https://peda.net/id/0e192b9171e 2025-08-05T13:50:46+03:00 https://peda.net/:static/533/peda.net.logo.bg.svg <div class="license">Tämän sivun lisenssi <a rel="license" href="https://peda.net/info">Peda.net-yleislisenssi</a></div> https://peda.net/id/0e1ad29e71e 2018-04-26T09:56:36+03:00 <br/> <p><b><span class="editor underline">Kongruenssin perusominaisuuksia 2</span></b></p> <ul> <li>Kongruenttien lukujen summa ja tulo: <ul> <li>Jos <span>a</span> <span>≡ </span><span>b</span> (mod <span>n</span>) ja <span>c</span> <span>≡ </span><span>d</span> (mod <span>n</span>), niin<br/> <span> a</span> + <span>c</span> <span>≡ </span><span>b</span> + <span>d</span> (mod <span>n</span>) ja<br/> <span>ac</span> <span>≡ </span><span>bd</span> (mod <span>n</span>)</li> </ul> </li> <li>Kertolaskusäännöstä seuraa potenssien kongruenssi:<br/> Jos <span>a</span> <span>≡ </span><span>b</span> (mod <span>n</span>), niin <span>a^k</span> <span>≡ </span><span>b^k</span> (mod <span>n</span>), <span>k</span> ∈ ℤ</li> </ul> <p><strong>HUOM!</strong> Jokainen luku on <em>kongruentti jakojäännöksen kanssa</em>:<br/> Olkoon <span>r</span> jakojäännös, kun luku <span>a</span> jaetaan luvulla <span>n</span>. Nyt <span>a</span> <span>≡ </span><span>r</span> (mod <span>n</span>).</p> <p>Siis kun määritetään jakojäännöksiä tai tutkitaan jaollisuutta, niin yhteenlaskettavat, tulon tekijät ja potenssien kantaluvut voidaan korvata yksinkertaisimmilla kongruenteilla luvuilla eli jakojäännöksillä, jotka jäävät, kun luvut jaetaan luvulla <span>n.</span> </p> <p><b>HUOM!</b> Jaksollisesti toistuvia ilmiöitä kuten kellonajat (mod 24) ja viikonpäivät (mod 7) voidaan tutkia kongruenssien avulla.</p> <p> </p> <p><span><b>ESIM 3</b>.</span> Määritä pienin ei-negatiivinen kokonaisluku, jonka kanssa luku 16¹⁰ + 82 on kongruentti modulo 7. </p> <p>*** </p> <p><b><span>ESIM 4.</span></b> Jouluaatto 2004 oli perjantai. Mikä se on vuonna 2015?</p> <p>***</p> <p><span><b>ESIM 5</b>.</span> Määritä jakojäännös, kun 753 + 6¹²⁰¹ jaetaan 7:llä.<br/> (Korvataan luvut yksinkertaisimmilla kongruenteilla luvuilla mod 7)</p> <p>***</p> <p><span><b>ESIM 6</b>.</span> Osoita, että luku 81 + 703 <span>⋅</span> 22¹⁸ on jaollinen 7:llä.</p> <p>***</p> <p><span><b>ESIM 7</b>.</span> Osoita, että 7²⁰⁰ <span>≡</span> 1 (mod 5).</p> <p>*** </p> <p><b><span>ESIM 8.</span></b> Mikä on luvun 3²⁰⁰⁷ viimeinen numero?<br/> (Tutkitaan 10:llä jaollisuutta eli mikä jää jakojäännökseksi, kun luku jaetaan 10:llä: esim. 1352 = 135 <span>⋅</span> 10 + <strong>2</strong>)</p> <p>*** </p> <p><span><b>ESIM 9</b>.</span> Osoita, että kokonaisluku on jaollinen 3:lla, jos ja vain jos sen numeroiden summa on jaollinen kolmella.</p> <p>*** <br/> <br/> <b>Tehtäviä</b></p> <ul> <li>Määritä jakojäännös, kun luku 17 + 7 <span>⋅</span> 25⁷ jaetaan 6:lla.</li> <li>Osoita, että luku 17ⁿ<span><span> + 13 <span>⋅</span> 25ⁿ<span><span> + 2</span></span></span></span> on jaollinen luvulla 8. (n ∈ ℤ₊)</li> <li>Määritä luvun 3²²⁴ viimeinen numero.</li> <li>Määritä luvun 101²⁰⁰⁷ kaksi viimeistä ja kaksi ensimmäistä numeroa.</li> <li>Tutki, onko luku 46⁷⁸ + 89⁶⁷ jaollinen viidellä? (YO K11)</li> </ul> <p> </p> <p>(1) r = 0<br/> (2) on se<br/> (3) 1<br/> (4) viimeiset 01 ja ensimmäiset 47<br/> (5) on</p> 2025-08-05T13:50:46+03:00 https://peda.net/id/0e1b67cd71e 2018-04-26T10:45:57+03:00 <b>ESIM 3</b><span>. Määritä pienin ei-negatiivinen kokonaisluku, jonka kanssa luku </span><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=16%5E%7B10%7D%2B82" alt="16^{10}+82"/><span>on kongruentti modulo 7. </span> <div> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=16%5E%7B10%7D%2B82%5Cequiv2%5E%7B10%7D%2B5%5C%20%5Cleft(%5Ctext%7Bmod%7D%5C%207%5Cright)" alt="16^{10}+82\equiv2^{10}+5\ \left(\text{mod}\ 7\right)"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3D%5Cleft(2%5E5%5Cright)%5E2%2B5%3D%5Cleft(32%5Cright)%5E2%2B5" alt="=\left(2^5\right)^2+5=\left(32\right)^2+5"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cequiv4%5E2%2B5%5C%20%5Cleft(%5Ctext%7Bmod%7D%5C%207%5Cright)%3D21%5Cequiv0%5C%20%5Cleft(%5Ctext%7Bmod%7D%5C%207%5Cright)" alt="\equiv4^2+5\ \left(\text{mod}\ 7\right)=21\equiv0\ \left(\text{mod}\ 7\right)"/><br/> <div>V: Pienin luku ... on 0.