https://peda.net/id/0c30937871e 2025-08-05T13:50:46+03:00 https://peda.net/:static/535/peda.net.logo.bg.svg <div class="license">Tämän sivun lisenssi <a rel="license" href="https://peda.net/info">Peda.net-yleislisenssi</a></div> https://peda.net/id/0c30f32371e 2018-04-18T09:11:49+03:00 <b>ESIM 1.</b><span><span> </span>Olkoon vektori </span><b>u</b><span> = 3</span><b>i</b><span> + 4</span><b>j</b><span>.</span><br/> <span>a) Laske vektorin pituus.</span> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cleft%7C%5Coverline%7Bu%7D%5Cright%7C%3D%5Csqrt%7B3%5E2%2B4%5E2%7D%3D%5Csqrt%7B9%2B16%7D%3D%5Csqrt%7B25%7D%3D5" alt="\left|\overline{u}\right|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5"/><br/> b) Määritä yksikkövektori <b>u</b>°.</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Coverline%7Bu%7D%5E0%3D%5Cfrac%7B%5Coverline%7Bu%7D%7D%7B%5Cleft%7C%5Coverline%7Bu%7D%5Cright%7C%7D%3D%5Cfrac%7B3%5Coverline%7Bi%7D%2B4%5Coverline%7Bj%7D%7D%7B5%7D%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D%5Coverline%7Bi%7D%2B%5Cfrac%7B4%7D%7B5%7D%5Coverline%7Bj%7D" alt="\overline{u}^0=\frac{\overline{u}}{\left|\overline{u}\right|}=\frac{3\overline{i}+4\overline{j}}{5}=\frac{3}{5}\overline{i}+\frac{4}{5}\overline{j}"/><br/> c) Määritä vektori <b>v</b> siten, että sen pituus on 2 ja suunta vastakkainen vektorille <b>u</b>.</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Coverline%7Bv%7D%3D-2%5Ccdot%5Coverline%7Bu%7D%5E0%3D-2%5Cleft(%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D%5Coverline%7Bi%7D%2B%5Cfrac%7B4%7D%7B5%7D%5Coverline%7Bj%7D%5Cright)%3D-%5Cfrac%7B6%7D%7B5%7D%5Coverline%7Bi%7D-%5Cfrac%7B8%7D%7B5%7D%5Coverline%7Bj%7D" alt="\overline{v}=-2\cdot\overline{u}^0=-2\left(\frac{3}{5}\overline{i}+\frac{4}{5}\overline{j}\right)=-\frac{6}{5}\overline{i}-\frac{8}{5}\overline{j}"/><br/> d) Mitkä ovat pisteen B koordinaatit, kun A = (-2, 1) ja <b>AB</b> = <b>u</b>?</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Coverline%7BOB%7D%3D%5Coverline%7BOA%7D%2B%5Coverline%7BAB%7D%3D%5Coverline%7BOA%7D%2B%5Coverline%7Bu%7D" alt="\overline{OB}=\overline{OA}+\overline{AB}=\overline{OA}+\overline{u}"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3D-2%5Coverline%7Bi%7D%2B1%5Coverline%7Bj%7D%2B%5Cleft(3%5Coverline%7Bi%7D%2B4%5Coverline%7Bj%7D%5Cright)%3D1%5Coverline%7Bi%7D%2B5%5Coverline%7Bj%7D" alt="=-2\overline{i}+1\overline{j}+\left(3\overline{i}+4\overline{j}\right)=1\overline{i}+5\overline{j}"/><br/> <div>Siis:<span> </span><span class="editor underline">B = (1, 5)<br/> <br/> </span> <div><b>ESIM 2</b>. Piste P jakaa janan AB suhteessa 1 : 2. Määritä P, kun A = (–2, 2) ja B = (4, 5).</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Coverline%7BOP%7D%3D%5Coverline%7BOA%7D%2B%5Coverline%7BAP%7D%3D%5Coverline%7BOA%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Ccdot%5Coverline%7BAB%7D" alt="\overline{OP}=\overline{OA}+\overline{AP}=\overline{OA}+\frac{1}{3}\cdot\overline{AB}"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3D-2%5C%20%5Coverline%7Bi%7D%2B2%5C%20%5Coverline%7Bj%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Ccdot%5Cleft(%5Cleft(4-%5Cleft(-2%5Cright)%5Cright)%5Coverline%7Bi%7D%2B%5Cleft(5-2%5Cright)%5Coverline%7Bj%7D%5Cright)" alt="=-2\ \overline{i}+2\ \overline{j}+\frac{1}{3}\cdot\left(\left(4-\left(-2\right)\right)\overline{i}+\left(5-2\right)\overline{j}\right)"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3D-2%5C%20%5Coverline%7Bi%7D%2B2%5C%20%5Coverline%7Bj%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Ccdot%5Cleft(6%5C%20%5Coverline%7Bi%7D%2B3%5C%20%5Coverline%7Bj%7D%5Cright)" alt="=-2\ \overline{i}+2\ \overline{j}+\frac{1}{3}\cdot\left(6\ \overline{i}+3\ \overline{j}\right)"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3D-2%5C%20%5Coverline%7Bi%7D%2B2%5C%20%5Coverline%7Bj%7D%2B2%5C%20%5Coverline%7Bi%7D%2B1%5C%20%5Coverline%7Bj%7D%3D0%5C%20%5Coverline%7Bi%7D%5C%20%2B3%5C%20%5Coverline%7Bj%7D" alt="=-2\ \overline{i}+2\ \overline{j}+2\ \overline{i}+1\ \overline{j}=0\ \overline{i}\ +3\ \overline{j}"/><br/> <div><span class="editor underline">Piste P = (0 , 3)</span></div> </div> 2025-08-05T13:50:46+03:00 https://peda.net/id/0c31ea9a71e 2018-04-18T00:55:14+03:00 Määritellään <em>yksikkövektorit</em> (pituus 1)<br/> <ul> <li><span>vektori </span><b>i</b><span> x-akselin suuntaiseksi</span></li> <li>vektori <b>j</b><span> y-akselin suuntaiseksi</span></li> </ul> Nyt mikä tahansa vektori voidaan ilmaista <b>i</b>:n ja <b>j</b>:n avulla.<br/> <br/> Vektorin <b>u</b> = x<b>i</b> + y<b>j</b> pituus saadaan Pythagoraalta:<br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cleft%7C%5Coverline%7Bu%7D%5Cright%7C%3D%5Csqrt%7Bx%5E2%2By%5E2%7D" alt="\left|\overline{u}\right|=\sqrt{x^2+y^2}"/><br/> <br/> Vektorin <b>u</b> suuntainen yksikkövektori <b>u</b>⁰ saadaan, kun jaetaan vektori omalla pituudellaan:<br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Coverline%7Bu%7D%5E0%3D%5Cfrac%7B%5Coverline%7Bu%7D%7D%7B%5Cleft%7C%5Coverline%7Bu%7D%5Cright%7C%7D" alt="\overline{u}^0=\frac{\overline{u}}{\left|\overline{u}\right|}"/><br/> <br/> Pisteiden A ja B välinen vektori <b>AB</b> saadaan, kun loppupisteen koordinaateista vähennetään alkupisteen koordinaatit:<br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Coverline%7BAB%7D%3D%5Cleft(x_B-x_A%5Cright)%5Coverline%7Bi%7D%2B%5Cleft(y_B-y_A%5Cright)%5Coverline%7Bj%7D" alt="\overline{AB}=\left(x_B-x_A\right)\overline{i}+\left(y_B-y_A\right)\overline{j}"/><br/> <br/> Jokaista tason pistettä P = (x, y) vastaa <b>paikkavektori OP </b>(vektori origosta O pisteeseen P):<br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Coverline%7BOP%7D%3Dx%5C%20%5Coverline%7Bi%7D%2By%5C%20%5Coverline%7Bj%7D" alt="\overline{OP}=x\ \overline{i}+y\ \overline{j}"/><br/> Paikkavektorin komponenttien kertoimet kertovat pisteen koordinaatit ja päinvastoin.<br/> <br/> --------------<br/> <br/> <b>ESIM 1</b>. Olkoon vektori <b>u</b> = 3<b>i</b> + 4<b>j</b>.<br/> a) Laske vektorin pituus.<br/> b) Määritä yksikkövektori <b>u</b>⁰<span>.<br/> </span>c) Määritä vektori <b>v</b> siten, että sen pituus on 2 ja suunta vastakkainen vektorille <b>u</b>.<br/> d) Mitkä ovat pisteen B koordinaatit, kun A = (-2, 1) ja <b>AB</b> = <b>u</b>?<br/> <br/> ***<br/> <br/> <span><b>ESIM 2</b>. Piste </span><em>P</em><span><span> </span>jakaa janan<span> </span></span><em>AB</em><span><span> </span>suhteessa 1 : 2. Määritä<span> </span></span><em>P</em><span>, kun<span> </span></span><em>A</em><span> = (–2, 2) ja<span> </span></span><em>B</em><span> = (4, 5).<br/> </span><br/> ***<br/> ​<a href="https://peda.net/p/Kahkonen/o/maa/maa04-kahkonen/maa04-k%C3%A4hk%C3%B6nen/2vk/2kijj/teoria-ja-esimerkit/kpl-2-1-esim2-ggb#top" class="service">Kpl-2-1-Esim2.ggb</a>​ 2025-08-05T13:50:46+03:00