttien kulmakertoimet ovat samat eli käyrillä on yhteinen tangentti. Tällöin käyrät sivuavat toisiaan.</div> 2018-10-25T14:15:18+03:00 https://peda.net/id/0037fcbed69 2018-10-23T11:16:54+03:00 <span>4.2 Polynomifunktion ääriarvot</span> <div> </div> <div>Lause</div> <div>Jatkuvalla funktiolla f on suurin ja pienin arvo suljetulla välillä [a, b],</div> <div> </div> <div>Jos funktio f on lisäksi derivoituva välillä ]a, b[, niin suurin ja pienin arvo saavutetaan </div> <div>a) välin päätepisteessä tai</div> <div>b) välille kuuluvassa derivaatan nollakohdassa </div> <div> </div> <div>Esim. Määritä funktion <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3Dx%5E3%2Bx%5E2-x%2B1" alt="f\left(x\right)=x^3+x^2-x+1"/>pienin ja suurin arvo välillä [-2,0]</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%27%5Cleft(x%5Cright)%3D3x%5E2%2B2x-1" alt="f'\left(x\right)=3x^2+2x-1"/></div> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%27%5Cleft(x%5Cright)%3D0" alt="f'\left(x\right)=0"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=3x%5E2%2B2x-1%3D0" alt="3x^2+2x-1=0"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D-1%5C%20tai%5C%20x%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cleft(laskin%5Cright)" alt="x=-1\ tai\ x=\frac{1}{3}\left(laskin\right)"/> <div>Suurin ja pienin arvo saavutetaan välin päätepisteissä tai välillä olevassa deriaatan nollakohdassa.</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(-2%5Cright)%3D%5Cleft(-2%5Cright)%5E3%2B%5Cleft(-2%5Cright)%5E2-%5Cleft(-2%5Cright)%2B1%3D-8%2B4%2B2%2B1%3D-1" alt="f\left(-2\right)=\left(-2\right)^3+\left(-2\right)^2-\left(-2\right)+1=-8+4+2+1=-1"/></div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(-1%5Cright)%3D%5Cleft(-1%5Cright)%5E3%2B%5Cleft(-1%5Cright)%5E2-%5Cleft(-1%5Cright)%2B1%3D-1%2B1%2B1%2B1%3D2" alt="f\left(-1\right)=\left(-1\right)^3+\left(-1\right)^2-\left(-1\right)+1=-1+1+1+1=2"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(0%5Cright)%3D1" alt="f\left(0\right)=1"/><br/> <span>V: Suurin arvo saavutetaan kohdassa x=-1 ja se on 2, pienin arvo saavutetaan kohdassa x=-2 ja se on -1</span> <div> (Suurin arvo saautetaan pisteessä (1,2), pienin arvo saavutetaan pisteessä (-2,-1)</div> <div> </div> <div>Määritelmä</div> <div> </div> <div>Funktio f paikallinen minimikohta on a, jos funktion pienin arvo a:n lähiympäristössä on f(a).</div> <div> </div> <div>Vastaavasti paikalllinen maksimi.</div> <div> </div> <div>435.</div> <div> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D3x%5E4-16x%5E3%2B18x%5E2%2B28" alt="f\left(x\right)=3x^4-16x^3+18x^2+28"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%27%5Cleft(x%5Cright)%3D12x%5E3-48x%5E2%2B36x" alt="f'\left(x\right)=12x^3-48x^2+36x"/><br/> <div>Derivaatan nollakohdat</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%27%5Cleft(x%5Cright)%3D0" alt="f'\left(x\right)=0"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=12x%5E3-48x%5E2%2B46x%3D0" alt="12x^3-48x^2+46x=0"/></div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D0%5C%20%7B%2C%7D%5C%20x%3D1%5C%20tai%5C%20x%3D3%5Cleft(laskin%5Cright)" alt="x=0\ {,}\ x=1\ tai\ x=3\left(laskin\right)"/></div> <div>Tutkitaan derivaatan merkkiä testikohtien avulla.