3.2 Totuustauluthttps://peda.net/id/0e1e4cb671e2025-08-05T13:50:46+03:00https://peda.net/:static/533/peda.net.logo.bg.svg<div class="license">Tämän sivun lisenssi <a rel="license" href="https://peda.net/info">Peda.net-yleislisenssi</a></div>
Teoria ja esimerkit tehtynähttps://peda.net/id/0e1eb49571e2018-05-08T16:12:12+03:00<p>Yhdistettyjen lauseiden totuusarvoja tutkitaan<span> </span><span class="editor underline">totuustaulujen</span><span> </span>avulla.</p>
<p>Taulukossa toden lauseen totuusarvo on 1 ja epätoden 0. (Tai t ja e.)</p>
<table>
<tbody>
<tr>
<td>
<p>Negaation totuustaulu</p>
<table>
<tbody>
<tr>
<td>
<p>A</p>
</td>
<td>
<p>¬A</p>
</td>
</tr>
<tr>
<td>
<p>1</p>
<p>0</p>
</td>
<td>
<p> 0</p>
<p> 1</p>
</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p>Lauseen A negaatio on epätosi,<br/>
kun A on tosi.</p>
</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<br/>
<table>
<tbody>
<tr>
<td>
<p>Konjunktion totuustaulu</p>
<table>
<tbody>
<tr>
<td>
<p>A</p>
</td>
<td>
<p>B</p>
</td>
<td>
<p>A ∧ B</p>
</td>
</tr>
<tr>
<td>
<p>1</p>
<p>1</p>
<p>0</p>
<p>0</p>
</td>
<td>
<p>1</p>
<p>0</p>
<p>1</p>
<p>0</p>
</td>
<td>
<p> 1</p>
<p> 0</p>
<p> 0</p>
<p> 0</p>
</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p>Lauseiden A ja B konjunktio on tosi vain, kun molemmat lauseet ovat tosia.</p>
<p> </p>
</td>
<td colspan="2">
<p>Disjunktion totuustaulu</p>
<table>
<tbody>
<tr>
<td>
<p>A</p>
</td>
<td>
<p>B</p>
</td>
<td>
<p>A ∨ B</p>
</td>
</tr>
<tr>
<td>
<p>1</p>
<p>1</p>
<p>0</p>
<p>0</p>
</td>
<td>
<p>1</p>
<p>0</p>
<p>1</p>
<p>0</p>
</td>
<td>
<p>1</p>
<p>1</p>
<p>1</p>
<p>0</p>
</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p>Lauseiden A ja B disjunktio on tosi, kun ainakin toinen lause on tosi.</p>
</td>
</tr>
<tr>
<td>
<p>Implikaation totuustaulu</p>
<table>
<tbody>
<tr>
<td>
<p>A</p>
</td>
<td>
<p>B</p>
</td>
<td>
<p>A ⇒ B</p>
</td>
</tr>
<tr>
<td>
<p>1</p>
<p>1</p>
<p>0</p>
<p>0</p>
</td>
<td>
<p>1</p>
<p>0</p>
<p>1</p>
<p>0</p>
</td>
<td>
<p>1</p>
<p>0</p>
<p>1</p>
<p>1</p>
</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p>Lauseiden A ja B implikaatio on epätosi, kun A on tosi ja B on epätosi. Muulloin tosi.</p>
<p>”Epätodesta oletuksesta voi päätellä mitä tahansa.”</p>
</td>
<td colspan="2">
<p>Ekvivalenssin totuustaulu</p>
<table>
<tbody>
<tr>
<td>
<p>A</p>
</td>
<td>
<p>B</p>
</td>
<td>
<p>A ⇔ B</p>
</td>
</tr>
<tr>
<td>
<p>1</p>
<p>1</p>
<p>0</p>
<p>0</p>
</td>
<td>
<p>1</p>
<p>0</p>
<p>1</p>
<p>0</p>
</td>
<td>
<p>1</p>
<p>0</p>
<p>0</p>
<p>1</p>
</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p>Lauseiden A ja B ekvivalenssi on tosi aina, kun molemmat lauseet ovat tosia tai molemmat epätosia.</p>
<p> </p>
</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p><br/>
Konnektiivien suoritusjärjestys (ellei sulut toisin määrää)</p>
<ul>
<li>Negaatio</li>
