https://peda.net/id/18801452bbd41 2026-09-29T10:05:04+03:00 https://peda.net/:static/548/peda.net.logo.bg.svg <div class="license">Tämän sivun lisenssi <a rel="license noopener" href="https://peda.net/info" target="_blank">Peda.net-yleislisenssi</a></div> https://peda.net/id/e72cfa96cb1e1 2022-10-13T10:43:44+03:00 <a href="https://peda.net/salo/koulut/halikon-lukio/oppiaineet/pitk%C3%A4-matematiikka/maa6-1-derivaatta/2.-derivaatta/funktion-muutosnopeus/geogebra-export-18-.png#top" title="geogebra-export (18).png" target="_blank" rel="noopener"><img src="https://peda.net/salo/koulut/halikon-lukio/oppiaineet/pitk%C3%A4-matematiikka/maa6-1-derivaatta/2.-derivaatta/funktion-muutosnopeus/geogebra-export-18-.png:file/photo/059c08c578582929274b11dc1d6ad4312c3b1c9e/geogebra-export%20%2818%29.png" alt="" title="geogebra-export (18).png" class="inline" loading="lazy"/></a> 2026-10-18T21:08:21+03:00 https://peda.net/id/04e7fdb0cb1f1 2026-10-18T21:10:36+03:00 Funktion f erotusosamäärä välillä [a, x] kertoo funktion keskimääräisen muutosnopeuden tällä välillä. Graafisesti tämä on suoran, sekantin kulmakerroin.<br/> <br/> <span>Erotusosamäärä välillä [a, x]</span> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7Bf%5Cleft(x%5Cright)-f%5Cleft(a%5Cright)%7D%7Bx-a%7D" alt="\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}"/></div> <br/> <br/> Seuraavasta linkistä nähdään mitä tapahtuu, kun x lähestyy a:ta:<br/> <a href="https://www.geogebra.org/m/wqqSvnbY" target="_blank" rel="nofollow ugc noopener">Derivaatan määritelmä</a><br/> <br/> Eli derivaatta on erotusosamäärän raja-arvo.<br/> Nyt funktion derivaatta kohdassa x = a on erotusosamäärän raja-arvo, kun x lähestyy a:ta.<br/> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%27%5Cleft(a%5Cright)%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20a%7D%5Cfrac%7Bf%5Cleft(x%5Cright)-f%5Cleft(a%5Cright)%7D%7Bx-a%7D" alt="f'\left(a\right)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}"/><br/> <br/> Tämä on funktion kuvaajalle kohtaan x = a piirretyn tangentin kulmakerroin. Derivaatta kertoo funktion hetkellisen muutosnopeuden.<br/> <br/> <br/> <div><span>Määritä funktion f(x) derivaatta kohdassa x = 1, kun</span> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3Dx%5E2-4x" alt="f\left(x\right)=x^2-4x"/></div> <span>Funktion f derivaattaa kohdassa x = 1 merkitään</span><br/> <span> </span><span class="math-editor-wrapper"><img class="sc-gtLWhw dicMAG" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%27%5Cleft(1%5Cright)%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow1%7D%5Cfrac%7Bf%5Cleft(x%5Cright)-f%5Cleft(1%5Cright)%7D%7Bx-1%7D%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow1%7D%5Cfrac%7Bx%5E2-4x-%5Cleft(1%5E2-4%5Ccdot1%5Cright)%7D%7Bx-1%7D%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow1%7D%5Cfrac%7Bx%5E2-4x%2B3%7D%7Bx-1%7D" alt="f'\left(1\right)=\lim_{x\rightarrow1}\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^2-4x-\left(1^2-4\cdot1\right)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^2-4x+3}{x-1}"/><!--filtered attribute: data-math-svg="true"--><!--filtered attribute: data-latex="f'\left(1\right)=\lim_{x\rightarrow1}\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^2-4x-\left(1^2-4\cdot1\right)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^2-4x+3}{x-1}"--></span><span> </span><br/> <span> Tämä raja-arvo on muotoa 0/0 eli nyt myös osottajasta löytyy tekijä x - 1</span><span> </span><span class="math-editor-wrapper"><img class="sc-gtLWhw dicMAG" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow1%7D%5Cfrac%7B%5Cleft(x-1%5Cright)%5Cleft(x-3%5Cright)%7D%7Bx-1%7D%5C%20%5C%20%5Cleft(t%C3%A4ss%C3%A4%5C%20toinen%5C%20tekij%C3%A4%5C%20on%5C%20p%C3%A4%C3%A4telty%5Cright)" alt="=\lim_{x\rightarrow1}\frac{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}{x-1}\ \ \left(tässä\ toinen\ tekijä\ on\ päätelty\right)"/><!