</div> <div> </div> <div> </div> <div><b>ESIM 4</b>. Jouluaatto 2004 oli perjantai. Mikä se on vuonna 2018?</div> <div> </div> <div>Viikonpäivät ovat kongruentteja modulo 7.</div> <div>Päiviä välissä: 14 * 365 + 3</div> <div>(Joka neljäs vuosi on karkausvuosi. Tasavuosisata on, jos se on jaollinen 400:lla. Siis: 2000, 2004, 2008...)</div> <div> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=14%5Ccdot365%2B3%5Cequiv0%5Ccdot365%2B3%5C%20%5Cequiv3%5C%20%5Cleft(%5Ctext%7Bmod%7D%5C%207%5Cright)" alt="14\cdot365+3\equiv0\cdot365+3\ \equiv3\ \left(\text{mod}\ 7\right)"/></div> <div> </div> <div>Siis tämän vuoden jouluaatto on perjantai + 3 päivää:</div> <div><span class="editor underline">maanantai</span>.</div> <div> </div> <div><b>ESIM 4b.</b><span> Aleksanterin (nimi muutettu) </span>synttärit on 7.10.2000 (vuonna 2018 se on sunnuntai). Minä viikonpäivänä A syntyi?<br/> <br/> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=18%5Ccdot365%2B4%5Cequiv4%5Ccdot1%2B4%5Cequiv8%5Cequiv1%5C%20%5Cleft(%5Ctext%7Bmod%7D%5C%207%5Cright)" alt="18\cdot365+4\equiv4\cdot1+4\equiv8\equiv1\ \left(\text{mod}\ 7\right)"/></div> <div>1 päivä taaksepäin:<span> </span><b><span class="editor underline">lauantai</span></b></div> <div> </div> <div><b>ESIM 5</b>. Määritä jakojäännös, kun <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=753%2B6%5E%7B1201%7D" alt="753+6^{1201}"/> jaetaan 7:llä.<br/> (Korvataan luvut yksinkertaisimmilla kongruenteilla luvuilla mod 7) </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=753%2B6%5E%7B1201%7D%5Cequiv53%2B%5Cleft(-1%5Cright)%5E%7B1201%7D%5Cequiv4-1%5Cequiv3%5C%20%5Cleft(%5Ctext%7Bmod%7D%5C%207%5Cright)" alt="753+6^{1201}\equiv53+\left(-1\right)^{1201}\equiv4-1\equiv3\ \left(\text{mod}\ 7\right)"/> <br/> <br/> </div> <div><b>ESIM 6.<span> </span></b>Osoita, että luku asdf on jaollinen luvulla 7.</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=81%2B703%5Ccdot22%5E%7B18%7D%5Cequiv4%2B3%5Ccdot1%5E%7B18%7D%5Cequiv7%5Cequiv0%5C%20%5Cleft(%5Ctext%7Bmod%7D%5C%207%5Cright)" alt="81+703\cdot22^{18}\equiv4+3\cdot1^{18}\equiv7\equiv0\ \left(\text{mod}\ 7\right)"/><b><br/> </b></div> <div> </div> <div> <div><b>ESIM 7.<span> </span></b>Osoita, että <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=7%5E%7B200%7D%5Cequiv1%5C%20%5Cleft(%5Ctext%7Bmod%7D%5C%205%5Cright)" alt="7^{200}\equiv1\ \left(\text{mod}\ 5\right)"/></div> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=7%5E%7B200%7D%5Cequiv2%5E%7B200%7D%5Cequiv%5Cleft(2%5E2%5Cright)%5E%7B100%7D" alt="7^{200}\equiv2^{200}\equiv\left(2^2\right)^{100}"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cequiv4%5E%7B100%7D%5Cequiv%5Cleft(-1%5Cright)%5E%7B100%7D%5Cequiv1%5C%20%5Cleft(mod%5C%205%5Cright)" alt="\equiv4^{100}\equiv\left(-1\right)^{100}\equiv1\ \left(mod\ 5\right)"/><br/> <div> </div> <div><b>ESIM 8. </b>Mikä on luvun viimeinen numero?</div> <div> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=3%5E%7B2007%7D%5Cequiv3%5E1%5Ccdot3%5E%7B2006%7D%5Cequiv3%5E1%5Ccdot%5Cleft(3%5E2%5Cright)%5E%7B1003%7D" alt="3^{2007}\equiv3^1\cdot3^{2006}\equiv3^1\cdot\left(3^2\right)^{1003}"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cequiv3%5Ccdot9%5E%7B1003%7D%5Cequiv3%5Ccdot%5Cleft(-1%5Cright)%5E%7B1003%7D%5Cequiv-3%5C%20%5Cequiv7%5Cleft(mod%5C%2010%5Cright)" alt="\equiv3\cdot9^{1003}\equiv3\cdot\left(-1\right)^{1003}\equiv-3\ \equiv7\left(mod\ 10\right)"/> <div> </div> <br/>  </div> <div> </div> <div> <br/> <br/> </div> 2025-08-05T13:50:46+03:00