<li>Konjunktio ( ) ja disjunktio ( ) vasemmalta oikealle</li>
<li>Implikaatio ( ) ja ekvivalenssi ( ) vasemmalta oikealle</li>
</ul>
<p>Peräkkäiset samat konnektiivit kirjoitetaan ilman sulkeita.<br/>
(A ∧ B) ∧ C = A ∧ (B ∧ C) = A ∧ B ∧ C<br/>
¬(¬A) = ¬¬A = A</p>
<p><strong>HUOM!</strong><span> </span>Jos yhdistetty lause on muodostettu n:stä atomilauseesta (A, B, C…), on totuustaulussa 2<sup>n</sup><span> </span>vaakariviä. </p>
<p><b><span>ESIM 1.</span></b><span> </span>Muodosta totuustaulu lauseille<br/>
<br/>
a) ¬(A v ¬B)<br/>
<br/>
Käytetään apusarakkeita (ensin "ei B", sitten "A tai (ei B)", lopuksi "ei (<span>A tai ei B)")</span><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7Cl%7D%0AA%26B%26%5Cneg%5Cleft(A%5Cvee%5Cneg%20B%5Cright)%26%5Cneg%20B%26A%5Cvee%5Cneg%20B%5C%5C%0A%5Chline%0A1%261%260%260%261%5C%5C%0A1%260%260%261%261%5C%5C%0A0%261%261%260%260%5C%5C%0A0%260%260%261%261%0A%5Cend%7Barray%7D" alt="\begin{array}{l|l} A&B&\neg\left(A\vee\neg B\right)&\neg B&A\vee\neg B\\ \hline 1&1&0&0&1\\ 1&0&0&1&1\\ 0&1&1&0&0\\ 0&0&0&1&1 \end{array}"/><br/>
<br/>
b) A ⇔ (A v B)<br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7Cl%7D%0AA%26B%26A%5CLeftrightarrow%5Cleft(A%5Cvee%20B%5Cright)%26A%5Cvee%20B%5C%5C%0A%5Chline%0A1%261%261%261%5C%5C%0A1%260%261%261%5C%5C%0A0%261%260%261%5C%5C%0A0%260%261%260%0A%5Cend%7Barray%7D" alt="\begin{array}{l|l} A&B&A\Leftrightarrow\left(A\vee B\right)&A\vee B\\ \hline 1&1&1&1\\ 1&0&1&1\\ 0&1&0&1\\ 0&0&1&0 \end{array}"/><span> <br/>
</span><br/>
c) (¬A => B) ∧ C<br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7Cl%7D%0AA%26B%26C%26%5Cleft(%5Cneg%20A%5CRightarrow%20B%5Cright)%5Cwedge%20C%26%5Cneg%20A%26%5Cleft(%5Cneg%20A%5CRightarrow%20B%5Cright)%5C%5C%0A%5Chline%0A1%261%261%261%260%261%5C%5C%0A1%261%260%260%260%261%5C%5C%0A1%260%261%261%260%261%5C%5C%0A1%260%260%260%260%261%5C%5C%0A0%261%261%261%261%261%5C%5C%0A0%261%260%260%261%261%5C%5C%0A0%260%261%260%261%260%5C%5C%0A0%260%260%260%261%260%0A%5Cend%7Barray%7D" alt="\begin{array}{l|l} A&B&C&\left(\neg A\Rightarrow B\right)\wedge C&\neg A&\left(\neg A\Rightarrow B\right)\\ \hline 1&1&1&1&0&1\\ 1&1&0&0&0&1\\ 1&0&1&1&0&1\\ 1&0&0&0&0&1\\ 0&1&1&1&1&1\\ 0&1&0&0&1&1\\ 0&0&1&0&1&0\\ 0&0&0&0&1&0 \end{array}"/><br/>
<br/>
</p>
<p><span class="editor underline"><b>Tautologia</b></span></p>
<p><span> Lause, joka on aina tosi (identtisesti tosi), on<span> </span><strong>tautologia. </strong></span></p>
<p><span> Lause, joka on aina epätosi (identtisesti epätosi), on<span> </span><strong>kontradiktio</strong>. </span></p>
<p>Tautologian totuustauluun tulee jokaiselle riville totuusarvoksi 1.<br/>
<br/>
</p>