</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%27%5Cleft(-1%5Cright)%3D12%5Ccdot%5Cleft(-1%5Cright)%5E3-48%5Cleft(-1%5Cright)%5E2%2B36%5Ccdot%5Cleft(-1%5Cright)%3D-96%3C0" alt="f'\left(-1\right)=12\cdot\left(-1\right)^3-48\left(-1\right)^2+36\cdot\left(-1\right)=-96&lt;0"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%27%5Cleft(0%7B%2C%7D5%5Cright)%3D7%7B%2C%7D5%3E0" alt="f'\left(0{,}5\right)=7{,}5&gt;0"/><!--filtered attribute: style="max-width: 100%; max-height: 1000px; vertical-align: middle; margin: 4px; padding: 3px 10px; cursor: pointer; border: 1px solid #e6f2f8; background: #edf9ff; color: #333333; font-family: 'Times New Roman'; font-size: 17px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; orphans: 2; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: 2; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; text-decoration-style: initial; text-decoration-color: initial;"--><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%27%5Cleft(2%5Cright)%3D-24%3C0" alt="f'\left(2\right)=-24&lt;0"/> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%27%5Cleft(4%5Cright)%3D144%3E0" alt="f'\left(4\right)=144&gt;0"/><!--filtered attribute: style="max-width: 100%; max-height: 1000px; vertical-align: middle; margin: 4px; padding: 3px 10px; cursor: pointer; border: 1px solid #e6f2f8; background: #edf9ff;"--></div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7Cl%7D%0A%26%260%26%261%26%263%26%5C%5C%0A%5Chline%0Af%27%5Cleft(x%5Cright)%26-%26%26%2B%26%26-%26%26%2B%5C%5C%0Af%5Cleft(x%5Cright)%26%5Csearrow%26%26%5Cnearrow%26%26%5Csearrow%26%26%5Cnearrow%0A%5Cend%7Barray%7D" alt="\begin{array}{l|l}&#10;&amp;&amp;0&amp;&amp;1&amp;&amp;3&amp;\\&#10;\hline&#10;f'\left(x\right)&amp;-&amp;&amp;+&amp;&amp;-&amp;&amp;+\\&#10;f\left(x\right)&amp;\searrow&amp;&amp;\nearrow&amp;&amp;\searrow&amp;&amp;\nearrow&#10;\end{array}"/></div> <div>Funktiolla on paikallinen maksimiarvo kohdassa x=1, joka on x=0 ja x=3<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(1%5Cright)%3D33" alt="f\left(1\right)=33"/></div> <div>Funktiolla on paikallinen minimiarvo kohdassa x=0 ja x=3. Minimiarvot ovat <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(0%5Cright)%3D28%5C%20ja%5C%20f%5Cleft(3%5Cright)%3D1" alt="f\left(0\right)=28\ ja\ f\left(3\right)=1"/></div> <div> </div> <div>Funktiolla ei olei suurinta arvoa, koska funktio on kasvava, kun x&gt;3. Esim. <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(4%5C%20%5Cright)%3D60%3E33" alt="f\left(4\ \right)=60&gt;33"/><!--filtered attribute: style="max-width: 100%; max-height: 1000px; vertical-align: middle; margin: 4px; padding: 3px 10px; cursor: pointer; border: 1px solid #e6f2f8; background: #edf9ff;"-->, joten funktio saa paikallista maksimiarvoaan suureoua arvija. Siispä x:n kasvaessa funktion arvo kasaa, eikä suurinta arvoa voida määrittää. Funktion pieni arvo on 1, joka saavutetaan kohdassa x=3</div> <div>Funktiolla ei ole nollakohtia, koska funktion pienin arvo on positiivinen.