https://peda.net/id/0e1541ea71e 2025-08-05T13:50:46+03:00 https://peda.net/:static/533/peda.net.logo.bg.svg <div class="license">Tämän sivun lisenssi <a rel="license" href="https://peda.net/info">Peda.net-yleislisenssi</a></div> https://peda.net/id/0e15b8b271e 2018-04-23T13:08:55+03:00 <b>159 (kaavamainen ratkaisutapa)</b> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D3%5C%20%5Ctext%7Bdesin%7D%5Ctext%7B%20rasiat%7D%7B%2C%7D%5C%20y%5C%20%3D5%5C%20%5Ctext%7Bdesin%7D" alt="x=3\ \text{desin}\text{ rasiat}{,}\ y\ =5\ \text{desin}"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=8%7B%2C%7D6%3D0%7B%2C%7D3x%2B0%7B%2C%7D5y" alt="8{,}6=0{,}3x+0{,}5y"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=86%3D3x%2B5y" alt="86=3x+5y"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Ctext%7Bsyt%7D%5Cleft(3%7B%2C%7D5%5Cright)%3D1" alt="\text{syt}\left(3{,}5\right)=1"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7B86%7D%7B1%7D%3D86%5C%20%5Ctext%7Bon%20kokonaisluku%2C%20joten%20on%20olemassa%20yksitt%C3%A4isratkaisu%7D" alt="\frac{86}{1}=86\ \text{on kokonaisluku, joten on olemassa yksittäisratkaisu}"/><br/> <span>Eukleideen algoritmi</span><br/> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=5%3D1%5Ccdot3%2B2" alt="5=1\cdot3+2"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=3%3D1%5Ccdot2%2B1" alt="3=1\cdot2+1"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=2%3D2%5Ccdot1" alt="2=2\cdot1"/><br/> <div> </div> <div>Etsitään yksittäisratkaisu:</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=1%3D3-1%5Ccdot2" alt="1=3-1\cdot2"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=1%3D3-1%5Ccdot%5Cleft(5-1%5Ccdot3%5Cright)" alt="1=3-1\cdot\left(5-1\cdot3\right)"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=1%3D3-1%5Ccdot5%2B1%5Ccdot3" alt="1=3-1\cdot5+1\cdot3"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=1%3D2%5Ccdot3-1%5Ccdot5" alt="1=2\cdot3-1\cdot5"/>  || * 86<br/> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=86%3D172%5Ccdot3-86%5Ccdot5" alt="86=172\cdot3-86\cdot5"/></div> <div> </div> <div> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Bcases%7D%0Ax%3D172%2Bn%5Ccdot%5Cfrac%7B5%7D%7B1%7D%3D5n%2B172%26%5C%5C%0Ay%3D-86-n%5Ccdot%5Cfrac%7B3%7D%7B1%7D%3D-3n-86%26%0A%5Cend%7Bcases%7D" alt="\begin{cases}&#10;x=172+n\cdot\frac{5}{1}=5n+172&amp;\\&#10;y=-86-n\cdot\frac{3}{1}=-3n-86&amp;&#10;\end{cases}"/></div> <div>Yksi ratkaisu, jossa x ja y ovat positiivisia, on x = 27 ja y = 1, (kun n = -29)<br/> <br/> <br/> </div> <div> </div> </div> <div><span class="editor underline">V: 27 kolmen desin rasiaa ja 1 viiden desin rasia.</span></div> <p><br/> <span class="editor underline"><b>Nopea ratkaisu</b></span>:<br/> Huomataan, että 86 = 81+5 = 3*27+5*1, joten</p> <div><span class="editor underline">V: 27 kolmen desin rasiaa ja 1 viiden desin rasia.