https://peda.net/id/0c293f2d71e 2025-08-05T13:50:46+03:00 https://peda.net/:static/535/peda.net.logo.bg.svg <div class="license">Tämän sivun lisenssi <a rel="license" href="https://peda.net/info">Peda.net-yleislisenssi</a></div> https://peda.net/id/0c29aa9a71e 2023-03-11T15:21:05+02:00 <div class="mod"><!--filtered attribute: data-md="61"--> <ul> <li><!--filtered attribute: data-hveid="46"--><span class="Y0NH2b CLPzrc"><b>Vektori</b><span> </span>on suure, jolla on suuruus ja suunta.</span></li> </ul> <span class="Y0NH2b CLPzrc">Se voidaan kuvata nuolella, suunnattuna janana, jolloin vektorin suuruus on janan pituus.<br/> Vektorin pituus merkitään samoin kuin janan: <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cleft%7C%5C%20%5Coverline%7Ba%7D%5C%20%5Cright%7C" alt="\left|\ \overline{a}\ \right|"/>.<br/> <br/> <span class="editor underline">Tekstissä vektoriin voidaan viitata eri tavoin</span></span><br/> <ul> <li><!--filtered attribute: data-hveid="46"--><span class="Y0NH2b CLPzrc">yleisin tapa on piirtää nimen ylle viiva tai nuoli: <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Coverline%7Ba%7D" alt="\overline{a}"/> tai <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Coverrightarrow%7Ba%7D" alt="\overrightarrow{a}"/><br/> </span></li> <li><!--filtered attribute: data-hveid="46"--><span class="Y0NH2b CLPzrc"><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=AB" alt="AB"/>, jos vektori kulkee pisteestä A pisteeseen B<br/> <b></b></span></li> <li><!--filtered attribute: data-hveid="46"--><span class="Y0NH2b CLPzrc"><b>a</b>, jos viivaa on hankala kirjoittaa (koneella).</span></li> <li><!--filtered attribute: data-hveid="46"--><span class="Y0NH2b CLPzrc">Voi myös kirjoittaa &quot;a on vektori&quot;.<br/> </span></li> </ul> <br/> <span class="editor underline">Vektorien vertailuun tarvitaan sekä suuruutta että suuntaa</span></div> <ul> <li><!--filtered attribute: data-md="61"-->Vektorit voivat olla yhdensuuntaisia <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cparallel" alt="\parallel"/> ja erisuuntaisia <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cnparallel" alt="\nparallel"/> (ja kohtisuoria <span>⊥</span>) kuten janat,<br/> mutta nuolen suunta huomioiden myös samansuuntaisia <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cuparrow%5Cuparrow" alt="\uparrow\uparrow"/> ja vastakkaissuuntaisia <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cuparrow%5Cdownarrow" alt="\uparrow\downarrow"/>. <ul> <li><!--filtered attribute: data-md="61"-->(merkintä <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cnparallel" alt="\nparallel"/> eli \nparallel puuttuu vielä editorista)</li> </ul> </li> <li><!--filtered attribute: data-md="61"-->Jos vektorit ovat yhtä pitkät, voidaan merkitä <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cleft%7C%5C%20%5Coverline%7Ba%7D%5C%20%5Cright%7C%3D%5Cleft%7C%5C%20%5Coverline%7Bb%7D%5C%20%5Cright%7C" alt="\left|\ \overline{a}\ \right|=\left|\ \overline{b}\ \right|"/>.</li> <li><span>Jos vektorit </span><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Coverline%7Ba%7D" alt="\overline{a}"/><span> ja </span><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Coverline%7Bb%7D" alt="\overline{b}"/><span> ovat sekä yhtä pitkät että<span> </span><b>saman</b>suuntaiset, voidaan merkitä </span><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Coverline%7Ba%7D" alt="\overline{a}"/><span> = </span><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Coverline%7Bb%7D" alt="\overline{b}"/><span>.</span></li> <li>Jos vektorit <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Coverline%7Ba%7D" alt="\overline{a}"/><span> ja </span><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Coverline%7Bb%7D" alt="\overline{b}"/><span> ovat yhtä pitkät mutta <b>vastakkais</b>suuntaiset, voidaan merkitä </span><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Coverline%7Ba%7D" alt="\overline{a}"/><span> = −</span><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Coverline%7Bb%7D" alt="\overline{b}"/><span>. Tällöin <b>a</b> ja <b>b</b> ovat toistensa <em>vastavektoreita</em>.</span></li> </ul> <b>ESIM 1.