</div> <div> </div> 2018-10-23T11:16:54+03:00 https://peda.net/id/5d1f1dcac61 2018-10-02T10:54:17+03:00 <span>2.3 Funktion jatkuvuus</span> <div> </div> <div>Määritelmä</div> <div> </div> <div>Funktio f on jatkuva kohdassa a, jos tässä kohdassa funktion f arvo on sama kuin funktion f raja-arvo. Toisin sanoen f on jatkuva kohdassa a, jos<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(a%5Cright)%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20a%7Df%5Cleft(x%5Cright)" alt="f\left(a\right)=\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)"/></div> <div> </div> <div>Funktion on oltava määritely kohdassa a (eli f(a) on olemassa).</div> <div> </div> <div>Esim. Tutki onko<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%5Cbegin%7Bcases%7D%0A2x%2B1%26%7B%2C%7D%5C%20x%5Cle2%5C%5C%0A2x%5E2%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7Dx-4%26%7B%2C%7D%5C%20x%3E2%0A%5Cend%7Bcases%7D" alt="f\left(x\right)\begin{cases}&#10;2x+1&amp;{,}\ x\le2\\&#10;2x^2+\frac{1}{3}x-4&amp;{,}\ x&gt;2&#10;\end{cases}"/><!--filtered attribute: style="max-width: 100%; max-height: 1000px; vertical-align: middle; margin: 4px; padding: 3px 10px; cursor: pointer; border: 1px solid #e6f2f8; background: #edf9ff;"-->jatkuva kohdassa 2</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(2%5Cright)%3D2%5Ccdot2%2B1%3D5" alt="f\left(2\right)=2\cdot2+1=5"/></div> <span>Lasketaan toispuoloeiset raja-arvot</span> <div>Vasemmanpuoleinen raja-arvo on </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow2-%7Df%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cleft(2x%2B1%5Cright)%3D2%5Ccdot2%2B1%3D5" alt="\lim_{x\rightarrow2-}f\left(x\right)=\left(2x+1\right)=2\cdot2+1=5"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow2%2B%7Df%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow2%7D%5Cleft(2x%5E2%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7Dx-4%5Cright)%3D8%2B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D-4%3D%5Cfrac%7B14%7D%7B3%7D%3D4%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D" alt="\lim_{x\rightarrow2+}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow2}\left(2x^2+\frac{1}{3}x-4\right)=8+\frac{2}{3}-4=\frac{14}{3}=4\frac{2}{3}"/> <div>Koska <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow2-%7Df%5Cleft(x%5Cright)%5Cne%5Clim_%7Bx%5Crightarrow2%2B%7Df%5Cleft(x%5Cright)" alt="\lim_{x\rightarrow2-}f\left(x\right)\ne\lim_{x\rightarrow2+}f\left(x\right)"/>, niin raja-arvoa <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow2%7Df%5Cleft(x%5Cright)" alt="\lim_{x\rightarrow2}f\left(x\right)"/>ei ole olemassa. Siten funktion f(x) ei ole jatkuva kohdassa </div> <div> </div> <div>Huom: Polynomi- ja rationaalifunktiot ovat AINA jatkuvia määrittelyjoukossaan.