</span></div> <p><br/> <br/> </p> <div>x = 6 puruluun pakkaus</div> <div>y = 10 puruluun pakkaus</div> <div><b> </b></div> <div><b>a) </b></div> <p><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5Ccdot6%2By%5Ccdot10" alt="x\cdot6+y\cdot10"/></p> <div><b>b)</b></div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5Ccdot6%2By%5Ccdot10%3D56" alt="x\cdot6+y\cdot10=56"/></div> <div>(päätellään, että y = 5 ja x = 1 (56 = viisi kymppiä ja yksi kutonen))</div> <div>Tai kaavamaisesti:</div> <div> </div> <p>syt:</p> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=10%3D6%5Ccdot1%2B4" alt="10=6\cdot1+4"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=6%3D4%5Ccdot1%2B2" alt="6=4\cdot1+2"/> &lt;----<br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=4%3D2%5Ccdot2" alt="4=2\cdot2"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Ctext%7Bsyt%7D%5Cleft(10%7B%2C%7D6%5Cright)%3D2" alt="\text{syt}\left(10{,}6\right)=2"/></div> <div>Koska 56 / 2 = 28 on kokonaisluku, yksittäisratkaisu on olemassa. Selvitetään se:</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=2%3D6%5Ccdot1-4%5Ccdot1" alt="2=6\cdot1-4\cdot1"/></div> <p><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=2%3D6%5Ccdot1-%5Cleft(10-6%5Ccdot1%5Cright)%5Ccdot1" alt="2=6\cdot1-\left(10-6\cdot1\right)\cdot1"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=2%3D6%5Ccdot1-10%5Ccdot1%2B6%5Ccdot1" alt="2=6\cdot1-10\cdot1+6\cdot1"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=2%3D6%5Ccdot2-10%5Ccdot1" alt="2=6\cdot2-10\cdot1"/> || * 28 (jotta saadaan 56)</p> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=56%3D56%5Ccdot6-28%5Ccdot10" alt="56=56\cdot6-28\cdot10"/> <div> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Bcases%7D%0Ax%3D56%2Bn%5Ccdot%5Cfrac%7B10%7D%7B2%7D%3D56%2B5n%26%5C%5C%0Ay%3D-28-n%5Ccdot%5Cfrac%7B6%7D%7B2%7D%3D-28-3n%26%0A%5Cend%7Bcases%7D" alt="\begin{cases}&#10;x=56+n\cdot\frac{10}{2}=56+5n&amp;\\&#10;y=-28-n\cdot\frac{6}{2}=-28-3n&amp;&#10;\end{cases}"/></div> <div>Kun n = -10, saadaan</div> <div>x = 56 + 5*(-10) = 6 ja</div> <div>y = -28 - 3*(-10) = 2</div> <div> </div> <div> <div>Kun n = -11, saadaan</div> <div>x = 56 + 5*(-11) = 1 ja</div> <div>y = -28 - 3*(-11) = 5</div> </div> <div> <div>V: 6 kuuden puruluun pakkausta ja 2 kymmenen.</div> </div> <div> <div>V: 1 kuuden puruluun pakkausta ja 5 kymmenen.</div> <div> <br/> <br/> <div><b>163</b></div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=34086%3D14630%5Ccdot2%2B4826" alt="34086=14630\cdot2+4826"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=14630%3D4826%5Ccdot3%2B152" alt="14630=4826\cdot3+152"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=4826%3D152%5Ccdot31%2B114" alt="4826=152\cdot31+114"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=152%3D114%5Ccdot1%2B38" alt="152=114\cdot1+38"/> &lt;---<br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=114%3D38%5Ccdot3" alt="114=38\cdot3"/> <div>=&gt; </div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Ctext%7Bsyt%7D%5Cleft(34086%7B%2C%7D14630%5Cright)%3D38" alt="\text{syt}\left(34086{,}14630\right)=38"/> <div> </div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=38%3D34086a%2B14630b" alt="38=34086a+14630b"/><br/> <div>38 / 38 = 1 on kokonaisluku, joten etsitään yksittäisratkaisu </div> <div> <div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=38%3D%5Cleft(14630-4826%5Ccdot3%5Cright)%5Ccdot1-%5Cleft(4826-%5Cleft(14630-4826%5Ccdot3%5Cright)%5Ccdot31%5Cright)%5Ccdot1" alt="38=\left(14630-4826\cdot3\right)\cdot1-\left(4826-\left(14630-4826\cdot3\right)\cdot31\right)\cdot1"/><br/> (kirjoita geogebraan (a - b*3)*1-(b-(a-b*3)*31)*1)</div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=38%3D32%5Ccdot14630-97%5Ccdot4826" alt="38=32\cdot14630-97\cdot4826"/><br/> <div><br/>  <b>161</b></div> <div> Saadaan syt=3. 800 / 3 ei ole kokonaisluku, joten ei ratkaisua.</div> </div> </div> </div> </div> </div> 2025-08-05T13:50:46+03:00 https://peda.net/id/0e16405371e 2018-04-19T10:15:39+03:00 Jakoyhtälössä a = nq + r <br/> <ul> <li>syt(a, n) = syt(n, r)</li> </ul> joten lukujen a ja n syt saadaan, kun toistetaan jakoyhtälöä, kunnes jakojäännös on 0. Syt on viimeinen nollasta eroava jakojäännös.<br/> Tämä on nimeltään <b>Eukleideen algoritmi</b>.<br/> <br/> <div><b>ESIM.</b> Selvitä lukujen 433 ja 38 suurin yhteinen tekijä jakoyhtälön avulla.</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=433%3A38%3D11%7B%2C%7D39..." alt="433:38=11{,}39..."/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=433-11%5Ccdot38%3D15" alt="433-11\cdot38=15"/> <div>joten jakoyhtälö on:</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=433%3D11%5Ccdot38%2B15" alt="433=11\cdot38+15"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=38%3D2%5Ccdot15%2B8" alt="38=2\cdot15+8"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=15%3D1%5Ccdot8%2B7" alt="15=1\cdot8+7"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=8%3D1%5Ccdot7%2B1" alt="8=1\cdot7+1"/><span> &lt;-- viimeinen nollasta eroava jakojäännös on syt</span><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=7%3D7%5Ccdot1%2B0" alt="7=7\cdot1+0"/> <div>joten syt( 433, 38 ) = 1</div> <br/> <br/> <b>ESIM 1.</b> Mikä on lukujen 343 ja 63 suurin yhteinen tekijä?<br/> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=343%3D5%5Ccdot63%2B28" alt="343=5\cdot63+28"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=63%3D2%5Ccdot28%2B7" alt="63=2\cdot28+7"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=28%3D4%5Ccdot7%2B0" alt="28=4\cdot7+0"/> <div>Siis<span> </span><span class="editor underline">syt(343, 63) = 7.</span></div> <br/> <br/> Pyj saadaan kaavasta <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=a%5Ccdot%20b%3D%5Ctext%7Bsyt%7D%5Cleft(a%7B%2C%7Db%5Cright)%5Ccdot%5Ctext%7Bpyj%7D%5Cleft(a%7B%2C%7Db%5Cright)" alt="a\cdot b=\text{syt}\left(a{,}b\right)\cdot\text{pyj}\left(a{,}b\right)"/> eli<br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Ctext%7Bpyj%7D%5Cleft(a%7B%2C%7Db%5Cright)%3D%5Cfrac%7Ba%5Ccdot%20b%7D%7B%5Ctext%7Bsyt%7D%5Cleft(a%7B%2C%7Db%5Cright)%7D" alt="\text{pyj}\left(a{,}b\right)=\frac{a\cdot b}{\text{syt}\left(a{,}b\right)}"/> .