https://peda.net/id/0992311ae5c 2019-10-03T13:39:11+03:00 https://peda.net/:static/532/peda.net.logo.bg.svg <div class="license">Tämän sivun lisenssi <a rel="license" href="https://peda.net/info">Peda.net-yleislisenssi</a></div> https://peda.net/id/09c58864fe7 2019-11-03T23:00:59+02:00 <span>Kaupan myyntikorissa on kuusi tuoretta sämpylää ja neljä kuivahtautta sämpylää. Korista otetaan peräkkäin kolme sämpylää. Olkoon satunnaismuuttuja X kuivahtaneiden sämpylöiden lukumäärä. Kuinka monta kuivahtanutta sämpylää todennäköisesti saadaan?</span> <div> </div> <div>Ratkaisu:</div> <div>Korissa on 10 sämpylää</div> <div>6 tuoretta, 4 kuivahtautta</div> <div>3 sämpylää peräkkäin </div> <div>X = Kuivahtaneiden sämpylöiden lkm</div> <div>Satunnaismuuttujan mahdolliset arvot ovat 0, 1, 2 ja 3</div> <div>Lasketaan satunnaismuuttujan arvoja vastaavat pistetodennäköisyydet</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=P%5Cleft(X%3D0%5Cright)%3D%5Cfrac%7B%5Cbinom%7B4%7D%7B0%7D%5Cbinom%7B6%7D%7B3%7D%7D%7B%5Cbinom%7B10%7D%7B3%7D%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D" alt="P\left(X=0\right)=\frac{\binom{4}{0}\binom{6}{3}}{\binom{10}{3}}=\frac{1}{6}"/></div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=P%5Cleft(X%3D1%5Cright)%3D%5Cfrac%7B%5Cbinom%7B4%7D%7B1%7D%5Cbinom%7B6%7D%7B2%7D%7D%7B%5Cbinom%7B10%7D%7B3%7D%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D" alt="P\left(X=1\right)=\frac{\binom{4}{1}\binom{6}{2}}{\binom{10}{3}}=\frac{1}{2}"/></div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=P%5Cleft(X%3D2%5Cright)%3D%5Cfrac%7B%5Cbinom%7B4%7D%7B2%7D%5Cbinom%7B6%7D%7B1%7D%7D%7B%5Cbinom%7B10%7D%7B3%7D%7D%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B10%7D" alt="P\left(X=2\right)=\frac{\binom{4}{2}\binom{6}{1}}{\binom{10}{3}}=\frac{3}{10}"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=P%5Cleft(X%3D3%5Cright)%3D%5Cfrac%7B%5Cbinom%7B4%7D%7B3%7D%5Cbinom%7B6%7D%7B0%7D%7D%7B%5Cbinom%7B10%7D%7B3%7D%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B30%7D" alt="P\left(X=3\right)=\frac{\binom{4}{3}\binom{6}{0}}{\binom{10}{3}}=\frac{1}{30}"/><br/> <div>Lasketaan odotusarvo</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=E%5Cleft(X%5Cright)%3D0%5Ccdot%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%2B1%5Ccdot%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B2%5Ccdot%5Cfrac%7B3%7D%7B10%7D%2B3%5Ccdot%5Cfrac%7B1%7D%7B30%7D%3D0%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B10%7D%3D%5Cfrac%7B6%7D%7B5%7D%3D1%7B%2C%7D2" alt="E\left(X\right)=0\cdot\frac{1}{6}+1\cdot\frac{1}{2}+2\cdot\frac{3}{10}+3\cdot\frac{1}{30}=0+\frac{1}{2}+\frac{3}{5}+\frac{1}{10}=\frac{6}{5}=1{,}2"/></div> <div>Sattunaismuuttujan X todennäköisin arvo on 1.</div> <div> </div> <div>2. Erään led-lampputyypin kestoikä noudattaa normaalijakaumaa siten, että keskiarvo on 13000 tuntia ja keskihajonta 1200 tuntia. Aulan kaikkiin kuuteen valaisimeen vaihdetaan syksyllä led-lamput. Jokainen lamppu palaaa kahden vuoden aikana 10950 tuntia. </div> <div>Millä todemmäköisyydellä kahden vuoden kuluttua kaikki kuusi lamppua ovat vielä toimintakuntoisia?</div> <div>Entä millä todennäköisyydellä vähintään 4 lampuista on tuolloin toimintakuntoisia?</div> <div> </div> <div>Ratkaisu:</div> <div>X = Lampun kestoikä (h)</div> <div>X~N(13000, 1200)</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cmathrm%7B%5Cmathrm%7BP%5Cleft(lamppu%5C%20toimii%5C%202%5C%20vuoden%5C%20kuluttua%5Cright)%3DP%5Cleft(lamppu%5C%20kest%C3%A4%C3%A4%5C%20v%C3%A4hint%C3%A4%C3%A4n%5C%2010950%5C%20h%5Cright)%3DP%5Cleft(X%5Cge10950%5Cright)%7D%7D" alt="\mathrm{\mathrm{P\left(lamppu\ toimii\ 2\ vuoden\ kuluttua\right)=P\left(lamppu\ kestää\ vähintään\ 10950\ h\right)=P\left(X\ge10950\right)}}"/></div> <div> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=P%5Cleft(6%5C%20lamppua%5C%20toimii%5C%202%5C%20vuoden%5C%20kuluttua%5Cright)%3D0%7B%2C%7D9562%5E6%3D0.7643...