</b> Mitkä kuvan vektoreista ovat a) yhdensuuntaiset, b) kohtisuorat (kaksi paria riittää), c) samansuuntaiset, d) vastakkaissuuntaiset, e) yhtä pitkät, f) samat?<br/> <a href="https://peda.net/p/Kahkonen/o/maa/maa04-kahkonen/maa04-k%C3%A4hk%C3%B6nen/1-vektori/1gv/1gvl/kpl1-kuva1-png#top" title="Kpl1-kuva1.png"><img src="https://peda.net/p/Kahkonen/o/maa/maa04-kahkonen/maa04-k%C3%A4hk%C3%B6nen/1-vektori/1gv/1gvl/kpl1-kuva1-png:file/photo/eafc626f065f550aa72003cf620dbb3bcc6559e0/Kpl1-kuva1.png" alt="" title="Kpl1-kuva1.png" class="inline" loading="lazy"/></a><br/> <br/> <span class="editor underline">Vektorien välinen kulma</span><br/> <ul> <li><b>Vektorien välinen kulma </b><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Csphericalangle%5Cleft(%5Coverline%7Ba%7D%7B%2C%7D%5C%20%5Coverline%7Bb%7D%5Cright)" alt="\sphericalangle\left(\overline{a}{,}\ \overline{b}\right)"/> on aina väliltä [0°, 180°]. Vektorien ajatellaan lähtevän samasta pisteestä.</li> </ul> <b>ESIM2. </b>Laske kuvan vektorien <b>a</b> ja <b>c</b> välinen kulma.<br/> <br/> <span class="editor underline">Vektorit Geogebrassa</span><br/> <ul> <li>Voidaan piirtää toiminnolla.</li> <li>Voidaan kirjoittaa CAS-näkymään, esim vektori a := (3, 4). Tämä vasta <em>1.4 Komponentit</em> -tunnilla.</li> </ul> 2025-08-05T13:50:46+03:00 https://peda.net/id/0c2aa49271e 2018-04-10T10:49:25+03:00 <b>ESIM 1.</b><br/> a)<br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Coverrightarrow%7Ba%7D%5C%20%5Cparallel%5C%20%5Coverrightarrow%7Bv%7D" alt="\overrightarrow{a}\ \parallel\ \overrightarrow{v}"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Coverrightarrow%7Bu%7D%5C%20%5Cparallel%5C%20%5Coverrightarrow%7Bw%7D" alt="\overrightarrow{u}\ \parallel\ \overrightarrow{w}"/><br/> <br/> b)<br/> <div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Coverline%7Bv%7D%5C%20%5Cperp%5C%20%5Coverline%7Bu%7D" alt="\overline{v}\ \perp\ \overline{u}"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Coverline%7Bv%7D%5C%20%5Cperp%5C%20%5Coverline%7Bw%7D" alt="\overline{v}\ \perp\ \overline{w}"/> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Coverline%7Ba%7D%5C%20%5Cperp%5C%20%5Coverline%7Bu%7D" alt="\overline{a}\ \perp\ \overline{u}"/></div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Coverline%7Ba%7D%5C%20%5Cperp%5C%20%5Coverline%7Bw%7D" alt="\overline{a}\ \perp\ \overline{w}"/>  </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Coverline%7Bc%7D%5C%20%5Cperp%5C%20%5Coverline%7Bb%7D" alt="\overline{c}\ \perp\ \overline{b}"/></div> <br/> c)<br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Coverline%7Bv%7D%5C%20%5Cuparrow%5Cuparrow%5C%20%5Coverline%7Ba%7D" alt="\overline{v}\ \uparrow\uparrow\ \overline{a}"/><br/> <br/> d)<br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Coverline%7Bu%7D%5C%20%5Cuparrow%5Cdownarrow%5C%20%5Coverline%7Bw%7D" alt="\overline{u}\ \uparrow\downarrow\ \overline{w}"/><br/> <br/> e)<br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cleft%7C%5Coverline%7Bu%7D%5Cright%7C%3D%5Cleft%7C%5Coverline%7Bw%7D%5Cright%7C%3D%5Cleft%7C%5Coverline%7Ba%7D%5Cright%7C%5C%20%5C%20%5C%20%5Ctext%7Bja%7D%5C%20%5C%20%5C%20%5Cleft%7C%5Coverline%7Bc%7D%5Cright%7C%3D%5Cleft%7C%5Coverline%7Bc%7D%5Cright%7C" alt="\left|\overline{u}\right|=\left|\overline{w}\right|=\left|\overline{a}\right|\ \ \ \text{ja}\ \ \ \left|\overline{c}\right|=\left|\overline{c}\right|"/><br/> <br/> f)<br/> Ei ole.<br/> <br/> <br/> <b>ESIM 2.</b><br/> <br/> <a href="https://peda.net/p/Kahkonen/o/maa/maa04-kahkonen/maa04-k%C3%A4hk%C3%B6nen/1-vektori/1gv/nimet%C3%B6n-2e0c/l1e2#top" title="Luku 1.1. ESIM 2.png"><img src="https://peda.net/p/Kahkonen/o/maa/maa04-kahkonen/maa04-k%C3%A4hk%C3%B6nen/1-vektori/1gv/nimet%C3%B6n-2e0c/l1e2:file/photo/6e2fb1cf663f8c51eaa3f9933c517f4296df5f5b/Luku%201.1.%20ESIM%202.png" alt="" title="Luku 1.1. ESIM 2.png" class="inline" loading="lazy"/></a><br/> Siirretään vektori <b>c</b> vektorin <b>a</b> alkupisteeseen. Vaakasuoran ja vektorin<b> a</b> välinen kulma on 45°. Vaakasuoran ja vektorin c välinen kulma saadaan suorakulmaisen kolmion trigonometriasta: tan(kulma) = 1/2, kulma = 26,565...°<br/> Joten kulma on 71,6<span>°.<br/> <br/> </span> 2025-08-05T13:50:46+03:00