https://peda.net/id/0e2123c471e 2025-08-05T13:50:46+03:00 https://peda.net/:static/533/peda.net.logo.bg.svg <div class="license">Tämän sivun lisenssi <a rel="license" href="https://peda.net/info">Peda.net-yleislisenssi</a></div> https://peda.net/id/0e217d7571e 2018-05-21T13:32:30+03:00 <p>Luonnollisten lukujen ℕ = {0, 1, 2, 3, …} ja positiivisten kokonaislukujen ℤ₊ = {1, 2, 3, …} joukossa pätee <span>induktio-ominaisuus</span>:<br/> <br/> - Jos jokin ominaisuus <em>pätee jollekin luvulle n</em> (ekalle luvulle)<br/> JA<br/> - Jos siitä, että väite <em>pätee arvolla n = k</em> seuraa, että väite <em>pätee myös arvolla k + 1</em>, niin väite pätee <em>kaikilla arvoilla n</em>.</p> <p><b>Induktiotodistus</b></p> <p>Alkuaskel: Osoitetaan, että väite pätee, kun <em>n</em> = 0 (tai <em>n</em> = 1, kun <em>n</em> ∈ ℤ₊).</p> <p>Induktioaskel: Oletetaan, että väite on tosi, kun <em>n = k</em> ja<br/> todistetaan, että väite on tosi, kun <em>n = k</em> + 1.</p> <p>(Näistä seuraa, että luvusta 0 (tai 1) alkaen väite pätee kaikilla muillakin luvuilla.)<br/> <br/> </p> <p><b><span>ESIM 1.</span></b> Osoita, että 2 + 4 + 6 + … + 2<em>n</em> = <em>n(n</em> <em>+</em> <em>1)</em>, kun <em>n</em> ∈ ℤ₊.</p> <div>1) Alkuaskel:</div> <div>kun n = 1, niin vasemmalla on 2, oikealla 1*(1+1) = 2</div> <div> <div>( kun n = 2, niin vasemmalla 2 + 4 = 6, oikealla 2*(2 + 1) = 6 )</div> <div>( kun n = 3, niin vasemmalla 2 + 4 + 6 = 12, oikealla 3*(3 + 1) = 12 )</div> </div> <div> </div> <div>2) Induktioaskel: </div> <div>Oletetaan, että 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1)</div> <div>[ todistetaan, että 2 + 4 + 6 + ... + 2n + 2(n+1) = (n+1) ( n+1 + 1) = (n+1)(n +2) ]</div> <div> </div> <div>2 + 4 + 6 + ... + 2n + 2(n+1) = n(n+1) + 2(n+1) = (n+1)(n + 2).</div> <div> </div> <div>Siis askelista 1 ja 2 seuraa, että väite on tosi.</div> <div> </div> <div>(testataan luvulla n = 10:</div> <div>2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 = 110</div> <div>n(n+1) = 10(10 + 1) = 110</div> <br/> <p> </p> <p><strong><span> ESIM 2. Osoita, että </span><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=1%5E2%2B2%5E2%2B3%5E2%2B%5C%20...%5C%20%2B%5Cleft(n-1%5Cright)%5E2%3C%5Cfrac%7Bn%5E3%7D%7B3%7D%7B%2C%7D%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Ctext%7Bkun%7D%5C%20n%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D_%2B" alt="1^2+2^2+3^2+\ ...\ +\left(n-1\right)^2&lt;\frac{n^3}{3}{,}\ \ \ \ \ \text{kun}\ n\in\mathbb{Z}_+"/><br/> </strong></p> <div>Todistetaan induktiolla.</div> <div>1) Alkuaskel: n = 1</div> <div>Vasemmalla: <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cleft(1-1%5Cright)%5E2%3D0%5E2%3D0" alt="\left(1-1\right)^2=0^2=0"/></div> <div>Oikealla: <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D" alt="\frac{1}{3}"/></div> <div>0 &lt; 1/3, joten pätee.