MAA11 Kähkönen
https://peda.net/id/0e12693871e
2025-08-05T13:50:46+03:00
https://peda.net/:static/533/peda.net.logo.bg.svg
<div class="license">Tämän sivun lisenssi <a rel="license" href="https://peda.net/info">Peda.net-yleislisenssi</a></div>
Esimerkit
https://peda.net/id/0e1bcd3671e
2018-04-24T15:34:48+03:00
a)
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=45%5Cequiv3%5Cleft(mod%5C%207%5Cright)%5C%20%5CLeftrightarrow%5C%20%5Cfrac%7B45-3%7D%7B7%7D%3D%5Cfrac%7B42%7D%7B7%7D%3D6%5C%20%5Ctext%7Bon%7D%5C%20%5Ctext%7Bkokonaisluku%7D" alt="45\equiv3\left(mod\ 7\right)\ \Leftrightarrow\ \frac{45-3}{7}=\frac{42}{7}=6\ \text{on}\ \text{kokonaisluku}"/></div>
<div>joten on kongruentti modulo 7.</div>
<div><br/>
<div>b)</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=19%5Cequiv-37%5Cleft(mod%5C%208%5Cright)%5C%20%5CLeftrightarrow%5C%20%5Cfrac%7B19-%5Cleft(-37%5Cright)%7D%7B8%7D%3D%5Cfrac%7B56%7D%7B8%7D%3D7%5C%20%5Ctext%7Bon%7D%5C%20%5Ctext%7Bkokonaisluku%7D" alt="19\equiv-37\left(mod\ 8\right)\ \Leftrightarrow\ \frac{19-\left(-37\right)}{8}=\frac{56}{8}=7\ \text{on}\ \text{kokonaisluku}"/></div>
<div>joten on kongruentti modulo 8.</div>
<br/>
<div>c)</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=376%5Cequiv0%5Cleft(mod%5C%208%5Cright)%5C%20%5CLeftrightarrow%5C%20%5Cfrac%7B376-0%7D%7B8%7D%3D%5Cfrac%7B376%7D%7B8%7D%3D%5C%2047%5C%20%5Ctext%7Bon%7D%5C%20%5Ctext%7Bkokonaisluku%7D" alt="376\equiv0\left(mod\ 8\right)\ \Leftrightarrow\ \frac{376-0}{8}=\frac{376}{8}=\ 47\ \text{on}\ \text{kokonaisluku}"/></div>
<div>
<div>joten on kongruentti modulo 8.</div>
</div>
<div><b>ESIM 2</b></div>
<div>Onko <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=45%5Cequiv5%5Cleft(mod%5C%207%5Cright)" alt="45\equiv5\left(mod\ 7\right)"/>?</div>
<div>45 = 7*6 + 3</div>
<div>5 = 7*0 + 5</div>
<div>Jakojäännös on eri, joten eivät ole kongruentteja.</div>
</div>
2025-08-05T13:50:46+03:00
Muistiinpanot
https://peda.net/id/0e1c2cc371e
2018-04-12T11:51:09+03:00
<a href="https://peda.net/p/Kahkonen/maa11-vihko/1jjj2">MAA11-vihkossa</a>
2025-08-05T13:50:46+03:00
0. Logiikasta
https://peda.net/id/0e20084771e
2018-04-12T10:10:03+03:00
<p>”<strong>Logiikka</strong><span> </span>(kreikan sanasta<span> </span><em>λογική</em><span> </span>[logikē], johdettu sanasta<span> </span><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Logos" rel="nofollow ugc noopener"><em>λόγος</em></a><span> </span>[logos], ”sana”, ”järjestys”, ”järki”) on tieteenala, joka tutkii<span> </span><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/P%C3%A4%C3%A4ttely" rel="nofollow ugc noopener">päättelyn</a><span> </span>ja ajattelun muotoja, erityisesti<span> </span><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Deduktiivinen_p%C3%A4%C3%A4ttely" rel="nofollow ugc noopener">deduktiivista päättelyä</a>.”<br/>
Logiikka. (2.2.2015).<span> </span><em>Wikipedia</em>. Haettu 19.09, 6.10.2015 osoitteesta <a href="http://fi.wikipedia.org/w/index.php?title=Logiikka&oldid=14635879." rel="nofollow ugc noopener">http://fi.wikipedia.org/w/index.php?title=Logiikka&oldid=14635879.</a><br/>
<br/>
</p>
<p><b>ESIM 1.</b></p>
<p>Premissi 1: Kaikki ihmiset ovat kuolevaisia.</p>
<p>Premissi 2: Sokrates on ihminen.</p>
<p>Johtopäätös: Sokrates on kuolevainen.<br/>
<br/>
</p>
<p><b>ESIM 2.</b></p>
<p><span>Premissi 1: Esko on mies.</span><br/>
<span>Premissi 2: Mies ei ole nainen.</span></p>
<p>Johtopäätös: Esko ei ole nainen.</p>
<p> </p>
<p><b>ESIM 3.</b></p>
<pre> Ratkaise yhtälö 2x – 3 = 7.
2x – 3 = 7 || Lisätään puolittain 3, –a = + (–a)
⇔ 2x + (–3) + 3 = 7 + 3 || Vastalukujen summa = 0, sievennys
⇔ 2x + 0 = 10 || Nollan lisääminen a + 0 = a
⇔ 2x = 10 || Kerrotaan puolittain luvulla ½, osittelulaki
⇔ (½ * 2) * x = ½ * 10 || Käänteislukujen tulo = 1
⇔ 1 * x = 5 || Ykkösellä kertominen 1a = a
⇔ x = 5</pre>
<p> </p>
<p><b><span>ESIM 4.</span></b> Kaksi-Maassa syylliset valehtelevat aina ja syyttömät puhuvat totta. Aramir ja Beramir ovat epäiltyjä. Aramir kertoo: ”Olen syyllinen tai Beramir on syyllinen.” Beramir puolestaan totetaa: ” Olen syyllinen ja Aramir on syyllinen.” Mikä on totuus?</p>
<p><span class="editor underline">Ratkaisu:</span></p>
<div>A = 1 tarkoittaa "Aramir syyllinen"</div>
<div>B = 1 tarkoittaa "Beramir syyllinen"</div>
<div> </div>
<p><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7Cl%7D%0AA%26B%26A%5C%20tai%5C%20B%26B%5C%20ja%5C%20A%5C%5C%0A%5Chline%0A1%261%261%261%5C%5C%0A1%260%261%260%5C%5C%0A0%261%261%260%5C%5C%0A0%260%260%260%0A%5Cend%7Barray%7D" alt="\begin{array}{l|l} A&B&A\ tai\ B&B\ ja\ A\\ \hline 1&1&1&1\\ 1&0&1&0\\ 0&1&1&0\\ 0&0&0&0 \end{array}"/></p>
<div>Aramir on syytön ja Beramir syyllinen (kolmannella rivillä syytön A puhuu totta (1) ja syyllinen B valehtelee (0)).</div>
<div><br/>
<div> </div>
</div>
2025-08-05T13:50:46+03:00