</div> <div> </div> <div>Bolzanon lause:</div> <div>Funktiolla on ainakin yksi nollakota voimella välillä ]a,b[, jos </div> <div> </div> <div>- funktio f on jatkuva suljetulla välillä [a,b]</div> <div>- funktioarvot välin päätepisteissä ovay erimerkkiset</div> <div> </div> <div>t.262</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cfrac%7Bx%5E3-3x%2B1%7D%7Bx%5E3-8%7D%7B%2C%7D%5C%20x%5Cne2" alt="f\left(x\right)=\frac{x^3-3x+1}{x^3-8}{,}\ x\ne2"/> on nollakohta välillä ]0,3[</div> <div>Kohta x=2 on välillä ]0,3[ eli f(x) ei ole määritelty, eikä myöskään jatkuva koko välillä ]0,3[</div> <div> </div> <span>Tutkitaan onko funktiolla nollakohtaa jollakin osavälillä, johon ei sisälly kohta x=2</span> <div>Valitaan väliksi ]1;1,9[</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(1%5Cright)%3D%5Cfrac%7B1%5E3-3%2B1%7D%7B1%5E3-8%7D%3D%5Cfrac%7B-1%7D%7B-7%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B7%7D%3E0" alt="f\left(1\right)=\frac{1^3-3+1}{1^3-8}=\frac{-1}{-7}=\frac{1}{7}&gt;0"/><!--filtered attribute: style="max-width: 100%; max-height: 1000px; vertical-align: middle; margin: 4px; padding: 3px 10px; cursor: pointer; border: 1px solid #e6f2f8; background: #edf9ff;"--><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(1%7B%2C%7D9%5Cright)%3D%5Cfrac%7B1%7B%2C%7D9%5E3-3%5Ccdot1%7B%2C%7D9%2B1%7D%7B1%7B%2C%7D9%5E3-8%7D%3D-1%7B%2C%7D892...%5Capprox-1%7B%2C%7D89%3C0" alt="f\left(1{,}9\right)=\frac{1{,}9^3-3\cdot1{,}9+1}{1{,}9^3-8}=-1{,}892...\approx-1{,}89&lt;0"/></div> <div>f(x) on jatkuva välillä [1;1,9] ja f(1)&lt;0 ja f(1,9)&lt;0, joten Bolzanon lauseen nojalla funktiolla on ainakin yksi nollakohta välillä ]1;1,9[ ja sitten myös välillä ]0,3[.</div> <div> </div> 2018-10-02T10:54:17+03:00 https://peda.net/id/4e8255e4c24 2018-09-27T14:27:24+03:00 <span> 2.2 Toispuoliset raja-arvot </span> <div> </div> <div>Määritelmä:</div> <div> Jos funktion f arvo lähestyy lukua b, kun x lähestyy kohtaa a vasemmalta, niin b o funktion f vasemanpuoleinen raja-arvo kohdassa a.</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20a-%7Df%5Cleft(x%5Cright)%3Db" alt="\lim_{x\rightarrow a-}f\left(x\right)=b"/></div> <span>Jos funktion f arvo lähestyy lukua c, kun x lähestyy kohtaa a oikealta, niin c on funktion f oikean puoleinen raja-arvo kohdassa a. Merkitään </span> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20a%2B%7Df%5Cleft(x%5Cright)%3Dc" alt="\lim_{x\rightarrow a+}f\left(x\right)=c"/></div> <div> </div> <div>Lause: </div> <div> </div> <div>Funktiolla f on raja-arvo <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20a%7Df%5Cleft(x%5Cright)%3Db" alt="\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=b"/>jossa sekä vaseman- että oikean puoleinen raja-arvo kohdassa x=a ovat olemassa ja <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20a-%7Df%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20a%2B%7Df%5Cleft(x%5Cright)%3Db" alt="\lim_{x\rightarrow a-}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow a+}f\left(x\right)=b"/></div> <div><br/> Esim. Tutki onko funktiolla </div> <div> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cbegin%7Bcases%7D%0A-2x%5E2%2B1%26%7B%2C%7D%5C%20x%3C1%5C%5C%0A5%26%7B%2C%7D%5C%20x%3D1%5C%5C%0Ax-2%26%7B%2C%7D%5C%20x%3E1%0A%5Cend%7Bcases%7D" alt="f\left(x\right)=\begin{cases}&#10;-2x^2+1&amp;{,}\ x&lt;1\\&#10;5&amp;{,}\ x=1\\&#10;x-2&amp;{,}\ x&gt;1&#10;\end{cases}"/><!