</div> <div> </div> <div>2) Induktioaskel: oletetaan, että pätee, kun n = k</div> <div>eli <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=1%5E2%2B2%5E2%2B3%5E2%2B%5C%20...%5C%20%2B%5Cleft(k-1%5Cright)%5E2%3C%5Cfrac%7Bk%5E3%7D%7B3%7D" alt="1^2+2^2+3^2+\ ...\ +\left(k-1\right)^2&lt;\frac{k^3}{3}"/></div> <div>Todistetaan, että pätee, kun n = k + 1</div> <div>eli että</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=1%5E2%2B2%5E2%2B3%5E2%2B%5C%20...%5C%20%2B%5Cleft(k-1%5Cright)%5E2%2B%5Cleft(%5Cleft(k%2B1%5Cright)-1%5Cright)%5E2%3C%5Cfrac%7B%5Cleft(k%2B1%5Cright)%5E3%7D%7B3%7D" alt="1^2+2^2+3^2+\ ...\ +\left(k-1\right)^2+\left(\left(k+1\right)-1\right)^2&lt;\frac{\left(k+1\right)^3}{3}"/></div> <div> </div> <p><strong><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=1%5E2%2B2%5E2%2B3%5E2%2B%5C%20...%5C%20%2B%5Cleft(k-1%5Cright)%5E2%2Bk%5E2" alt="1^2+2^2+3^2+\ ...\ +\left(k-1\right)^2+k^2"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3C%5Cfrac%7Bk%5E3%7D%7B3%7D%2Bk%5E2%3D%5Cfrac%7Bk%5E3%2B3k%5E2%7D%7B3%7D%3C%5Cfrac%7Bk%5E3%2B3k%5E2%2B3k%2B1%7D%7B3%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cleft(k%2B1%5Cright)%5E3%7D%7B3%7D" alt="&lt;\frac{k^3}{3}+k^2=\frac{k^3+3k^2}{3}&lt;\frac{k^3+3k^2+3k+1}{3}=\frac{\left(k+1\right)^3}{3}"/><span>.</span></strong></p> <div> </div> <div>Siis askelista 1 ja 2 seuraa, että väite pätee.<br/> <br/> -----------</div> <p><strong>HUOM!</strong> Lukujen summalle voi käyttää merkintää<br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=a_1%2Ba_2%2B...%2Ba_n%3D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5Ena_k" alt="a_1+a_2+...+a_n=\sum_{k=1}^na_k"/></p> <p>--------<br/> <br/> </p> <div> <div><b>ESIM 3</b>. Osoita, että <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=1%5E2%2B2%5E2%2B3%5E2%2B...%2Bn%5E2%3D%5Cfrac%7Bn%5Cleft(n%2B1%5Cright)%5Cleft(2n%2B1%5Cright)%7D%7B6%7D" alt="1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}"/>, kun n ∈ ℤ+.</div> <div>eli</div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5Enk%5E2%3D%5Cfrac%7Bn%5Cleft(n%2B1%5Cright)%5Cleft(2n%2B1%5Cright)%7D%7B6%7D" alt="\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}"/>.</div> <div> </div> <div>Todistetaan induktiolla.</div> <div>1) Alkuaskel: n = 1 </div> <div>Vasemmalla: <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=1%5E2%3D1" alt="1^2=1"/></div> <div>Oikealla: <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7B1%5Cleft(1%2B1%5Cright)%5Cleft(2%5Ccdot1%2B1%5Cright)%7D%7B6%7D%3D%5Cfrac%7B1%5Ccdot2%5Ccdot3%7D%7B6%7D%3D1" alt="\frac{1\left(1+1\right)\left(2\cdot1+1\right)}{6}=\frac{1\cdot2\cdot3}{6}=1"/></div> <div>Pätee.</div> <div> </div> <div>2) Induktioaskel.</div> <div>Oletetaan, että pätee, kun n = m eli</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5Emk%5E2%3D%5Cfrac%7Bm%5Cleft(m%2B1%5Cright)%5Cleft(2m%2B1%5Cright)%7D%7B6%7D" alt="\sum_{k=1}^mk^2=\frac{m\left(m+1\right)\left(2m+1\right)}{6}"/>.