MAB8 Matemaattinen analyysi (2op)

2020-05-15T14:10:28+03:00

Tavoitteet 
Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija 

tutkii funktion muutosnopeutta graafisin ja numeerisin menetelmin 
ymmärtää derivaatan tulkinnan funktion muutosnopeutena 
osaa tutkia polynomifunktion kulkua derivaatan avulla 
osaa määrittää sovellusten yhteydessä polynomifunktion suurimman ja pienimmän arvon 
osaa käyttää ohjelmistoja funktion kulun tutkimisessa sekä funktion derivaatan ja suljetun välin ääriarvojen määrittämisessä sovellusten yhteydessä.

Keskeiset sisällöt 

graafisia ja numeerisia menetelmiä  
polynomifunktion derivaatta 
polynomifunktion merkin ja kulun tutkiminen

polynomifunktion suurimman ja pienimmän arvon määrittäminen suljetulla välillä 
funktion muutosnopeuden määrittäminen ohjelmistojen avulla

Tarkennuksia sisältöihin

Funktion muutosnopeus. Keskimääräinen ja hetkellinen muutosnopeus: polynomifunktion kuvaajalle piirretyn sekantin ja tangentin kulmakertoimen laskeminen kahden pisteen avulla likimääräisesti kuvaajasta. Keskimääräisen muutosnopeuden laskeminen lausekkeen avulla. Ei kasvua, vakiokasvu, kiihtyvä tai hidastuvakasvu. Funktion kasvavuuden ja vähenevyyden havainnointi kuvaajasta.
Derivaatta. Havainnollisesti esiteltynä ilman täsmällistä määritelmää; derivaatan yhteys muutosnopeuteen ja tangenttiin. Polynomifunktion derivointi ja derivaatan arvon laskeminen. Käytännön maksimointi- ja minimointiongelmia mm. geometrian ja talouden aloilta.

Ohjelmistotaidot

Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija

oppii piirtämään funktion kuvaajalle sekantin ja määrittämään funktion keskimääräisen muutosnopeuden
oppii piirtämään funktion kuvaajalle tangentin ja määrittämään funktion muutosnopeuden (graafinen derivointi) sekä havainnoimaan funktion kasvavuutta graafisesti (kuvaajalle piirretyn tangentin avulla)
harjaantuu sujuvaan lausekkeiden käsittelyyn (sieventämiseen ja arvon laskemiseen)
osaa derivoida funktion ja laskea derivaatan arvon sekä ratkaista nollakohdat symbolisesti
osaa selvittää derivaattafunktion merkin kuvaajan perusteella (polynomifunktion merkki voi vaihtua vain nollakohdassa)

Laaja-alainen osaaminen

Vuorovaikutusosaaminen: Opetustilanteissa rakennetaan positiivinen, avoin ja kannustava ilmapiiri tukemaan jokaista opiskelijaa ja auttamaan heitä saavuttamaan omia tavoitteita. Opiskelijoita kannustetaan myös tehtävätyyppien ja tehtävänantojen avulla keskusteluun keskenään, omien ratkaisumenetelmien esittämiseen ja oman ajattelun sanoittamiseen sekä yhteistyöhön, yhdessä tutkimiseen ja oppimiseen.
Monitieteinen ja luova osaaminen: Opintojen aikana tutustutaan erilaisiin tiedonhankinnan ja -esittämisen tapoihin digiajassa, ja matematiikan kannalta olennaisten monilukutaidon osa-alueiden (sanallinen, numeerinen, symbolinen, kuvallinen) hallintaa syvennetään tavoitteellisesti. Samalla opiskelija oppii arvioimaan matemaattisesti esitetyn tiedon luotettavuutta ja sovellusaloja.

Ehdotuksia soveltuvista työskentelytavoista

Opintojaksossa käytetään monipuolisia ja vaihtelevia työtapoja, joissa opiskelijat työskentelevät yksin ja yhdessä. Tällä vahvistetaan muun muassa vuorovaikutusosaamista. Työtapoina voidaan käyttää esimerkiksi ryhmätöitä, parityöskentelyä ja laborointityötä.