--filtered attribute: style="max-width: 100%; max-height: 1000px; vertical-align: middle; margin: 4px; padding: 3px 10px; cursor: pointer; border: 1px solid #e6f2f8; background: #edf9ff;"--></div> <span>raja-arvo kohdassa 1. Piittä kuvaaja</span> <div> </div> <div>Vasemmanpuoleinen raja-arvo on</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow1-%7D%5Cleft(-2x%5E2%2B1%5Cright)%3D-2%5Ccdot1%5E2%2B1%3D-1" alt="\lim_{x\rightarrow1-}\left(-2x^2+1\right)=-2\cdot1^2+1=-1"/></div> <div>Oikeanpuoleinen raja-arvo on </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow1%2B%7D%5Cleft(x-2%5Cright)%3D1-2%3D-1" alt="\lim_{x\rightarrow1+}\left(x-2\right)=1-2=-1"/></div> <div><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow1-%5C%20%7Df%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow1%2B%7Df%5Cleft(x%5Cright)%3D-1" alt="\lim_{x\rightarrow1-\ }f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow1+}f\left(x\right)=-1"/></div> 2018-09-27T14:27:24+03:00 https://peda.net/id/fa8cc8b8c15 2018-09-26T08:56:57+03:00 <span>2.1 Funktion raja-arvo</span> <div> </div> <div>Esim, Tutki, mitä lukua funktion <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cfrac%7B3x%5E2-6x%7D%7Bx-2%7D%7B%2C%7D%5C%20x%5Cne2" alt="f\left(x\right)=\frac{3x^2-6x}{x-2}{,}\ x\ne2"/> arvot lähestyvät, kun x lähestyy arvoa x=2</div> <div>Lasketaan f(x):n arvoja, kun lähestyy lukua 2 alapuolelta ja yläpuolelta.</div> <div> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7Cl%7D%0Ax%26f%5Cleft(x%5Cright)%5C%5C%0A%5Chline%0A1%7B%2C%7D9%265%7B%2C%7D7%5C%5C%0A1%7B%2C%7D99%265%7B%2C%7D97%5C%5C%0A1%7B%2C%7D999%265%7B%2C%7D997%5C%5C%0A2%7B%2C%7D1%266.3%5C%5C%0A2%7B%2C%7D01%266%7B%2C%7D03%5C%5C%0A2%7B%2C%7D001%266%7B%2C%7D003%0A%5Cend%7Barray%7D" alt="\begin{array}{l|l}&#10;x&amp;f\left(x\right)\\&#10;\hline&#10;1{,}9&amp;5{,}7\\&#10;1{,}99&amp;5{,}97\\&#10;1{,}999&amp;5{,}997\\&#10;2{,}1&amp;6.3\\&#10;2{,}01&amp;6{,}03\\&#10;2{,}001&amp;6{,}003&#10;\end{array}"/></div> <div>V: Funktion arvot lähestyvät lukua 6, kun x lähestyy lukua 2.</div> <div> </div> <div>Määritelmä: </div> <div> </div> <div>Funktion f raja-arvo kohdassa a on luku b, jos funktion arv lähestyy lukua b, kun x lähestyy lukua a</div> <div> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20a%7Df%5Cleft(x%5Cright)%3Db%5C%20tai%5C%20f%5Cleft(x%5Cright)%5Crightarrow%20b%7B%2C%7D%5C%20kun%5C%20x%5Crightarrow%20a" alt="\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=b\ tai\ f\left(x\right)\rightarrow b{,}\ kun\ x\rightarrow a"/></div> <div> </div> <span>Edellä siis</span> <div> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow2%7Df%5Cleft(x%5Cright)%3D6%5C%20tai%5C%20f%5Cleft(x%5Cright)%5Crightarrow6%7B%2C%7D%5C%20kun%5C%20x%5Crightarrow2" alt="\lim_{x\rightarrow2}f\left(x\right)=6\ tai\ f\left(x\right)\rightarrow6{,}\ kun\ x\rightarrow2"/></div> <div> </div> <div>Esim. Määritä raja-arvo, kun