Yhteenlaskusääntö - TAI

2016-05-17T19:43:12+03:00

Olemme käsitelleet aiemmin kertolaskusääntöä. Tätä sääntöä ei tässä kohtaa unohdeta vaan pidetään aktiivisesti mielessä. Nyt kuitenkin laajennetaan niiden tapahtumien joukkoa, joiden todennäköisyyksiä käsittelemme tällä kurssilla.

Tarkastellaan ensin kahta tapausta.

Todennäköisyyksien laskeminen yhteen

Tarkastellaan satunnaisilmiötä, joka on yhden kortin nostaminen korttipakasta.
Kysymys: Millä todennäköisyydellä saadaan pata tai hertta?
Ratkaisu:
Hahmottelemalla Venn-diagrammi tilanteesta. Havaitaan, että näillä kahdella tapahtumalla
A = "Saadaan pata"
B = "Saadaan hertta"
ei ole yhteisiä alkioita. Tapahtumat ovat siis erillisiä toisistaan.

Nyt laskemme siis tapahtuman "saadaan pata TAI hertta" todennäköisyys.
Voimme siis kirjoittaa

[[$ P(A\quad tai\quad B)=\frac { 13 }{ 52 } +\frac { 13 }{ 52 } =\frac { 1 }{ 4 } +\frac { 1 }{ 4 } =\frac { 2 }{ 4 } =\frac { 1 }{ 2 } $]]

Tarkastellaan satunnaisilmiötä, joka on yhden kortin nostaminen korttipakasta.
Kysymys: Millä todennäköisyydellä saadaan pata tai ässä?
Ratkaisu:
Hahmottelemalla Venn-diagrammi tilanteesta. Havaitaan, että näillä kahdella tapahtumalla
A = "Saadaan pata"
B = "Saadaan ässä"
on yksi yhteinen alkio. ("pataässä"). Nämä tapahtumat ovat siis ei-erillisiä ja tämä täytyy huomioida laskettaessa tapahtuman "saadaan pata TAI ässä" todennäköisyyttä.

Nyt voimme laskea tapahtuman "saadaan pata tai ässä" todennäköisyyden.
Jos nyt laskisimme näin: [[$ P(A\quad tai\quad B)=\frac { 13 }{ 52 } +\frac { 4 }{ 52 } $]]huomaamme, että "pataässä" tulee laskettua kahteen kertaa. Katso myös Venn-diagrammia.

Tapahtuma "saadaan pata tai ässä" lasketaan siis seuraavasti:

[[$ P(A\quad tai\quad B)=\frac { 13 }{ 52 } +\frac { 4 }{ 52 } -\frac { 1 }{ 52 } =\frac { 13+4-1 }{ 52 } =\frac { 16 }{ 52 } =\frac { 4 }{ 13 } $]]

Huomautus. Matematiikassa siis sana tai merkitsee sitä, että tapahtuu A tai B tai molemmat tapahtuvat. Siis edellisessä esimerkissä myös "pataässä" kuuluu suotuisien alkeistapausten joukkoon. Seuraavan kerran, kun lounaslistalla lukee, että siihen kuuluu mukaan "kahvi tai jälkiruoka", niin älä ihmettele, jos matematiikan opettajasi ottaa molemmat. :)

Voimme yleistää tämän seuraavasti:

Jos tapahtumat A ja B ovat erillisiä, niin tapahtuman "tapahtuu A tai B" todennäköisyys voidaan laskea:

[[$ P(A\quad tai\quad B)=P(A)+P(B) $]]

Jos tapahtumat A ja B eivät ole erillisiä, niin tapahtuman "tapahtuu A tai B" todennäköisyys voidaan laskea:

[[$ P(A\quad tai\quad B)=P(A)+P(B)-P(A\quad ja\quad B) $]]