--filtered attribute: data-math-svg="true"--><!--filtered attribute: data-latex="=\lim_{x\rightarrow1}\frac{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}{x-1}\ \ \left(tässä\ toinen\ tekijä\ on\ päätelty\right)"--></span><span> </span><br/> <span> </span><span class="math-editor-wrapper"><img class="sc-gtLWhw dicMAG" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow1%7D%5Cleft(x-3%5Cright)%3D1-3%3D-2" alt="=\lim_{x\rightarrow1}\left(x-3\right)=1-3=-2"/><!--filtered attribute: data-math-svg="true"--><!--filtered attribute: data-latex="=\lim_{x\rightarrow1}\left(x-3\right)=1-3=-2"--></span><span> </span><br/> <span> </span><span class="math-editor-wrapper"><img class="sc-gtLWhw dicMAG" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=eli%5C%20funktion%5C%20derivaatta%5C%20kohdassa%5C%20x%3D1%7B%2C%7D%5C%20f%27%5Cleft(1%5Cright)%3D-2" alt="eli\ funktion\ derivaatta\ kohdassa\ x=1{,}\ f'\left(1\right)=-2"/><!--filtered attribute: data-math-svg="true"--><!--filtered attribute: data-latex="eli\ funktion\ derivaatta\ kohdassa\ x=1{,}\ f'\left(1\right)=-2"--></span><span> </span><br/> <span>Tämä tarkoittaa myös sitä, että funktion muutosnopeus kohdassa x = 1 on -2 (vähenemisnopeus). Graafisesti tämä tarkoittaa, että jos funktion f kuvaajalle eli paraabelille piirretään tangentti kohtaa x = 1 vastaavaan paraabelin pisteeseen (1, -3), niin sen kulmakerroin on -2.<br/> </span><br/> <a href="https://peda.net/salo/koulut/halikon-lukio/oppiaineet/pitk%C3%A4-matematiikka/maa6-1-derivaatta/2.-derivaatta/derivaatan-maaritelma/geogebra-export.png#top" title="geogebra-export.png" target="_blank" rel="noopener"><img src="https://peda.net/salo/koulut/halikon-lukio/oppiaineet/pitk%C3%A4-matematiikka/maa6-1-derivaatta/2.-derivaatta/derivaatan-maaritelma/geogebra-export.png:file/photo/b452776b16a42bdc618581a82c7f9fbe3516c30f/geogebra-export.png" alt="" title="geogebra-export.png" class="inline" loading="lazy"/></a><br/> <br/> <br/> <br/> <br/> <br/> <br/> <span>Määritä funktion f derivaatta kohdassa x = -1, kun</span> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D-x%5E2%2B2" alt="f\left(x\right)=-x^2+2"/></div> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%27%5Cleft(-1%5Cright)%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow-1%7D%5Cfrac%7Bf%5Cleft(x%5Cright)-f%5Cleft(-1%5Cright)%7D%7Bx-%5Cleft(-1%5Cright)%7D%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow-1%7D%5Cfrac%7B-x%5E2%2B2-%5Cleft(-%5Cleft(-1%5Cright)%5E2%2B2%5Cright)%7D%7Bx%2B1%7D%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow-1%7D%5Cfrac%7B-x%5E2%2B1%7D%7Bx%2B1%7D" alt="f'\left(-1\right)=\lim_{x\rightarrow-1}\frac{f\left(x\right)-f\left(-1\right)}{x-\left(-1\right)}=\lim_{x\rightarrow-1}\frac{-x^2+2-\left(-\left(-1\right)^2+2\right)}{x+1}=\lim_{x\rightarrow-1}\frac{-x^2+1}{x+1}"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow-1%7D%5Cfrac%7B%5Cleft(x%2B1%5Cright)%5Cleft(-x%2B1%5Cright)%7D%7Bx%2B1%7D%3D-%5Cleft(-1%5Cright)%2B1%3D2" alt="=\lim_{x\rightarrow-1}\frac{\left(x+1\right)\left(-x+1\right)}{x+1}=-\left(-1\right)+1=2"/><br/> <br/> <br/> <div> </div> <br/> <br/> <br/> </div> 2026-10-18T21:09:11+03:00