</div> <div>Todistetaan, että pätee, kun n = m + 1</div> <div> eli että </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bm%2B1%7Dk%5E2%3D%5Cfrac%7B%5Cleft(m%2B1%5Cright)%5Cleft(m%2B2%5Cright)%5Cleft(2%5Cleft(m%2B1%5Cright)%2B1%5Cright)%7D%7B6%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cleft(m%2B1%5Cright)%5Cleft(m%2B2%5Cright)%5Cleft(2m%2B3%5Cright)%7D%7B6%7D" alt="\sum_{k=1}^{m+1}k^2=\frac{\left(m+1\right)\left(m+2\right)\left(2\left(m+1\right)+1\right)}{6}=\frac{\left(m+1\right)\left(m+2\right)\left(2m+3\right)}{6}"/>.</div> <div>Todistus:</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bm%2B1%7Dk%5E2%3D%5Cleft(%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5Emk%5E2%5Cright)%2B%5Cleft(m%2B1%5Cright)%5E2" alt="\sum_{k=1}^{m+1}k^2=\left(\sum_{k=1}^mk^2\right)+\left(m+1\right)^2"/></div> <p><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3D%5Cfrac%7Bm%5Cleft(m%2B1%5Cright)%5Cleft(2m%2B1%5Cright)%7D%7B6%7D%2B%5Cleft(m%2B1%5Cright)%5E2" alt="=\frac{m\left(m+1\right)\left(2m+1\right)}{6}+\left(m+1\right)^2"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3D%5Cfrac%7Bm%5Cleft(m%2B1%5Cright)%5Cleft(2m%2B1%5Cright)%7D%7B6%7D%2B%5Cfrac%7B6%5Cleft(m%2B1%5Cright)%5Cleft(m%2B1%5Cright)%7D%7B6%7D" alt="=\frac{m\left(m+1\right)\left(2m+1\right)}{6}+\frac{6\left(m+1\right)\left(m+1\right)}{6}"/></p> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3D%5Cfrac%7B%5Cleft(m%5Cleft(2m%2B1%5Cright)%2B6%5Cleft(m%2B1%5Cright)%5Cright)%5Cleft(m%2B1%5Cright)%7D%7B6%7D" alt="=\frac{\left(m\left(2m+1\right)+6\left(m+1\right)\right)\left(m+1\right)}{6}"/></div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3D%5Cfrac%7B%5Cleft(m%5Ccdot2m%2Bm%5Ccdot1%2B6m%2B6%5Cright)%5Cleft(m%2B1%5Cright)%7D%7B6%7D" alt="=\frac{\left(m\cdot2m+m\cdot1+6m+6\right)\left(m+1\right)}{6}"/> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3D%5Cfrac%7B%5Cleft(m%5Ccdot2m%2B3m%2B4m%2B6%5Cright)%5Cleft(m%2B1%5Cright)%7D%7B6%7D" alt="=\frac{\left(m\cdot2m+3m+4m+6\right)\left(m+1\right)}{6}"/></div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3D%5Cfrac%7B%5Cleft(m%5Ccdot%5Cleft(2m%2B3%5Cright)%2B2%5Cleft(2m%2B3%5Cright)%5Cright)%5Cleft(m%2B1%5Cright)%7D%7B6%7D" alt="=\frac{\left(m\cdot\left(2m+3\right)+2\left(2m+3\right)\right)\left(m+1\right)}{6}"/><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3D%5Cfrac%7B%5Cleft(%5Cleft(m%2B2%5Cright)%5Ccdot%5Cleft(2m%2B3%5Cright)%5Cright)%5Cleft(m%2B1%5Cright)%7D%7B6%7D" alt="=\frac{\left(\left(m+2\right)\cdot\left(2m+3\right)\right)\left(m+1\right)}{6}"/> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3D%5Cfrac%7B%5Cleft(m%2B1%5Cright)%5Cleft(m%2B2%5Cright)%5Cleft(2m%2B3%5Cright)%7D%7B6%7D" alt="=\frac{\left(m+1\right)\left(m+2\right)\left(2m+3\right)}{6}"/></div> <div> </div> <div>Siis askelista 1 ja 2 seuraa, että väite pätee.</div> <p> </p> 2025-08-05T13:50:46+03:00