<p><b><span>ESIM 1.</span></b><span> </span>Osoita, että lause (A ⇒ B) <span>⇔</span><span> </span>(¬A<span> </span><span>∨<span> </span></span>B) on tautologia.</p>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7Cl%7D%0AA%26B%26%5Cleft(A%5CRightarrow%20B%5Cright)%5CLeftrightarrow%5Cleft(%5Cneg%20A%5Cvee%20B%5Cright)%26A%5CRightarrow%20B%26%5Cneg%20A%5Cvee%20B%5C%5C%0A%5Chline%0A1%261%261%261%261%5C%5C%0A1%260%261%260%260%5C%5C%0A0%261%261%261%261%5C%5C%0A0%260%261%261%261%0A%5Cend%7Barray%7D" alt="\begin{array}{l|l} A&B&\left(A\Rightarrow B\right)\Leftrightarrow\left(\neg A\vee B\right)&A\Rightarrow B&\neg A\vee B\\ \hline 1&1&1&1&1\\ 1&0&1&0&0\\ 0&1&1&1&1\\ 0&0&1&1&1 \end{array}"/><br/>
<p>Tehtävän loppuun kirjoitetaan: Siis lause (A ⇒ B) <span>⇔</span><span> </span>(¬A<span> </span><span>∨</span><span> </span>B) on aina tosi eli tautologia.<br/>
<br/>
</p>
<p><b>Looginen yhtäpitävyys, ekvivalenttius</b></p>
<p>Lauseet P ja Q ovat loogisesti<span> </span><em>ekvivalentit</em><span> </span>eli<span> </span><em>loogisesti yhtäpitävät</em>, jos niillä on aina sama totuusarvo.</p>
<p><span> Lauseet P ja Q ovat loogisesti ekvivalentit täsmälleen silloin, kun lause P <=></span><span> Q on <br/>
tautologia (eli kun lauseiden P ja Q ekvivalenssi on aina tosi). </span></p>
<p><strong>HUOM!</strong><span> </span>Loogisesti ekvivalentit lauseet eivät kuitenkaan ole yleensä samoja.</p>
<p><b><span>ESIM 2.</span></b><span> </span>Osoita, että lauseet ¬(¬P<span> </span><span>∧<span> </span></span>¬Q) ja P<span> </span><span>∨</span><span> </span>Q ovat loogisesti yhtäpitäviä.</p>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7Cl%7D%0AP%26Q%26%5Cneg(%5Cneg%20P%E2%88%A7%5Cneg%20Q)%26P%5Cvee%20Q%26%5Cleft(%5Cneg%20P%5Cwedge%5Cneg%20Q%5Cright)%5C%5C%0A%5Chline%0A1%261%261%261%260%5C%5C%0A1%260%261%261%260%5C%5C%0A0%261%261%261%260%5C%5C%0A0%260%260%260%261%0A%5Cend%7Barray%7D" alt="\begin{array}{l|l} P&Q&\neg(\neg P∧\neg Q)&P\vee Q&\left(\neg P\wedge\neg Q\right)\\ \hline 1&1&1&1&0\\ 1&0&1&1&0\\ 0&1&1&1&0\\ 0&0&0&0&1 \end{array}"/><br/>
<p>Siis lauseiden totuusarvot ovat aina samat, joten ne ovat loogisesti yhtäpitävät.<br/>
<br/>
</p>
<p><strong>HUOM!</strong><span> </span>Jokaiselle lauselogiikan lauseelle voidaan muodostaa loogisesti ekvivalentti lause käyttäen konnektiiveja ¬,<span> </span><span>∧</span><span> </span>ja<span> </span><span>∨</span>.<br/>
<br/>
</p>
<p><b><span>ESIM 3.</span></b><span> </span>Lauseella P on seuraava totuustaulu. Muodosta lauseista A ja B lause, joka on loogisesti ekvivalentti lauseen P kanssa.</p>
<table>
<tbody>
<tr>
<td>
<p>A</p>
</td>
<td>
<p>B</p>
</td>
<td>
<p>P</p>
</td>
</tr>
<tr>
<td>
<p>1</p>
<p>1</p>
<p>0</p>
<p>0</p>
</td>
<td>
<p>1</p>
<p>0</p>
<p>1</p>
<p>0</p>
</td>
<td>
<p>0</p>
<p>0</p>
<p>1</p>
<p>0</p>
</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p> ***<br/>
<br/>
</p>
<p><b>Tärkeitä tautologioita</b></p>
<table>
<tbody>
<tr>
<td>
<p>Kaksoisnegaation laki </p>
</td>
<td>¬¬A<span> </span><span>⇔ </span>A</td>
</tr>
<tr>
<td>
<p>De Morganin lait </p>
</td>
<td>¬(A ∨ B) <span>⇔ </span><span> </span> ¬A ∧ ¬B</td>