Opintojakson arviointi

Opintojaksolla toteutetaan monipuolisesti sekä formatiivista että summatiivista arviointia, painottaen opintojakson keskeisiä tavoitteita ja sisältöjä. Formatiivinen arviointi on lähinnä opiskelijaa opinnoissa eteenpäin, tavoitteiden saavuttamista kohti auttavaa, ei dokumentoitavaa palautetta. Opintojaksolla rohkaistaan opiskelijoita myös itse- ja vertaisarvioinnin pariin. Summatiivinen arviointi koostuu esimerkiksi opiskelijan tuotoksista ja/tai tavoitteiden mukaista osaamista mittaavista kokeista saaduista arvosanoista.

Arvioinnissa kiinnitetään huomiota laskutaitoon, menetelmien valintaan, matemaattisen ajattelun ja ongelmanratkaisun taitoihin, päätelmien perustelemiseen ja analysoimiseen, tuntiaktiivisuuteen sekä ohjelmistojen valintaan ja käyttöön.

Arviointiasteikko on numeroarviointi (4-10).

MAB9 Tilastolliset ja todennäköisyysjakaumat (2 op)

2020-12-01T18:00:02+02:00

Tavoitteet  
Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija 

tutustuu normaalijakaumaan matemaattisena mallina 
tutustuu binomijakaumaan matemaattisena mallina 
vahvistaa ja monipuolistaa tilastojen käsittely- ja tutkimustaitojaan ohjelmistojen avulla 
tietää, kuinka lasketaan tilastollisiin jakaumiin liittyviä tunnuslukuja ja todennäköisyyksiä, ja osaa määrittää ne ohjelmistojen avulla  
ymmärtää luottamusvälin ja virhemarginaalin käsitteen ja osaa määrittää ne ohjelmistojen avulla.

Keskeiset sisällöt  

normaalijakauma ja jakauman normittamisen käsitteet (odotusarvo ja keskihajonta) 
toistokoe 
binomijakauma 
luottamusvälin ja virhemarginaalin käsite

Tarkennuksia sisältöihin 

Opintojaksolla vahvistetaan MAB5-opintojakson sisältöjen hallintaa: todennäköisyyslaskennan periaatteita (erityisesti todennäköisyyden laskusäännöt binomitodennäköisyyden yhteydessä) sekä tilastojen käsittelytaitoja. Opintojaksossa voidaan keskittyä MAB5-opintojakson sisältöjen vahvistamiseen ja täydentämiseen tai painottaa keskeisiä uusia malleja. Opintojakson sisältöjä voi olla luontevaa yhdistää esimerkiksi psykologiaan (tilastollisen tutkimuksen periaatteet). Opintojakso voidaan toteuttaa esimerkiksi tutkimus- ja projektitöiden muodossa.
Binomijakauma. Toistokoe ja binomitodennäköisyyden laskukaavan tunteminen. Binomijakauma, odotusarvo ja keskihajonta. Kertymätodennäköisyys.
Normaalijakauma. Jakauman perusominaisuuksien (mm. symmetria) tunteminen ja normaalijakauma-mallin käyttö sovelluksissa. Kertymätodennäköisyys ja kertymäfunktio. Normittaminen ja kahden normaalijakauman vertailu. Normitettu normaalijakauma ja luottamusvälin käsite, kriittiset arvot. Binomijakauman yhteys normaalijakaumaan esimerkinomaisesti tarkastellen.
Tilastollinen päättely. Käsitellään tiedotusvälineissä esille tulevaa ajankohtaista tilastollista informaatiota. Perusjoukko, jonka tunnuslukuja (keskiarvoa ja suhteellista osuutta) arvioidaan otoksesta laskettujen tunnuslukujen avulla muodostamalla luottamusväli. Keskiarvon keskivirheen laskeminen. Luottamustaso ja sen vaikutus luottamusväliin. Virhemarginaali. Luottamusvälin muodostamisen perusperiaate: on tunnettava otoskoko, otoskeskiarvo ja otoskeskihajonta tai suhteellinen osuus otoksessa, luottamustaso ja siihen liittyvä kriittinen arvo. Teoreettiset perustelut luottamusvälin muodostamiselle (otoksen keskiarvo ja prosenttiosuus ovat likimain normaalijakautuneita) voidaan sivuuttaa. Tilastollinen testaus ei kuulu opintojakson keskeisiin sisältöihin.

