https://peda.net/id/0c5b13f071e 2025-08-05T13:50:46+03:00 https://peda.net/:static/533/peda.net.logo.bg.svg <div class="license">Tämän sivun lisenssi <a rel="license" href="https://peda.net/info">Peda.net-yleislisenssi</a></div> https://peda.net/id/0c5c5b7b71e 2018-11-14T21:25:37+02:00 Haluamme tutkia funktion kulkua, koska meitä kiinnostaa suurin ja pienin arvo.<br/> <ul> <li>onko funktio <b>määritelty</b>? onko se <b>jatkuva</b>? onko se <b>derivoituva</b>? <ul> <li>polynomifunktio on</li> <li>rationaalifunktio (polynomi / polynomi) on, paitsi ei määritelty nimittäjän nollakohdissa; muuten jatkuva</li> </ul> </li> <li>funktio voi muuttaa kasvusuuntaa derivaatan nollakohdissa</li> <li>funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteissä tai derivaatan nollakohdissa</li> <li>raja-arvoa tarvitaan, kun tutkitaan jatkuvuutta: vasen- ja oikeanpuoleinen raja-arvo oltava sama <ul> <li>(ja kun tutkitaan derivoituvuutta: erotusosamäärän raja-arvo oltava olemassa. Helpommin: polynomifunktiot derivoituvia, rationaalifunktiot derivoituvia määrittelyjoukossaan)</li> </ul> </li> </ul> Siis keskeistä on derivoiminen, derivoiminen ja derivoiminen, sen jälkeen derivaattafunktion nollakohdat ja derivaatan merkit (+ tai -) nollakohtien välissä.<br/> <br/> Raja-arvot pitää osata laskea myös rationaalilausekkeilla. 2025-08-05T13:50:46+03:00 https://peda.net/id/0c5ce0b071e 2017-11-13T08:57:47+02:00 <span>a)</span> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow3%7D%5Cfrac%7B2x%2B3%7D%7Bx-1%7D%3D%5Cfrac%7B2%5Ccdot3%2B3%7D%7B3-1%7D%3D%5Cfrac%7B9%7D%7B2%7D" alt="\lim_{x\rightarrow3}\frac{2x+3}{x-1}=\frac{2\cdot3+3}{3-1}=\frac{9}{2}"/><br/> <div><br/> b)</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow0%7D%5Cfrac%7B2x%5E2-4%5C%20x%7D%7B2x%7D%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow0%7D%5Cfrac%7B2x%5Cleft(x-2%5Cright)%7D%7B2x%7D" alt="\lim_{x\rightarrow0}\frac{2x^2-4\ x}{2x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{2x\left(x-2\right)}{2x}"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow0%7D%5Cleft(x-2%5Cright)%3D0-2%3D-2" alt="=\lim_{x\rightarrow0}\left(x-2\right)=0-2=-2"/><br/> <br/> c)<br/> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow3%7D%5Cfrac%7Bx%5E2-3%5C%20x%7D%7Bx-3%7D%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow3%7D%5Cfrac%7Bx%5Cleft(x-3%5Cright)%7D%7Bx-3%7D" alt="\lim_{x\rightarrow3}\frac{x^2-3\ x}{x-3}=\lim_{x\rightarrow3}\frac{x\left(x-3\right)}{x-3}"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow3%7D%5C%20x%3D3" alt="=\lim_{x\rightarrow3}\ x=3"/></div> <div><br/> d)</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow2%7D%5C%20%5Cfrac%7Bx%5E2-4%7D%7Bx-2%7D%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow2%7D%5C%20%5Cfrac%7B%5Cleft(x-2%5Cright)%5Cleft(x%2B2%5Cright)%7D%7Bx-2%7D" alt="\lim_{x\rightarrow2}\ \frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2}\ \frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{x-2}"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow2%7D%5C%20%5Cleft(x%2B2%5Cright)%5C%20%3D2%2B2%3D4" alt="=\lim_{x\rightarrow2}\ \left(x+2\right)\ =2+2=4"/><br/> <div><br/> e)</div> <div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow2%7D%5C%20%5Cfrac%7Bx%5E2-4%7D%7B4-x%5E2%7D%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow2%7D%5C%20%5Cfrac%7Bx%5E2-4%7D%7B-%5Cleft(-4%2Bx%5E2%5Cright)%7D" alt="\lim_{x\rightarrow2}\ \frac{x^2-4}{4-x^2}=\lim_{x\rightarrow2}\ \frac{x^2-4}{-\left(-4+x^2\right)}"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow2%7D%5C%20%5Cfrac%7Bx%5E2-4%7D%7B-%5Cleft(x%5E2-4%5Cright)%7D%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow2%7D%5C%20%5Cfrac%7B1%7D%7B-1%7D%3D-1" alt="=\lim_{x\rightarrow2}\ \frac{x^2-4}{-\left(x^2-4\right)}=\lim_{x\rightarrow2}\ \frac{1}{-1}=-1"/></div> 2025-08-05T13:50:46+03:00 https://peda.net/id/0c5d513b71e 2018-11-14T21:51:34+02:00 <b>Polynomi- ja rationaalifunktio<br/> 1.</b> Milloin funktio on a) määritelty? b) jatkuva? c) derivoituva?<br/> A) [[$ f(x) = 2x^3 - 4x $]]<br/> B) [[$ g(x) = \frac{4x^2 - 16}{x-2} $]]<br/> <em>(Malliratkaisu: <a href="https://peda.net/p/Kahkonen/o/maa/maa06-k%C3%A4hk%C3%B6nen/kertaus-luonnos/luonnos/kertaus1-ggb#top" class="service">Kertaus1.ggb</a>​ &lt;- puuttuu, että &quot;g ei määritelty, kun x = 2. (piirretään vielä tyhjä pallo pisteeseen (2, g(2)) )</em><br/> <br/> <b>Kulkukaavio – Geogebra-esimerkki<br/> 2.</b> Piirrä funktion [[$ f(x) = \frac{4x^3 - 2}{x-2} $]] kuvaaja.<br/> <em>(Tee ensin kulkukaavio. ​Malliratkaisu: <a href="https://peda.net/p/Kahkonen/o/maa/maa06-k%C3%A4hk%C3%B6nen/kertaus-luonnos/luonnos/kertaus2-ggb#top" class="service">Kertaus2.ggb</a>​ ja toinen <a href="https://peda.net/p/Kahkonen/o/maa/maa06-k%C3%A4hk%C3%B6nen/kertaus-luonnos/luonnos/kertaus2b-ggb#top" class="service">Kertaus2b.ggb</a>​, huom. kolmannen asteen funktio, nollakohdat kirjoitettu likiarvoina)<br/> </em> <ul> <li>Kokeile piirtoikkunassa hiiren oikea -&gt; &quot;Näytä kaikki objektit&quot;</li> </ul> <br/> <br/> <b>Raja-arvo<br/> 3.</b> Määritä raja-arvo<br/> a) <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow3%7D%5Cfrac%7B2x%2B3%7D%7Bx-1%7D" alt="\lim_{x\rightarrow3}\frac{2x+3}{x-1}"/> <div>b) <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow0%7D%5Cfrac%7B2x%5E2-4x%7D%7B2x%7D" alt="\lim_{x\rightarrow0}\frac{2x^2-4x}{2x}"/></div> c) <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow3%7D%5Cfrac%7Bx%5E2-3x%7D%7Bx-3%7D" alt="\lim_{x\rightarrow3}\frac{x^2-3x}{x-3}"/><br/> d) <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow2%7D%5Cfrac%7Bx%5E2-4%7D%7Bx-2%7D" alt="\lim_{x\rightarrow2}\frac{x^2-4}{x-2}"/><br/> e) <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow2%7D%5Cfrac%7Bx%5E2-4%7D%7B4-x%5E2%7D" alt="\lim_{x\rightarrow2}\frac{x^2-4}{4-x^2}"/><br/> <em><br/> (Malliratkaisu: <a href="https://peda.net/kouvola/kl/kuusankosken-lukio/oppiaineet/pitk%C3%A4-matematiikka/maa06/maa06-k%C3%A4hk%C3%B6nen/kertaus-luonnos/kertaus3">Kertaus3</a>)</em><br/> <br/> <b>Jatkuvuus</b><br/> <b>4.</b> <span>Määritä sellainen vakio </span><em>a</em><span>, että funktio </span>[[$ f(x) = \begin{cases} ax+1 &amp; \text{kun } x&lt;2 \\ ax^2+x &amp; \text{kun } x \geq 2\end{cases} $]] on jatkuva koko määrittelyjoukossaan.<br/> <br/> <em>(Malliratkaisu: <a href="https://peda.net/p/Kahkonen/o/maa/maa06-k%C3%A4hk%C3%B6nen/kertaus-luonnos/luonnos/kertaus4-ggb#top" class="service">Kertaus4 (1).ggb</a>​)</em><br/> <br/> <b>Derivointi</b><br/> <b>5.