</tr>
<tr>
<td>
<p> </p>
</td>
<td>¬(A ∧ B) <span>⇔ </span> ¬A ∨ ¬B</td>
</tr>
<tr>
<td>
<p>Kontrapositio </p>
</td>
<td>A ⇒ B <span>⇔</span><span> </span> ¬B ⇒ ¬A</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p>Näiden lakien avulla voidaan osoittaa lauseita ekvivalenteiksi ilman totuustauluja. Ekvivalenssin (<span>⇔</span>) vasemmalla puolella oleva voidaan korvata oikealla puolella olevan kanssa ja päinvastoin.</p>
<p><b><span>ESIM 4.</span></b><span> </span>Osoita käyttämättä totuustaulua, että lauseet (P<span> </span><span>∨</span><span> </span>Q)<span> </span><span>⇒<span> </span></span>¬R ja R<span> </span><span>⇒</span><span> </span>(¬P ∧ ¬Q) ovat loogisesti ekvivalentit.</p>
<p>Todistus:</p>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=(P%E2%88%A8Q)%E2%87%92%5Cneg%20R%5C%20%5C%20%5C%20%5CLeftrightarrow" alt="(P∨Q)⇒\neg R\ \ \ \Leftrightarrow"/> kontrapositio</div>
<p><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cneg%5Cneg%20R%5C%20%5CRightarrow%5C%20%5Cneg%5Cleft(P%5Cvee%20Q%5Cright)%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5CLeftrightarrow" alt="\neg\neg R\ \Rightarrow\ \neg\left(P\vee Q\right)\ \ \ \ \Leftrightarrow"/><span> kaksoisnegaatio, De Morganin laki</span><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=R%E2%87%92(%5Cneg%20P%E2%88%A7%5Cneg%20Q)" alt="R⇒(\neg P∧\neg Q)"/></p>
<p><b><span>ESIM 5.</span></b><span> </span>Kasper, Jesper ja Joonatan olivat syytettyinä. Luotettava todistaja kertoi: ”Ei pidä paikkaansa, että jos Jesper on syytön, niin Joonatan on syytön”. Toinen yhtä luotettava todisti, että: ”Kasper on syytön, jos ja vain jos Jesper on syytön ja Joonatan on syyllinen”. Kuka on syyllinen vai joutuuko koko kööri putkaan?</p>
<div>Kirjoitetaan atomilauseet<br/>
A = "Kasper on syytön"</div>
<div>B = "Jesper on syytön"</div>
<div>C = "Joonatan on syytön"<br/>
<br/>
Kirjoitetaan todistajien lauseet: <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cneg%5Cleft(B%5CRightarrow%20C%5Cright)" alt="\neg\left(B\Rightarrow C\right)"/> ja<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=A%5CLeftrightarrow%5Cleft(B%5Cwedge%5Cneg%5C%20C%5Cright)" alt="A\Leftrightarrow\left(B\wedge\neg\ C\right)"/>.<br/>
<br/>
Tehdään totuustaulu ja etsitään rivi, jossa molemmat puhuvat totta (1).</div>
<div> </div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7Cl%7D%0AA%26B%26C%26%5Cneg%5Cleft(B%5CRightarrow%20C%5Cright)%26A%5CLeftrightarrow%5Cleft(B%5Cwedge%5Cneg%5C%20C%5Cright)%26%5Cleft(B%5CRightarrow%20C%5Cright)%26B%5Cwedge%5Cneg%5C%20C%5C%5C%0A%5Chline%0A1%261%261%260%260%261%260%5C%5C%0A1%261%260%261%261%260%261%5C%5C%0A1%260%261%260%260%261%260%5C%5C%0A1%260%260%260%260%261%260%5C%5C%0A0%261%261%260%261%261%260%5C%5C%0A0%261%260%261%260%260%261%5C%5C%0A0%260%261%260%261%261%260%5C%5C%0A0%260%260%260%261%261%260%0A%5Cend%7Barray%7D" alt="\begin{array}{l|l} A&B&C&\neg\left(B\Rightarrow C\right)&A\Leftrightarrow\left(B\wedge\neg\ C\right)&\left(B\Rightarrow C\right)&B\wedge\neg\ C\\ \hline 1&1&1&0&0&1&0\\ 1&1&0&1&1&0&1\\ 1&0&1&0&0&1&0\\ 1&0&0&0&0&1&0\\ 0&1&1&0&1&1&0\\ 0&1&0&1&0&0&1\\ 0&0&1&0&1&1&0\\ 0&0&0&0&1&1&0 \end{array}"/></div>
