Teoriahttps://peda.net/id/1f1d5fcc3f32019-03-05T13:37:56+02:00https://peda.net/:static/535/peda.net.logo.bg.svg<div class="license">Tämän sivun lisenssi <a rel="license" href="https://peda.net/info">Peda.net-yleislisenssi</a></div>
4.2https://peda.net/id/8730a5445532019-04-02T13:31:51+03:00<div>4.2 Määrätty integraalin arvioiminen</div>
<div>Määrätty integraali merkitään <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cint_a%5Ebf%5Cleft(x%5Cright)dx" alt="\int_a^bf\left(x\right)dx"/></div>
<div>- Jos <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%5Cge0" alt="f\left(x\right)\ge0"/>, niin <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cint_a%5Ebf%5Cleft(x%5Cright)dx" alt="\int_a^bf\left(x\right)dx"/>on funktion kuvaajan ja x-akselin väliin jäävä pinta-ala</div>
<div> </div>
<div>- Jos <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3C0" alt="f\left(x\right)<0"/>, niin <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=A%3D-%5Cint_a%5Ebf%5Cleft(x%5Cright)dx" alt="A=-\int_a^bf\left(x\right)dx"/></div>
<div> </div>
421
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(0%5Cright)%3D-5%7B%2C%7D%5C%20f%5Cleft(2%5Cright)%3D-9%7B%2C%7D%5C%20f%5Cleft(4%5Cright)%3D-5" alt="f\left(0\right)=-5{,}\ f\left(2\right)=-9{,}\ f\left(4\right)=-5"/></div>
a) Kuvaaja on x.akselin alapuolella, joten suorakulmioiden korkeudet ovat funktion arvojen vastalukuja. Suorakulmioiden leveys on 2.
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=A%5Capprox2%5Cleft(-f%5Cleft(0%5Cright)-f%5Cleft(2%5Cright)-f%5Cleft(4%5Cright)%5Cright)%3D2%5Cleft(5%2B9%2B5%5Cright)%3D38" alt="A\approx2\left(-f\left(0\right)-f\left(2\right)-f\left(4\right)\right)=2\left(5+9+5\right)=38"/></div>
<div>b) Määrätty integraali on negatiivinen, koska kuvaaja on x-akselin alapuolella.</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cint_%7B-1%7D%5E5x%5Cleft(dx%5Cright)%5Capprox-A%3D-38" alt="\int_{-1}^5x\left(dx\right)\approx-A=-38"/></div>
<div> </div>
<div>423</div>
<div>a)</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cint_0%5E2f%5Cleft(x%5Cright)dx%3D-A2%3D-2" alt="\int_0^2f\left(x\right)dx=-A2=-2"/></div>
<div>b)</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cint_%7B-2%7D%5E3f%5Cleft(x%5Cright)dx%3DA1-A2%2BA3%3D4%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D-2%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%3D2%5Cfrac%7B5%7D%7B6%7D" alt="\int_{-2}^3f\left(x\right)dx=A1-A2+A3=4\frac{1}{3}-2+\frac{1}{2}=2\frac{5}{6}"/></div>
<div>c)</div>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cint_%7B-2%7D%5E3%5Cleft%7Cf%5Cleft(x%5Cright)%5Cright%7Cdx%3DA1%2BA2%2BA3%3D6%5Cfrac%7B5%7D%7B6%7D" alt="\int_{-2}^3\left|f\left(x\right)\right|dx=A1+A2+A3=6\frac{5}{6}"/>
<div> </div>
<div><br/>
<br/>
<br/>
<div><span> </span><br/>
<br/>
</div>
</div>
2019-04-02T13:31:51+03:004.1https://peda.net/id/a1099d685532019-04-02T13:32:35+03:00<div>4.1 Ala- ja yläsumma sekä keskipistesääntö</div>
<div>Esim. Arvioi funktion <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D-x%5E2%2B8x-7" alt="f\left(x\right)=-x^2+8x-7"/> kuvaajan ja x.akselin rajaaman alueen pinta-alaa ala- ja yläsummien avulla, kun osavälejä on 3, 20, 50, 500, 2000, 10000 ja 30000 kpl.</div>
<div>Lasketaan kuvaajan ja x.akselin leikkauskohdat.</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=-x%5E2%2B8x-7%3D0" alt="-x^2+8x-7=0"/></div>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D1%5C%20tai%5C%20x%3D7%5C%20%5Cleft(laskin%5Cright)" alt="x=1\ tai\ x=7\ \left(laskin\right)"/><br/>