<br/> <br/> <b>ESIM 2.</b> Mikä on lukujen 14 ja 6 pienin yhteinen monikerta?<br/> <br/> ***<br/> <hr></hr><b>Tehtäviä</b><br/> 149, 150, 151, 156, 152, 155, 165a 2025-08-05T13:50:46+03:00 https://peda.net/id/0e16b6b071e 2018-04-19T10:37:36+03:00 <p><b>Diofantoksen yhtälö</b><span> </span>on yleisnimitys yhtälöille, joiden kertoimet ovat kokonaislukuja ja joille etsitään kokonaislukuratkaisuja.<br/> <br/> 1. asteen Diofantoksen yhtälö:<span> </span><span> <em><b>ax + by = c</b></em>  kun </span><span>a</span>,<span> </span><span>b</span>,<span> </span><span>c</span><span> </span>∈ ℤ</p> <ul> <li>Diofantoksen yhtälöllä<span> </span><span>ax</span><span> </span>+<span> </span><span>by</span><span> </span>=<span> </span><span>c</span><span> </span>on jokin ratkaisu (<span>x</span>₀,<span> </span><span>y</span>₀)<br/> jos ja vain jos<br/> <em><span>c</span></em><span> </span>on jaollinen syt(<em><span>a</span></em>, <em><span>b</span></em>):lla eli<span> </span><em><span>c</span></em><span> </span>on syt(<em><span>a</span></em>,<span> </span><em><span>b</span></em>):n monikerta.</li> <li>Tätä ratkaisua (<span>x</span>₀,<span> </span><span>y</span>₀) kutsutaan<span> </span><em><span>yksittäisratkaisuksi</span><span> </span></em>ja se saadaan Eukleideen algoritmin avulla käyttämällä yhtälöä<br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=ax%2Bby%3D%5Ctext%7Bsyt%7D%5Cleft(a%7B%2C%7Db%5Cright)" alt="ax+by=\text{syt}\left(a{,}b\right)"/></li> <li>Diofantoksen yhtälön<span> </span><em><span>yleinen ratkaisu</span><span> </span></em>on kaikkien yksittäisratkaisujen joukko ja se saadaan kaavalla<br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Bcases%7D%0Ax%3D%26x_0%2Bn%5Ccdot%5Cfrac%7Bb%7D%7B%5Ctext%7Bsyt%7D%5Cleft(a%7B%2C%7Db%5Cright)%7D%5C%5C%0Ay%3D%26y_0-n%5Ccdot%5Cfrac%7Ba%7D%7B%5Ctext%7Bsyt%7D%5Cleft(a%7B%2C%7Db%5Cright)%7D%0A%5Cend%7Bcases%7D" alt="\begin{cases}&#10;x=&amp;x_0+n\cdot\frac{b}{\text{syt}\left(a{,}b\right)}\\&#10;y=&amp;y_0-n\cdot\frac{a}{\text{syt}\left(a{,}b\right)}&#10;\end{cases}"/><br/> missä (<span>x</span>₀,<span> </span><span>y</span>₀) on jokin yksittäisratkaisu ja<span> </span><span>n</span><span> </span>∈ ℤ.</li> </ul> <span>Siis: 1) onko c jaollinen sytillä, 2) etsi yksittäisratkaisu </span><span>(</span><span>x</span>₀<span>,<span> </span></span><span>y</span>₀<span><span>), 3) jos tarpeen, esitä yleinen ratkaisu.<br/> <br/> <b>ESIM 3. </b></span></span><span>Ratkaise Diofantoksen yhtälöt</span> <p>a) 128<span>x</span><span> </span>+ 56<span>y</span><span> </span>= 8</p> <div>(a=128, b=56, c=8)<br/> <br/> Eukleideen algoritmilla syt<br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=128%3D56%5Ccdot2%2B16" alt="128=56\cdot2+16"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=56%3D16%5Ccdot3%2B8" alt="56=16\cdot3+8"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=16%3D8%5Ccdot2%2B0" alt="16=8\cdot2+0"/> <div>Siis syt(128, 56) = 8.