x→5</div> <div>a)</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cfrac%7B3x%2B2%7D%7Bx-2%7D%7B%2C%7D%5C%20x%5Cne2" alt="f\left(x\right)=\frac{3x+2}{x-2}{,}\ x\ne2"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow5%7D%5Cfrac%7B3x%2B2%7D%7Bx-2%7D%3D%5Cfrac%7B3%5Ccdot5%2B2%7D%7B5-2%7D%3D%5Cfrac%7B17%7D%7B3%7D" alt="\lim_{x\rightarrow5}\frac{3x+2}{x-2}=\frac{3\cdot5+2}{5-2}=\frac{17}{3}"/> <div>b)</div> <div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cfrac%7B-2x%5E2%2B10x%7D%7Bx-5%7D%5C%20x%5Cne5" alt="f\left(x\right)=\frac{-2x^2+10x}{x-5}\ x\ne5"/></div> <div>Sijoitetaan x=5 funktion lausekkeeseen</div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7B-2%5Ccdot5%5E2%2B10%5Ccdot5%7D%7B5-5%7D%3D%5Cfrac%7B0%7D%7B0%7D" alt="\frac{-2\cdot5^2+10\cdot5}{5-5}=\frac{0}{0}"/><br/> <div>Tulos tarkoittaa, että x=5 on sekä osoittajan että nimittäjän nollakohta. Sis sekä osoittaja että nimittäjällä on tekijä x-5, joten f(x):n lauseketta voi sieventää.</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow5%7D%5Cfrac%7B-2x%5E2%2B10x%7D%7Bx-5%7D%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow5%7D%5Cfrac%7B%5Cleft(x-5%5Cright)%5Cleft(-2x%5Cright)%7D%7Bx-5%7D%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow5%7D-2x%3D-2%5Ccdot5%3D-10" alt="\lim_{x\rightarrow5}\frac{-2x^2+10x}{x-5}=\lim_{x\rightarrow5}\frac{\left(x-5\right)\left(-2x\right)}{x-5}=\lim_{x\rightarrow5}-2x=-2\cdot5=-10"/></div> <div> </div> <div>c)</div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cfrac%7B3x-10%7D%7Bx-5%7D%7B%2C%7D%5C%20x%5Cne5" alt="f\left(x\right)=\frac{3x-10}{x-5}{,}\ x\ne5"/></div> <div>Sijoitetaan x=5 funktion lausekkeseen:</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7B3%5Ccdot5-10%7D%7B5-5%7D%3D%5Cfrac%7B5%7D%7B0%7D" alt="\frac{3\cdot5-10}{5-5}=\frac{5}{0}"/></div> <span>Jos sijoitus antaa muodon </span><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7Ba%7D%7B0%7D%7B%2C%7D%5C%20a%5Cne0" alt="\frac{a}{0}{,}\ a\ne0"/><span>, niin raja-a rvo ei ole olemassa.</span> <div><br/> <div> </div> </div> 2018-09-26T08:56:57+03:00 https://peda.net/id/29855abcbcc 2018-09-20T14:06:02+03:00 <div>Osamäärän merkki päätellään osoittajan ja nimittäjän perusteella seuraavasti </div> <div>Esim. Olkoon</div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cfrac%7B2x%5E2-3x-3%7D%7B2x-5%7D" alt="f\left(x\right)=\frac{2x^2-3x-3}{2x-5}"/> <div>a) Määritä nollakohdat</div> <div>b) Milloin funktio saa positiivisija arvoja</div> <div> </div> <div>Ratkaisu</div> <div>a) Määtittelyehto</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=2x-5%5Cne0%5C%20eli%5C%20x%5Cne%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D" alt="2x-5\ne0\ eli\ x\ne\frac{5}{2}"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D0" alt="f\left(x\right)=0"/><br/> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7B2x%5E2-3x-3%7D%7B2x-5%7D%3D0" alt="\frac{2x^2-3x-3}{2x-5}=0"/>kun osoittaja on nolla.</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=2x%5E2-3x-3%3D0" alt="2x^2-3x-3=0"/></div> <br/> <div>Molemmat ratkaisut toeteuttavat määrittelyehdon.