<div>Lasketaan ala- ja yläsummia taulukkolaskentaohjelman komennoilla.</div>
<br/>
Keskipistesääntö:<br/>
Olkoon jatkuva funktio <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%5Cge0" alt="f\left(x\right)\ge0"/> välillä [a,b]. Kun jakovälejä on n kpl, on yhden jakovälin pituus<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=h%3D%5Cfrac%7Bb-a%7D%7Bn%7D" alt="h=\frac{b-a}{n}"/>
<div>Yksittäisen suorakulmion korkeus funktion arvo jakovälin keskipisteessä.</div>
<div>Merkitään keskipisteiltä <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x_1%7B%2C%7D%5C%20x_2%7B%2C%7D%5C%20x_3%7B%2C%7D...%7B%2C%7D%5C%20x_n" alt="x_1{,}\ x_2{,}\ x_3{,}...{,}\ x_n"/></div>
<div>Välillä [a,b] funktion kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-ala on </div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=A%5Capprox%20hf%5Cleft(x_1%5Cright)%2Bhf%5Cleft(x_2%5Cright)%2B...%2Bhf%5Cleft(x_n%5Cright)%3Dh%5Cleft(f%5Cleft(x_1%5Cright)%2Bf%5Cleft(x_2%5Cright)%2B...%2Bf%5Cleft(x_n%5Cright)%5Cright)" alt="A\approx hf\left(x_1\right)+hf\left(x_2\right)+...+hf\left(x_n\right)=h\left(f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)+...+f\left(x_n\right)\right)"/></div>
<div> </div>
<div>405. </div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D-x%5E2%2B8x-7" alt="f\left(x\right)=-x^2+8x-7"/></div>
<div>Lasketaan kuvaajan ja x-akselin leikkauskodat.</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=-x%5E2%2B8x-7%3D0" alt="-x^2+8x-7=0"/></div>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D1%5C%20tai%5C%20x%3D7%5C%20%5Cleft(laskin%5Cright)" alt="x=1\ tai\ x=7\ \left(laskin\right)"/><br/>
<div>Suorakulmioita on 3 kpl eli n=3</div>
<div>Yhden osavälin pituus eli suorakulmion leveys on</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=h%3D%5Cfrac%7B7-1%7D%7B3%7D%3D%5Cfrac%7B6%7D%7B3%7D%3D2" alt="h=\frac{7-1}{3}=\frac{6}{3}=2"/></div>
Osavälit ovat [1,3] [3,5] [5,7].
<div>Osavälien keskipisteet ovat</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7B1%2B3%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B4%7D%7B2%7D%3D2" alt="\frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2"/></div>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7B3%2B5%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B8%7D%7B2%7D%3D4" alt="\frac{3+5}{2}=\frac{8}{2}=4"/><br/>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7B5%2B7%7D%7B2%7D%3D6" alt="\frac{5+7}{2}=6"/></div>
<div>Suorakulmion korkeudet ovat fubktiob arvot välien keskpisteissä eli </div>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(2%5Cright)%7B%2C%7D%5C%20f%5Cleft(4%5Cright)%5C%20ja%5C%20f%5Cleft(6%5Cright)" alt="f\left(2\right){,}\ f\left(4\right)\ ja\ f\left(6\right)"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=A%5Capprox2f%5Cleft(2%5Cright)%2B2f%5Cleft(4%5Cright)%2B2f%5Cleft(6%5Cright)%3D38" alt="A\approx2f\left(2\right)+2f\left(4\right)+2f\left(6\right)=38"/>2019-04-02T13:32:34+03:002.1 Haarukointi ja ratkaisujen lukumäärähttps://peda.net/id/efff12e84712019-03-15T14:07:43+02:00<div>Bolzanon lause</div>
<div>Jos funktio f on jatkuva suljetulal välillä [a, b] ja välin päätepistearvot f(a) ja f(b) ovat erimerkkiset, niin funktiolla f on ainakin yksi nollakohta välillä ]a,b[.</div>
<div> </div>
<div>221.</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3De%5E%7B2x%7D-2x-2" alt="f\left(x\right)=e^{2x}-2x-2"/></div>
<span>Tutkitaan funktion f kulkua derivaatan avulla</span><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%27%5Cleft(x%5Cright)%3D2e%5E%7B2x%7D-2" alt="f'\left(x\right)=2e^{2x}-2"/>