<br/>
<span>Rivillä, jossa A = 1, B = 1 ja C = 0, käy näin. Siis Joonatan on syyllinen ja muut syyttömiä.</span><br/>
<br/>
2025-08-05T13:50:46+03:00Teoria ja esimerkithttps://peda.net/id/0e1f8d5871e2018-05-08T16:54:50+03:00<p>Yhdistettyjen lauseiden totuusarvoja tutkitaan <span class="editor underline">totuustaulujen</span> avulla.</p>
<p>Taulukossa toden lauseen totuusarvo on 1 ja epätoden 0. (Tai t ja e.)</p>
<table>
<tbody>
<tr>
<td>
<p>Negaation totuustaulu</p>
<table>
<tbody>
<tr>
<td>
<p>A</p>
</td>
<td>
<p>¬A</p>
</td>
</tr>
<tr>
<td>
<p>1</p>
<p>0</p>
</td>
<td>
<p> 0</p>
<p> 1</p>
</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p>Lauseen A negaatio on epätosi,<br/>
kun A on tosi.</p>
</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<br/>
<table>
<tbody>
<tr>
<td>
<p>Konjunktion totuustaulu</p>
<table>
<tbody>
<tr>
<td>
<p>A</p>
</td>
<td>
<p>B</p>
</td>
<td>
<p>A ∧ B</p>
</td>
</tr>
<tr>
<td>
<p>1</p>
<p>1</p>
<p>0</p>
<p>0</p>
</td>
<td>
<p>1</p>
<p>0</p>
<p>1</p>
<p>0</p>
</td>
<td>
<p> 1</p>
<p> 0</p>
<p> 0</p>
<p> 0</p>
</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p>Lauseiden A ja B konjunktio on tosi vain, kun molemmat lauseet ovat tosia.</p>
<p> </p>
</td>
<td colspan="2">
<p>Disjunktion totuustaulu</p>
<table>
<tbody>
<tr>
<td>
<p>A</p>
</td>
<td>
<p>B</p>
</td>
<td>
<p>A ∨ B</p>
</td>
</tr>
<tr>
<td>
<p>1</p>
<p>1</p>
<p>0</p>
<p>0</p>
</td>
<td>
<p>1</p>
<p>0</p>
<p>1</p>
<p>0</p>
</td>
<td>
<p>1</p>
<p>1</p>
<p>1</p>
<p>0</p>
</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p>Lauseiden A ja B disjunktio on tosi, kun ainakin toinen lause on tosi.</p>
</td>
</tr>
<tr>
<td>
<p>Implikaation totuustaulu</p>
<table>
<tbody>
<tr>
<td>
<p>A</p>
</td>
<td>
<p>B</p>
</td>
<td>
<p>A ⇒ B</p>
</td>
</tr>
<tr>
<td>
<p>1</p>
<p>1</p>
<p>0</p>
<p>0</p>
</td>
<td>
<p>1</p>
<p>0</p>
<p>1</p>
<p>0</p>
</td>
<td>
<p>1</p>
<p>0</p>
<p>1</p>
<p>1</p>
</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p>Lauseiden A ja B implikaatio on epätosi, kun A on tosi ja B on epätosi. Muulloin tosi.</p>
<p>”Epätodesta oletuksesta voi päätellä mitä tahansa.”</p>
</td>
<td colspan="2">
<p>Ekvivalenssin totuustaulu</p>
<table>
<tbody>
<tr>
<td>
<p>A</p>
</td>
<td>
<p>B</p>
</td>
<td>
<p>A ⇔ B</p>
</td>
</tr>
<tr>
<td>
<p>1</p>
<p>1</p>
<p>0</p>
<p>0</p>
</td>
<td>
<p>1</p>
<p>0</p>
<p>1</p>
<p>0</p>
</td>
<td>
<p>1</p>
<p>0</p>
<p>0</p>
<p>1</p>
</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p>Lauseiden A ja B ekvivalenssi on tosi aina, kun molemmat lauseet ovat tosia tai molemmat epätosia.</p>
<p> </p>