</div> <div>b) Milloin </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3E0" alt="f\left(x\right)&gt;0"/><!--filtered attribute: style="max-width: 100%; max-height: 1000px; vertical-align: middle; margin: 4px; padding: 3px 10px; cursor: pointer; border: 1px solid #e6f2f8; background: #edf9ff;"--></div> <span>Tehdään merkkikaavio</span> <div> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3E0%7B%2C%7D%5C%20kun%5C%20%5Cfrac%7B-%5Csqrt%5B%5D%7B33%7D-3%7D%7B4%7D%3Cx%3C%5Cfrac%7B%5Csqrt%5B%5D%7B33%7D%2B3%7D%7B4%7D%5C%20ja%5C%20x%3E%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D" alt="f\left(x\right)&gt;0{,}\ kun\ \frac{-\sqrt[]{33}-3}{4}&lt;x&lt;\frac{\sqrt[]{33}+3}{4}\ ja\ x&gt;\frac{5}{2}"/><!--filtered attribute: style="max-width: 100%; max-height: 1000px; vertical-align: middle; margin: 4px; padding: 3px 10px; cursor: pointer; border: 1px solid #e6f2f8; background: #edf9ff;"--></div> <span>Esim. Ratkaise</span> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7B3x%5E2-2x%7D%7B3x-2%7D%5Cle6%7B%2C%7D%5C%20x%5Cne%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D" alt="\frac{3x^2-2x}{3x-2}\le6{,}\ x\ne\frac{2}{3}"/></div> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7B3x%5E2-2x%7D%7B3x-2%7D-6%5Cle0" alt="\frac{3x^2-2x}{3x-2}-6\le0"/> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7B3x%5E2-2x%7D%7B3x-2%7D-%5E%7B%5Cleft(3x-2%5Cright)%7D6%5Cle0" alt="\frac{3x^2-2x}{3x-2}-^{\left(3x-2\right)}6\le0"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7B3x%5E2-2x%7D%7B3x-2%7D-%5Cfrac%7B%5E%7B6%5Ctext%7B)%7D%7D%5Cleft(3x-2%5Cright)%7D%7B3x-2%7D%5Cle0" alt="\frac{3x^2-2x}{3x-2}-\frac{^{6\text{)}}\left(3x-2\right)}{3x-2}\le0"/></div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7B3x%5E2-3x%7D%7B3x-2%7D-%5Cfrac%7B18x-12%7D%7B3x-2%7D%5Cle0" alt="\frac{3x^2-3x}{3x-2}-\frac{18x-12}{3x-2}\le0"/></div> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7B3x%5E2-20x%2B12%7D%7B3x-2%7D%5Cle0" alt="\frac{3x^2-20x+12}{3x-2}\le0"/> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=3x%5E2-20x%2B12%3D0" alt="3x^2-20x+12=0"/></div> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5C%20" alt="x=\frac{2}{3}\ "/><span>tai</span><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D6" alt="x=6"/><br/> <div>Hylätään x=2/3, koska se ei toteuta määrittelyehtoa</div> <div>Merkkikaavio</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7Cl%7D%0A%26%26%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%26%266%26%5C%5C%0A%5Chline%0A3x%5E2-20x%2B12%26%2B%26%26-%26%26%2B%5C%5C%0A3x-2%26-%26%26%2B%26%26%2B%5C%5C%0A%5Cfrac%7B3x%5E2-20x%2B12%7D%7B3x-2%7D%26-%26%26-%26%26%2B%0A%5Cend%7Barray%7D" alt="\begin{array}{l|l}&#10;&amp;&amp;\frac{2}{3}&amp;&amp;6&amp;\\&#10;\hline&#10;3x^2-20x+12&amp;+&amp;&amp;-&amp;&amp;+\\&#10;3x-2&amp;-&amp;&amp;+&amp;&amp;+\\&#10;\frac{3x^2-20x+12}{3x-2}&amp;-&amp;&amp;-&amp;&amp;+&#10;\end{array}"/></div> <div>V:</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5Cle6%7B%2C%7D%5C%20x%5Cne%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D" alt="x\le6{,}\ x\ne\frac{2}{3}"/></div> 2018-09-20T14:06:02+03:00