<div>Ratkaistaan derivaatan nollakohdat</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=2e%5E%7B2x%7D-2%3D0%7B%2C%7D%5C%20kun%5C%20x%3D0%5Cleft(laskin%5Cright)" alt="2e^{2x}-2=0{,}\ kun\ x=0\left(laskin\right)"/></div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%27%5Cleft(1%5Cright)%5Capprox" alt="f'\left(1\right)\approx"/></div>
<br/>
<span>Kulkukaavio</span>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7Cl%7D%0A%26%260%26%5C%5C%0A%5Chline%0Af%27%5Cleft(x%5Cright)%26-%26%26%2B%5C%5C%0Af%5Cleft(x%5Cright)%26%5Csearrow%26%26%5Cnearrow%5C%5C%0A%26%26%5Cmin%26%0A%5Cend%7Barray%7D" alt="\begin{array}{l|l} &&0&\\ \hline f'\left(x\right)&-&&+\\ f\left(x\right)&\searrow&&\nearrow\\ &&\min& \end{array}"/></div>
<span>Kun x<0, funktio on vähenevä. Täälöin funktiolla voi olla korkeintaan yksi nollakohta.</span>
<div><br/>
<div>Kun x>0, funktio on kasvava. Tällöin funktiolla voi olla korkeintaan yksi nollakohta.</div>
<div> </div>
<div>Funktiolla voi olla korkeintaan kaksi nollakohtaa.</div>
<div> </div>
<div>Funktion kuvaaja perusteella nollakohdat ovat väleillä [-1,0] ja [0,1].</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(-1%5Cright)%5Capprox0%7B%2C%7D14%3E0" alt="f\left(-1\right)\approx0{,}14>0"/><!--filtered attribute: style="max-width: 100%; max-height: 1000px; vertical-align: middle; margin: 4px; padding: 3px 10px; cursor: pointer; border: 1px solid #e6f2f8; background: #edf9ff;"--></div>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(0%5Cright)%3D-1%3C0" alt="f\left(0\right)=-1<0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(1%5Cright)%5Capprox3%7B%2C%7D39%3E0" alt="f\left(1\right)\approx3{,}39>0"/><!--filtered attribute: style="max-width: 100%; max-height: 1000px; vertical-align: middle; margin: 4px; padding: 3px 10px; cursor: pointer; border: 1px solid #e6f2f8; background: #edf9ff;"--><br/>
<div>Funktio f on jatkuva, joten sillä on Bolzanon lauseen mukaan ainakin yksi nollakohta välillä ]-1,0[ ja välillä ]0,1[. Siten funktiolla on ainakin kaksi nollakohtaa.</div>
</div>
<div> </div>
<div>Funktiolla f on korkeintaan 2 nollakohtaa ja ainakin 2 nollakohtaa, joten sillä on täsmälleen 2 nollakohtaa</div>
<div> </div>
<div>Selvitetään välillä [-1,0] oleva nollakohta haarukoimalla.</div>
<div> </div>
<div>Kaikki luvut väliltä ]-0,925;-0,92[ pyöristyvät kahden desimaalin tarkkuudella arvoon -0,92 eli tämä on kysytty nollakohta.</div>
<div>Selvitetään välillä ]0,1[ oleva nollakohta puolitusmenetelmällä.</div>
<div>Kysytty nollakohta on 0,57.</div>
<div>V: Kaksi nollakohtaa<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5Capprox0%7B%2C%7D92%5C%20ja%5C%20x%5Capprox0%7B%2C%7D57" alt="x\approx0{,}92\ ja\ x\approx0{,}57"/></div>
2019-03-15T14:07:43+02:001.4 Polynomi yhtälön ratkaiseminenhttps://peda.net/id/f55c04d644b2019-03-12T13:50:13+02:00<span>Kompleksiluvut ℂ</span>
<div> </div>
<div>Määritelmä</div>
<div>* Imaginaariyksikkö i on luku, jolle i²=-1</div>
<div>* Kompleksiluvut ovat muotoa a+bi, a,b∈ℝ</div>
<div> </div>
<div>Esim. Ratkaise yhtälö kompleksilukujen joukossa</div>