</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p><br/>
Konnektiivien suoritusjärjestys (ellei sulut toisin määrää)</p>
<ul>
<li>Negaatio</li>
<li>Konjunktio ( ) ja disjunktio ( ) vasemmalta oikealle</li>
<li>Implikaatio ( ) ja ekvivalenssi ( ) vasemmalta oikealle</li>
</ul>
<p>Peräkkäiset samat konnektiivit kirjoitetaan ilman sulkeita.<br/>
(A ∧ B) ∧ C = A ∧ (B ∧ C) = A ∧ B ∧ C<br/>
¬(¬A) = ¬¬A = A</p>
<p><strong>HUOM!</strong> Jos yhdistetty lause on muodostettu n:stä atomilauseesta (A, B, C…), on totuustaulussa 2<sup>n</sup> vaakariviä. </p>
<p><b><span>ESIM 1.</span></b> Muodosta totuustaulu lauseille<br/>
<br/>
a) ¬(A v ¬B)<br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7Cl%7D%0AA%26B%26%5Cneg%20B%26A%5Cvee%5Cneg%20B%26%5Cneg%5Cleft(A%5Cvee%5Cneg%20B%5Cright)%5C%5C%0A%5Chline%0A1%261%260%261%260%5C%5C%0A1%260%261%261%260%5C%5C%0A0%261%260%260%261%5C%5C%0A0%260%261%261%260%0A%5Cend%7Barray%7D" alt="\begin{array}{l|l} A&B&\neg B&A\vee\neg B&\neg\left(A\vee\neg B\right)\\ \hline 1&1&0&1&0\\ 1&0&1&1&0\\ 0&1&0&0&1\\ 0&0&1&1&0 \end{array}"/><br/>
b) A ⇔ (A v B)<br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7Cl%7D%0AA%26B%26A%5CLeftrightarrow%5Cleft(A%5Cvee%20B%5Cright)%26A%5Cvee%20B%5C%5C%0A%5Chline%0A1%261%261%261%5C%5C%0A1%260%261%261%5C%5C%0A0%261%260%261%5C%5C%0A0%260%261%260%0A%5Cend%7Barray%7D" alt="\begin{array}{l|l} A&B&A\Leftrightarrow\left(A\vee B\right)&A\vee B\\ \hline 1&1&1&1\\ 1&0&1&1\\ 0&1&0&1\\ 0&0&1&0 \end{array}"/><span> </span><br/>
c) (¬A => B) ∧ C<br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7Cl%7D%0AA%26B%26C%26%5Cleft(%5Cneg%20A%5CRightarrow%20B%5Cright)%5Cwedge%20C%26%5Cneg%20A%26%5Cleft(%5Cneg%20A%5CRightarrow%20B%5Cright)%5C%5C%0A%5Chline%0A1%261%261%261%260%261%5C%5C%0A1%261%260%260%260%261%5C%5C%0A1%260%261%261%260%261%5C%5C%0A1%260%260%260%260%261%5C%5C%0A0%261%261%261%261%261%5C%5C%0A0%261%260%260%261%261%5C%5C%0A0%260%261%260%261%260%5C%5C%0A0%260%260%260%261%260%0A%5Cend%7Barray%7D" alt="\begin{array}{l|l} A&B&C&\left(\neg A\Rightarrow B\right)\wedge C&\neg A&\left(\neg A\Rightarrow B\right)\\ \hline 1&1&1&1&0&1\\ 1&1&0&0&0&1\\ 1&0&1&1&0&1\\ 1&0&0&0&0&1\\ 0&1&1&1&1&1\\ 0&1&0&0&1&1\\ 0&0&1&0&1&0\\ 0&0&0&0&1&0 \end{array}"/><br/>
<br/>
</p>
<p><span class="editor underline"><b>Tautologia</b></span></p>
<p><span> Lause, joka on aina tosi (identtisesti tosi), on <strong>tautologia. </strong></span></p>
<p><span> Lause, joka on aina epätosi (identtisesti epätosi), on <strong>kontradiktio</strong>. </span></p>
<p>Tautologian totuustauluun tulee jokaiselle riville totuusarvoksi 1.<br/>
<br/>
</p>