<br/> <br/> </div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7Bc%7D%7Bsyt%5Cleft(128%7B%2C%7D56%5Cright)%7D%3D%5Cfrac%7B8%7D%7B8%7D%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D" alt="\frac{c}{syt\left(128{,}56\right)}=\frac{8}{8}\in\mathbb{Z}"/>.<br/> =&gt; yhtälöllä on yksittäisratkaisu.</div> <div> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=8%3D56-16%5Ccdot3" alt="8=56-16\cdot3"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=8%3D56-%5Cleft(128-56%5Ccdot2%5Cright)%5Ccdot3" alt="8=56-\left(128-56\cdot2\right)\cdot3"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=8%3D56-3%5Ccdot128%2B6%5Ccdot56" alt="8=56-3\cdot128+6\cdot56"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=8%3D1%5Ccdot56-3%5Ccdot%5Cleft(1%5Ccdot128-2%5Ccdot56%5Cright)" alt="8=1\cdot56-3\cdot\left(1\cdot128-2\cdot56\right)"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=8%3D1%5Ccdot56-3%5Ccdot128%2B6%5Ccdot56" alt="8=1\cdot56-3\cdot128+6\cdot56"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=8%3D-3%5Ccdot128%2B7%5Ccdot56" alt="8=-3\cdot128+7\cdot56"/>,</div> <div>joten yksittäisratkaisu on <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x_0%3D-3%7B%2C%7D%5C%20%5C%20%5C%20y_0%3D%5C%207" alt="x_0=-3{,}\ \ \ y_0=\ 7"/><br/> <div> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Bcases%7D%0Ax%3Dx_0%2Bn%5Ccdot%5Cfrac%7Bb%7D%7B%5Ctext%7Bsyt%7D%5Cleft(a%7B%2C%7Db%5Cright)%7D%26%5C%5C%0Ay%3Dy_0-n%5Ccdot%5Cfrac%7Ba%7D%7B%5Ctext%7Bsyt%7D%5Cleft(a%7B%2C%7Db%5Cright)%7D%26%0A%5Cend%7Bcases%7D" alt="\begin{cases}&#10;x=x_0+n\cdot\frac{b}{\text{syt}\left(a{,}b\right)}&amp;\\&#10;y=y_0-n\cdot\frac{a}{\text{syt}\left(a{,}b\right)}&amp;&#10;\end{cases}"/></div> <div> </div> </div> <div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Bcases%7D%0Ax%3D-3%2Bn%5Ccdot%5Cfrac%7B56%7D%7B8%7D%3D-3%2B7n%26%26%26%5C%5C%0Ay%3D7-n%5Ccdot%5Cfrac%7B128%7D%7B8%7D%3D7-16n%26n%5Cin%26%5Cmathbb%7BZ%7D%26%0A%5Cend%7Bcases%7D" alt="\begin{cases}&#10;x=-3+n\cdot\frac{56}{8}=-3+7n&amp;&amp;&amp;\\&#10;y=7-n\cdot\frac{128}{8}=7-16n&amp;n\in&amp;\mathbb{Z}&amp;&#10;\end{cases}"/></div> <div> </div> </div> <p>b) 128<span>x</span><span> </span>+ 56<span>y</span><span> </span>= 40<br/> <br/> <span>***</span><br/> <br/> c) 128<span>x</span><span> </span>+ 56<span>y</span><span> </span>= 4<br/> <br/> ***<br/> <br/> <b>ESIM 4.</b> Ratkaise Diofantoksen yhtälö 4<span>x</span><span> </span>– 15<span>y</span><span> </span>= 3.</p> <p><span>***</span><br/> <br/> <b>ESIM 5.</b> Isä osti kaupasta kahvia 40 eurolla. Toinen kahvilajike oli maksanut 2,30 e paketilta ja toinen 1,60 e paketilta. Isä osti vain näitä kahta kahvilajiketta. Kuinka monta pakkausta isä oli ostanut kumpaakin lajiketta?<br/> <br/> <span>***<br/> <br/> </span></p> <hr></hr><b>Tehtäviä</b><br/> 154, 157, 158, 159, 163, 164, 165b, 168, ... 2025-08-05T13:50:46+03:00