<div> </div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E2%2Bx%2B1%3D0" alt="x^2+x+1=0"/></div>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D%5Cfrac%7B-1%5Cpm%5Csqrt%5B%5D%7B1%5E2-4%5Ccdot1%5Ccdot1%7D%7D%7B2%5Ccdot1%7D%3D%5Cfrac%7B-1%5Cpm%5Csqrt%5B%5D%7B-3%7D%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B-1%5Cpm%5Csqrt%5B%5D%7B-1%5Ccdot3%7D%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B-1%5Cpm%5Csqrt%5B%5D%7B-1%7D%5Ccdot%5Csqrt%5B%5D%7B3%7D%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B-1%5Cpm%5Csqrt%5B%5D%7Bi%5E2%7D%5Csqrt%5B%5D%7B3%7D%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B-1%5Cpm%20i%5Csqrt%5B%5D%7B3%7D%7D%7B2%7D" alt="x=\frac{-1\pm\sqrt[]{1^2-4\cdot1\cdot1}}{2\cdot1}=\frac{-1\pm\sqrt[]{-3}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt[]{-1\cdot3}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt[]{-1}\cdot\sqrt[]{3}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt[]{i^2}\sqrt[]{3}}{2}=\frac{-1\pm i\sqrt[]{3}}{2}"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D-%5Cfrac%7B%5Csqrt%5B%5D%7B3%7D%7D%7B2%7Di" alt="x=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt[]{3}}{2}i"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=tai" alt="tai"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B%5Csqrt%5B%5D%7B3%7D%7D%7B2%7Di" alt="x=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt[]{3}}{2}i"/><br/>
<div> </div>
<div>Lasue </div>
<div>n. asteisella polynomilla <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=P%5Cleft(x%5Cright)%3Da_xx%5En%2Ba_%7Bn-1%7Dx%5E%7Bn-1%7D%2B...a_2x%5E2%2Ba_1x%2Ba_0" alt="P\left(x\right)=a_xx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...a_2x^2+a_1x+a_0"/><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=a_n%5Cne0" alt="a_n\ne0"/> on täsmälleen n nollakohtaa </div>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x_1%7B%2C%7D%5C%20x_2%7B%2C%7D%5C%20...%5C%20%7B%2C%7Dx_n%5C%20%5C%20" alt="x_1{,}\ x_2{,}\ ...\ {,}x_n\ \ "/><span>eli yhtälöllä </span><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=P%5Cleft(x%5Cright)%3D0" alt="P\left(x\right)=0"/><span>on nratkaisua, kun huomioidaan monikertaisest ja kompleksiset ratkaisut. Tällöin</span><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=P%5Cleft(x%5Cright)%3Da_n%5Cleft(x-x_1%5Cright)%5Cleft(x-x_2%5Cright)...%5Cleft(x-x_n%5Cright)" alt="P\left(x\right)=a_n\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)...\left(x-x_n\right)"/>
<div> </div>
<div>Esim. Jaa polynomi <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=P%5Cleft(x%5Cright)%3D2x%5E5-2x%5E4-x%5E3-3x%5E2-6x" alt="P\left(x\right)=2x^5-2x^4-x^3-3x^2-6x"/>tekijöihin. Huomioi myös imaginaariset ratkaisut</div>
<div>Edell' saatiin nolla kohdat</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D0%7B%2C%7D%5C%20x%3D-1%5C%20ja%5C%20x%3D2" alt="x=0{,}\ x=-1\ ja\ x=2"/></div>
<div>Ratkaistaan yhtälö <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=2x%5E3%2B3%3D0" alt="2x^3+3=0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E2%3D-%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%3D-1%5Ccdot%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D" alt="x^2=-\frac{3}{2}=-1\cdot\frac{3}{2}"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D%5Cpm%5Csqrt%5B%5D%7B-1%5Ccdot%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D" alt="x=\pm\sqrt[]{-1\cdot\frac{3}{2}}"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3D%5Cpm%5Csqrt%5B%5D%7B-1%7D%5Csqrt%5B%5D%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D" alt="=\pm\sqrt[]{-1}\sqrt[]{\frac{3}{2}}"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3D%5Cpm%5Csqrt%5B%5D%7Bi%5E2%7D%5Csqrt%5B%5D%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D%3D%5Cpm%20i%5Csqrt%5B%5D%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D" alt="=\pm\sqrt[]{i^2}\sqrt[]{\frac{3}{2}}=\pm i\sqrt[]{\frac{3}{2}}"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=P%5Cleft(x%5Cright)%3D2%5Cleft(x-0%5Cright)%5Cleft(x-1%5Cright)%5Cleft(x-2%5Cright)%5Cleft(x-i%5Csqrt%5B%5D%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D%5Cright)%5Cleft(x%2Bi%5Csqrt%5B%5D%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D%5Cright)" alt="P\left(x\right)=2\left(x-0\right)\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-i\sqrt[]{\frac{3}{2}}\right)\left(x+i\sqrt[]{\frac{3}{2}}\right)"/><br/>