</b> Derivoi<br/> <br/> a) <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D4" alt="f\left(x\right)=4"/><br/> <br/> b) <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=g%5Cleft(x%5Cright)%3D4x%5E5-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7Dx%5E3%2B2x-5" alt="g\left(x\right)=4x^5-\frac{2}{3}x^3+2x-5"/> <br/> <br/> c) <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=h%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cleft(4x-3%5Cright)%5Cleft(3x%5E2%2B2x%5Cright)" alt="h\left(x\right)=\left(4x-3\right)\left(3x^2+2x\right)"/><br/> <br/> d) <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=i%5Cleft(x%5Cright)%3Dx%5E%7B-6%7D" alt="i\left(x\right)=x^{-6}"/><br/> <br/> e) <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=j%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cfrac%7B4x%5E2-3%7D%7B2x%7D" alt="j\left(x\right)=\frac{4x^2-3}{2x}"/><br/> <br/> f) <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=k%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cleft(4x%5E2-3%5Cright)%5E3" alt="k\left(x\right)=\left(4x^2-3\right)^3"/><br/> <br/> <em>(Vastaukset: <a href="https://peda.net/p/Kahkonen/o/maa/maa06-k%C3%A4hk%C3%B6nen/kertaus-luonnos/luonnos/kertaus5-ggb#top" class="service">Kertaus5.ggb</a>​)<br/> </em><br/> <b>6.</b> Ratkaise derivaatan nollakohdat (miel. käsin, ratkaise myös Geogebralla).<br/> <br/> a) <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D5x%5E2-2x" alt="f\left(x\right)=5x^2-2x"/><br/> <br/> b) <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=g%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cfrac%7Bx%5E3-1%7D%7B5x%7D" alt="g\left(x\right)=\frac{x^3-1}{5x}"/> <br/> <em><br/> (Malliratkaisu: <a href="https://peda.net/p/Kahkonen/o/maa/maa06-k%C3%A4hk%C3%B6nen/kertaus-luonnos/luonnos/kertaus6-ggb#top" class="service">Kertaus6.ggb</a>​)</em><br/> <br/> <b>Kasvaminen ja väheneminen</b><br/> <b>7.</b> <span>Millä vakion </span><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=a" alt="a"/> <span>arvoilla</span><span> funktio </span><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3Dx%5E3%2Bax%5E2-3x%5C%20%2Ba" alt="f\left(x\right)=x^3+ax^2-3x\ +a"/><span> on kaikkialla kasvava? <br/> (<em>Malliratkaisu:<a href="https://peda.net/p/Kahkonen/o/maa/maa06-k%C3%A4hk%C3%B6nen/kertaus-luonnos/luonnos/kertaus7-ggb#top" class="service">Kertaus7.ggb</a></em>​)</span><br/> <br/> <br/> <b>Ääriarvot</b><br/> <b>8.</b><span> Mikä on funktion </span><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D5-11x%2B7x%5E2-x%5E3" alt="f\left(x\right)=5-11x+7x^2-x^3"/><span> suurin arvo välillä ]</span><span>0</span><span>,</span><span>4</span><span>]?<br/> </span><em>(Malliratkaisu: <a href="https://peda.net/p/Kahkonen/o/maa/maa06-k%C3%A4hk%C3%B6nen/kertaus-luonnos/luonnos/kertaus8-ggb#top" class="service">Kertaus8.ggb</a>​)</em><br/> <b><br/> 9.</b><span><span> Mikä on funktion <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cfrac%7Bx%5E2%2B2%7D%7B3x%7D" alt="f\left(x\right)=\frac{x^2+2}{3x}"/><span> suurin arvo välillä [-2, 0[ ja pienin arvo välillä ]0, 2]?