<p><b><span>ESIM 1.</span></b> Osoita, että lause (A ⇒ B) <span>⇔</span> (¬A <span>∨ </span>B) on tautologia.</p>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7Cl%7D%0AA%26B%26%5Cleft(A%5CRightarrow%20B%5Cright)%5CLeftrightarrow%5Cleft(%5Cneg%20A%5Cvee%20B%5Cright)%26A%5CRightarrow%20B%26%5Cneg%20A%5Cvee%20B%5C%5C%0A%5Chline%0A1%261%261%261%261%5C%5C%0A1%260%261%260%260%5C%5C%0A0%261%261%261%261%5C%5C%0A0%260%261%261%261%0A%5Cend%7Barray%7D" alt="\begin{array}{l|l} A&B&\left(A\Rightarrow B\right)\Leftrightarrow\left(\neg A\vee B\right)&A\Rightarrow B&\neg A\vee B\\ \hline 1&1&1&1&1\\ 1&0&1&0&0\\ 0&1&1&1&1\\ 0&0&1&1&1 \end{array}"/><br/>
<p>Tehtävän loppuun kirjoitetaan: Siis lause (A ⇒ B) <span>⇔</span> (¬A <span>∨</span> B) on aina tosi eli tautologia.<br/>
<br/>
</p>
<p><b>Looginen yhtäpitävyys, ekvivalenttius</b></p>
<p>Lauseet P ja Q ovat loogisesti <em>ekvivalentit</em> eli <em>loogisesti yhtäpitävät</em>, jos niillä on aina sama totuusarvo.</p>
<p><span> Lauseet P ja Q ovat loogisesti ekvivalentit täsmälleen silloin, kun lause P <=></span><span> Q on <br/>
tautologia (eli kun lauseiden P ja Q ekvivalenssi on aina tosi). </span></p>
<p><strong>HUOM!</strong> Loogisesti ekvivalentit lauseet eivät kuitenkaan ole yleensä samoja.</p>
<p><b><span>ESIM 2.</span></b> Osoita, että lauseet ¬(¬P <span>∧ </span>¬Q) ja P <span>∨</span> Q ovat loogisesti yhtäpitäviä.</p>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7Cl%7D%0AP%26Q%26%5Cneg(%5Cneg%20P%E2%88%A7%5Cneg%20Q)%26P%5Cvee%20Q%26%5Cleft(%5Cneg%20P%5Cwedge%5Cneg%20Q%5Cright)%5C%5C%0A%5Chline%0A1%261%261%261%260%5C%5C%0A1%260%261%261%260%5C%5C%0A0%261%261%261%260%5C%5C%0A0%260%260%260%261%0A%5Cend%7Barray%7D" alt="\begin{array}{l|l} P&Q&\neg(\neg P∧\neg Q)&P\vee Q&\left(\neg P\wedge\neg Q\right)\\ \hline 1&1&1&1&0\\ 1&0&1&1&0\\ 0&1&1&1&0\\ 0&0&0&0&1 \end{array}"/><br/>
<p>Siis lauseiden totuusarvot ovat aina samat, joten ne ovat loogisesti yhtäpitävät.<br/>
<br/>
</p>
<p><strong>HUOM!</strong> Jokaiselle lauselogiikan lauseelle voidaan muodostaa loogisesti ekvivalentti lause käyttäen konnektiiveja ¬, <span>∧</span> ja <span>∨</span>.<br/>
<br/>
</p>
<p><b><span>ESIM 3.</span></b> Lauseella P on seuraava totuustaulu. Muodosta lauseista A ja B lause, joka on loogisesti ekvivalentti lauseen P kanssa.</p>
<table>
<tbody>
<tr>
<td>
<p>A</p>
</td>
<td>
<p>B</p>
</td>
<td>
<p>P</p>
</td>
</tr>
<tr>
<td>
<p>1</p>
<p>1</p>
<p>0</p>
<p>0</p>
</td>
<td>
<p>1</p>
<p>0</p>
<p>1</p>
<p>0</p>
</td>
<td>
<p>0</p>
<p>0</p>
<p>1</p>
<p>0</p>
</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p> ***<br/>
<br/>
</p>
<p><b>Tärkeitä tautologioita</b></p>
<table>
<tbody>
<tr>
<td>
<p>Kaksoisnegaation laki </p>
</td>
<td>¬¬A <span>⇔ </span>A</td>
</tr>
<tr>
<td>
<p>De Morganin lait </p>
</td>
<td>¬(A ∨ B) <span>⇔ </span> ¬A ∧ ¬B</td>
</tr>
<tr>
<td>
<p> </p>
</td>
<td>¬(A ∧ B) <span>⇔ </span> ¬A ∨ ¬B</td>
</tr>
<tr>
<td>
<p>Kontrapositio </p>
</td>
<td>A ⇒ B <span>⇔</span> ¬B ⇒ ¬A</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p>Näiden lakien avulla voidaan osoittaa lauseita ekvivalenteiksi ilman totuustauluja. Ekvivalenssin (<span>⇔</span>) vasemmalla puolella oleva voidaan korvata oikealla puolella olevan kanssa ja päinvastoin.</p>