Ohjelmistotaidot
Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija

vahvistaa opintojaksossa MAB5 hankkimiaan tilastojen käsittelyyn ja kuvaamiseen liittyviä taitojaan: tunnuslukujen laskemista ja todennäköisyyksien määrittämistä
osaa laskea kombinaatioita (binomitodennäköisyys)
oppii esittämään binomijakauman graafisesti sekä määrittämään jakauman tunnusluvut (odotusarvon ja keskihajonnan)
oppii piirtämään normaalijakauma-kuvaajia
oppii määrittämään binomijakaumaan ja normaalijakaumaan liittyviä todennäköisyyksiä sekä ratkaisemaan käänteisen tilanteen
oppii ratkaisemaan normaalijakauman tuntemattoman odotusarvon tai keskihajonnan symbolisesti tilanteissa, jotka eivät edellytä jakauman normittamista
tuntee luottamusvälin määrittämisessä tarvittavat suureet ja osaa määrittää ne sekä luottamusvälin.

Laaja-alainen osaaminen

Monitieteinen ja luova osaaminen: Opintojen aikana tutustutaan erilaisiin tiedonhankinnan ja -esittämisen tapoihin digiajassa, ja matematiikan kannalta olennaisten monilukutaidon osa-alueiden (sanallinen, numeerinen, symbolinen, kuvallinen) hallintaa syvennetään tavoitteellisesti. Samalla opiskelija oppii arvioimaan matemaattisesti esitetyn tiedon luotettavuutta ja sovellusaloja.
Yhteiskunnallinen osaaminen: Opetus tukee opiskelijan yritteliäisyyttä ja yrittäjämäistä toimintaa sekä opettaa työn loppuunsaattamisen merkityksen. Opiskeluun luodaan ”yrittäjämäinen” ilmapiiri, joka antaa vapauksia mutta kannustaa vastuunottoon.
Vuorovaikutusosaaminen: Opetustilanteissa rakennetaan positiivinen, avoin ja kannustava ilmapiiri tukemaan jokaista opiskelijaa ja auttamaan heitä saavuttamaan omia tavoitteita. Opiskelijoita kannustetaan myös tehtävätyyppien ja tehtävänantojen avulla keskusteluun keskenään, omien ratkaisumenetelmien esittämiseen ja oman ajattelun sanoittamiseen sekä yhteistyöhön, yhdessä tutkimiseen ja oppimiseen.
Eettisyys ja ympäristöosaaminen: Opetustilanteissa pohditaan, kuinka matematiikan taitoja voidaan hyödyntää kestävään kehitykseen ja ihmiskuntaan liittyvien ongelmien ratkaisussa.

Ehdotuksia soveltuvista työskentelytavoista

Opintojakson arviointi

Opintojaksolla toteutetaan monipuolisesti sekä formatiivista että summatiivista arviointia, painottaen opintojakson keskeisiä tavoitteita ja sisältöjä. Formatiivinen arviointi on lähinnä opiskelijaa opinnoissa eteenpäin, tavoitteiden saavuttamista kohti auttavaa, ei dokumentoitavaa palautetta. Opintojaksolla rohkaistaan opiskelijoita myös itse- ja vertaisarvioinnin pariin. Summatiivinen arviointi koostuu esimerkiksi opiskelijan tuotoksista ja/tai tavoitteiden mukaista osaamista mittaavista kokeista saaduista arvosanoista.

Arvioinnissa kiinnitetään huomiota laskutaitoon, menetelmien valintaan, matemaattisen ajattelun ja ongelmanratkaisun taitoihin, päätelmien perustelemiseen ja analysoimiseen, tuntiaktiivisuuteen sekä ohjelmistojen valintaan ja käyttöön.

Arviointiasteikko on numeroarviointi (4-10).

Valtakunnalliset valinnaiset opinnot

MAB8 Matemaattinen analyysi (2op)

MAB9 Tilastolliset ja todennäköisyysjakaumat (2 op)