<br/> </span></span></span><span><em>(Malliratkaisu: <a href="https://peda.net/p/Kahkonen/o/maa/maa06-k%C3%A4hk%C3%B6nen/kertaus-luonnos/luonnos/kertaus9-ggb2#top" class="service">Kertaus9.ggb</a>​)</em><br/> </span><br/> <b>10.</b> <span>Kullankaivaja haluaa merkata jokivarren valtauksensa. Hänellä on aitatarpeita 500 metrin verran. Mitkä ovat tontin sivujen pituudet, kun kaivaja haluaa alueen pinta-alasta mahdollisimman suuren?<br/> <em>(Malliratkaisu: </em></span><em><a href="https://peda.net/p/Kahkonen/o/maa/maa06-k%C3%A4hk%C3%B6nen/kertaus-luonnos/luonnos/kertaus9-ggb#top" class="service">Kertaus10.ggb</a>​)</em><br/> <br/> <b>11.</b> Heitetään hatusta suklaan piristävän vaikutuksen suuruutta kuvaava kaava: <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f(x)%3D%5Cfrac%7B5x%7D%7Bx%5E3-2x%2B4%7D" alt="f(x)=\frac{5x}{x^3-2x+4}"/>, missä <em>x</em> on aika minuutteina suklaan syömisen jälkeen. Milloin vaikutus on suurin?<br/> <em>(Malliratkaisu: <a href="https://peda.net/p/Kahkonen/o/maa/maa06-k%C3%A4hk%C3%B6nen/kertaus-luonnos/luonnos/kertaus10-ggb#top" class="service">Kertaus11.ggb</a>​)<br/> </em><br/> <b>12.</b> Osoita, että funktiolla <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cfrac%7B3x-2%7D%7Bx%5E2-x%7D" alt="f\left(x\right)=\frac{3x-2}{x^2-x}"/> on vain yksi nollakohta välillä [-1, 2]. <div><em>(Malliratkaisu: <a href="https://peda.net/p/Kahkonen/o/maa/maa06-k%C3%A4hk%C3%B6nen/kertaus-luonnos/luonnos/kertaus12-ggb#top" class="service">Kertaus12.ggb</a>​)</em><br/> <br/> <b>(13.</b> Mikä on funktion <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cfrac%7B3x%7D%7Bx%5E2%2B2%7D" alt="f\left(x\right)=\frac{3x}{x^2+2}"/> suurin ja pienin arvo?<b>)</b></div> 2025-08-05T13:50:46+03:00 https://peda.net/id/0c6320cf71e 2017-11-08T01:07:06+02:00 <b>Derivaatta on</b><br/> -tangentin kulmakerroin<br/> -funktion kasvunopeus<br/> -<a href="http://kisallioppiminen.fi/kurssit/maa6/luku4/" rel="nofollow ugc noopener">erotusosamäärän raja-arvo</a><br/> <br/> <b>Funktion ominaisuuksia kohdassa <em>x</em> = <em>a</em></b><br/> - onko <em>määritelty</em> (= voiko <em>x</em> saada arvon <em>a</em>?)<br/> - onko <em>raja-arvo </em>(= voiko raja-arvon laskea? onko vasemman- ja oikeanpuoleiset raja-arvot samat?)<br/> - onko <em>jatkuva</em> (= onko raja-arvo ja funktion arvo sama?)<br/> - onko <em>derivoituva</em> (= onko erotusosamäärällä raja-arvoa?)<br/> - onko <em>kasvava</em> vai <em>vähenevä</em>? (= derivaatan merkki + vai -)<br/> <br/> <b>Funktion kulun tutkiminen</b><br/> - valitse muuttuja, selvitä funktio (usein annettu jo, paitsi sanallisissa)<br/> - muuttujan <span>määrittelyjoukko </span>(esim. pituus &gt; 0)<br/> - derivoi funktio (<em>derivointisäännöt!</em>)<br/> - selvitä derivaatan merkit<br/> -- ratkaise derivaatan nollakohdat ja merkki niiden välissä<br/> -- (tai ratkaise epäyhtälöt f'(x) &gt; 0 ja f'(x) &lt; 0)<br/> - tee kulkukaavio<br/> <em><span>–</span><span>–</span>huom!</em> muuttujan määrittelyjoukko ja funktion epäjatkuvuuskohdat<br/> <span>––<em>huom!</em> </span>kulkukaaviota ei aina tarvita: jatkuvassa funktiossa suurin ja pienin arvo löydetään välin päätepisteistä tai derivaatan nollakohdista.<br/> - vastaa kulkukaavion avulla kysymykseen (esim laske suurin arvo f(x), pienin jne.) 2025-08-05T13:50:46+03:00