<p><b><span>ESIM 4.</span></b> Osoita käyttämättä totuustaulua, että lauseet (P <span>∨</span> Q) <span>⇒ </span>¬R ja R <span>⇒</span> (¬P ∧ ¬Q) ovat loogisesti ekvivalentit.</p>
<p>Todistus:</p>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=(P%E2%88%A8Q)%E2%87%92%5Cneg%20R%5C%20%5C%20%5C%20%5CLeftrightarrow" alt="(P∨Q)⇒\neg R\ \ \ \Leftrightarrow"/> kontrapositio</div>
<p><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cneg%5Cneg%20R%5C%20%5CRightarrow%5C%20%5Cneg%5Cleft(P%5Cvee%20Q%5Cright)%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5CLeftrightarrow" alt="\neg\neg R\ \Rightarrow\ \neg\left(P\vee Q\right)\ \ \ \ \Leftrightarrow"/><span> kaksoisnegaatio, De Morganin laki</span><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=R%E2%87%92(%5Cneg%20P%E2%88%A7%5Cneg%20Q)" alt="R⇒(\neg P∧\neg Q)"/></p>
<p><b><span>ESIM 5.</span></b> Kasper, Jesper ja Joonatan olivat syytettyinä. Luotettava todistaja kertoi: ”Ei pidä paikkaansa, että jos Jesper on syytön, niin Joonatan on syytön”. Toinen yhtä luotettava todisti, että: ”Kasper on syytön, jos ja vain jos Jesper on syytön ja Joonatan on syyllinen”. Kuka on syyllinen vai joutuuko koko kööri putkaan?</p>
<div>Kirjoitetaan atomilauseet<br/>
A = "Kasper on syytön"</div>
<div>B = "Jesper on syytön"</div>
<div>C = "Joonatan on syytön"<br/>
<br/>
Kirjoitetaan todistajien lauseet: <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cneg%5Cleft(B%5CRightarrow%20C%5Cright)" alt="\neg\left(B\Rightarrow C\right)"/> ja<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=A%5CLeftrightarrow%5Cleft(B%5Cwedge%5Cneg%5C%20C%5Cright)" alt="A\Leftrightarrow\left(B\wedge\neg\ C\right)"/>.<br/>
<br/>
Tehdään totuustaulu ja etsitään rivi, jossa molemmat puhuvat totta (1).</div>
<div> </div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7Cl%7D%0AA%26B%26C%26%5Cneg%5Cleft(B%5CRightarrow%20C%5Cright)%26A%5CLeftrightarrow%5Cleft(B%5Cwedge%5Cneg%5C%20C%5Cright)%26%5Cleft(B%5CRightarrow%20C%5Cright)%26B%5Cwedge%5Cneg%5C%20C%5C%5C%0A%5Chline%0A1%261%261%260%260%261%260%5C%5C%0A1%261%260%261%261%260%261%5C%5C%0A1%260%261%260%260%261%260%5C%5C%0A1%260%260%260%260%261%260%5C%5C%0A0%261%261%260%261%261%260%5C%5C%0A0%261%260%261%260%260%261%5C%5C%0A0%260%261%260%261%261%260%5C%5C%0A0%260%260%260%261%261%260%0A%5Cend%7Barray%7D" alt="\begin{array}{l|l} A&B&C&\neg\left(B\Rightarrow C\right)&A\Leftrightarrow\left(B\wedge\neg\ C\right)&\left(B\Rightarrow C\right)&B\wedge\neg\ C\\ \hline 1&1&1&0&0&1&0\\ 1&1&0&1&1&0&1\\ 1&0&1&0&0&1&0\\ 1&0&0&0&0&1&0\\ 0&1&1&0&1&1&0\\ 0&1&0&1&0&0&1\\ 0&0&1&0&1&1&0\\ 0&0&0&0&1&1&0 \end{array}"/></div>
<br/>
Rivillä, jossa A = 1, B = 1 ja C = 0, käy näin. Siis Joonatan on syyllinen ja muut syyttömiä.<br/>
<br/>
<br/>
2025-08-05T13:50:46+03:00