<div> </div>
</div>
2019-03-12T13:14:09+02:001.2 Polymien jaollisuushttps://peda.net/id/a091e0b44192019-03-08T13:16:32+02:00Lause<br/>
<br/>
Kun polynomi P(x) jaetaan polynomilla Q(x), joka ei ole nollapolynomi, on olemassa yksikäsitteiset osamäärän polumomiosa S(x) ja jakojäännös R(x), joilla <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=P%5Cleft(x%5Cright)%3DQ%5Cleft(x%5Cright)%5Ccdot%20S%5Cleft(x%5Cright)%2BR%5Cleft(x%5Cright)" alt="P\left(x\right)=Q\left(x\right)\cdot S\left(x\right)+R\left(x\right)"/><br/>
<br/>
Määritelmä <br/>
Polynomi P(x) on jaolinen polyomilla Q(x), jos P(x)=Q(x)*S(x) jollain polynomilla S(x). Tällöin sanotaan myös, että Q(x) on polynomin P(x) tekijä. <br/>
<br/>
<br/>
2019-03-08T13:16:32+02:001.1 Algoritmihttps://peda.net/id/36aa49203f32019-03-05T13:38:36+02:00<div>Algoritmi on yksityiskohtainen kuvaus tai ohje, jolla annettu tehtävä voidaan suorittaa</div>
<div> </div>
<div>
<div>103.</div>
<div>a)</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7Cl%7D%0A%26%5C%20%5C%2046%5C%5C%0A%5Chline%0A7%26322%5C%5C%0A-%2628%5C%5C%0A%26---%5C%5C%0A%26%5C%20%5C%2042%5C%5C%0A-%26%5C%20%5C%2042%5C%5C%0A%26---%5C%5C%0A%26%5C%20%5C%20%5C%20%5C%200%0A%5Cend%7Barray%7D" alt="\begin{array}{l|l} &\ \ 46\\ \hline 7&322\\ -&28\\ &---\\ &\ \ 42\\ -&\ \ 42\\ &---\\ &\ \ \ \ 0 \end{array}"/></div>
<div>b)</div>
<div>Jakoalgoritmissa toistetaan vaiheita</div>
<div>- Jaa</div>
<div>- Kerro</div>
<div>- Vähennä</div>
<div>- Pudota</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7Cl%7D%0A%261433%5C%5C%0A%5Chline%0A4%265734%5C%5C%0A-%264%5C%5C%0A%26---%5C%5C%0A%2617%5C%5C%0A-%2616%5C%5C%0A%26---%5C%5C%0A%2613%5C%5C%0A-%2612%5C%5C%0A%26---%5C%5C%0A%2614%5C%5C%0A-%2612%5C%5C%0A%26---%5C%5C%0A%26%5C%20%5C%202%0A%5Cend%7Barray%7D" alt="\begin{array}{l|l} &1433\\ \hline 4&5734\\ -&4\\ &---\\ &17\\ -&16\\ &---\\ &13\\ -&12\\ &---\\ &14\\ -&12\\ &---\\ &\ \ 2 \end{array}"/></div>
<div>c)</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7Cl%7D%0A%26%5C%20%5C%20106%5C%5C%0A%5Chline%0A59%266254%5C%5C%0A-%2659%5C%5C%0A%26---%5C%5C%0A%26%5C%20%5C%20354%5C%5C%0A-%26%5C%20%5C%20354%5C%5C%0A%26---%5C%5C%0A%26%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%200%0A%5Cend%7Barray%7D" alt="\begin{array}{l|l} &\ \ 106\\ \hline 59&6254\\ -&59\\ &---\\ &\ \ 354\\ -&\ \ 354\\ &---\\ &\ \ \ \ \ \ 0 \end{array}"/></div>
</div>
<br/>
<div> </div>
<div>104.</div>
<div>a)</div>
<div>1) Olkoon p=41. Nyt<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=134-p%3D134-41%3D93" alt="134-p=134-41=93"/></div>
<div>
<div>2) 93>p, joten<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=93-p%3D93-41%3D52" alt="93-p=93-41=52"/></div>
</div>
<div>3)<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=52-p%3D52-41%3D11" alt="52-p=52-41=11"/>, 11<p</div>
<div>4) Viimeisen vähennyslaskun tulos on 11</div>
<div> </div>
<div>b) Algoritmilla saadaan selville jakojäännös, kun isompi luvuista jaetaan pienemmällä.</div>
<div>c) Algoritmi on ihmisen toteuttamana todella työläs, jos toinen luku on paljon suurempi kuin toinen.</div>
<div>Algoritmin ei myöskään kerro, mitä pitää tehdä, jos annetut luvut ovat yhtä suuret tai pienempi luku on nolla. </div>
<div> </div>
2019-03-05T13:38:36+02:00