%5Capprox0%7B%2C%7D764" alt="P\left(6\ lamppua\ toimii\ 2\ vuoden\ kuluttua\right)=0{,}9562^6=0.7643...\approx0{,}764"/></div> <span>Lamppu toimii todennäköisyydellä P=0,9562 ja lamppu ei toimii todennäköisyydellä 1-P.</span> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=P%5Cleft(v%C3%A4hint%C3%A4%C3%A4n%5C%204%5C%20lamppua%5C%20toimii%5Cright)%3DP%5Cleft(4%5C%20tai%5C%205%5C%20tai%5C%206%5C%20toimii%5Cright)" alt="P\left(vähintään\ 4\ lamppua\ toimii\right)=P\left(4\ tai\ 5\ tai\ 6\ toimii\right)"/></div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3D%5Cbinom%7B6%7D%7B4%7D0%7B%2C%7D9562%5E4%5Ccdot%5Cleft(1-0%7B%2C%7D9562%5Cright)%5E2%2B%5Cbinom%7B6%7D%7B5%7D0%7B%2C%7D9562%5E5%5Ccdot%5Cleft(1-0%7B%2C%7D9562%5Cright)%2B%5Cbinom%7B6%7D%7B6%7D0%7B%2C%7D9562%5E6%5Ccdot%5Cleft(1-0%7B%2C%7D9562%5Cright)%5E0" alt="=\binom{6}{4}0{,}9562^4\cdot\left(1-0{,}9562\right)^2+\binom{6}{5}0{,}9562^5\cdot\left(1-0{,}9562\right)+\binom{6}{6}0{,}9562^6\cdot\left(1-0{,}9562\right)^0"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Capprox0%7B%2C%7D9988" alt="\approx0{,}9988"/></div> <div> </div> <div>Tapa 2:</div> <div>Olkoon Y = toimivien lamppujen lkm</div> <div>Lamppu toimii todennäköisyydellä P=0,9562</div> <div>Y~Bin(6;0,9562)</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=P%5Cleft(Y%5Cge4%5Cright)%3DP%5Cleft(Y%3D4%5Cright)%2BP%5Cleft(Y%3D5%5Cright)%2BP%5Cleft(Y%3D6%5Cright)%5Capprox0%7B%2C%7D9985%5Cleft(tnlaskkuri%5Cright)" alt="P\left(Y\ge4\right)=P\left(Y=4\right)+P\left(Y=5\right)+P\left(Y=6\right)\approx0{,}9985\left(tnlaskkuri\right)"/></div> <div>V: </div> <div>Kahden vuoen kuluttua 6 lamppua toimivat n.76% tn</div> <div>Vähintään 4 lampuista toimii 99,9% tn</div> 2019-11-03T23:00:59+02:00 https://peda.net/id/d361c7f8f64 2019-10-24T13:48:34+03:00 <div> </div> <div>Muuttuja X sanotaan satunnaismuuttujaksi, jos muuttujan arvo määräytyy satunnaisilmiön mukaan. </div> <div>Esim. nopanheiton silmäluku ja ensi viikon sademäärä pvat satunnaismuuttujia. </div> <div>Diskreetti satunnaismuuttuja saa vain yksittäisiä arvoja. </div> <div>Jatkuva satunnaismuuttuja voi daada tietyllä välillä olevia arvoja.</div> <div> </div> <div>Diskreetin satunaismuuttujan X arvot<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x_1%7B%2C%7D%5C%20x_2%7B%2C%7D%5C%20...%5C%20%7B%2C%7D%5C%20x_3" alt="x_1{,}\ x_2{,}\ ...\ {,}\ x_3"/></div> <div>ja niihin liittyvät pistetodennäköisyydet </div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=p_i%3DP%5Cleft(X%3Dx_i%5Cright)" alt="p_i=P\left(X=x_i\right)"/><span> muodostavat diskreetin todennäköisyysjakauma</span> <div>Pistetodennäköisyyksien summa on 1 eli <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=p_1%2Bp_2%2B...%2Bp_n%3D1" alt="p_1+p_2+...+p_n=1"/></div> <div> </div> <div>401 <div>X=pelaajan voittosumma euroina</div> <div>a) Satunnaismuuttujan mahdollisesti arvot ovat (€) -2, 1, 3 ja 5</div> <div>b) Lasketaan arvojen todennäköisyydet</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=P%5Cleft(x%3D-2%5Cright)%3DP%5Cleft(silm%C3%A4luku%5C%20on%5C%20parillinen%5Cright)%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B6%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D" alt="P\left(x=-2\right)=P\left(silmäluku\ on\ parillinen\right)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}"/></div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=P%5Cleft(x%3D1%5Cright)%3DP%5Cleft(silm%C3%A4luku%5C%20on%5C%201%5Cright)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D" alt="P\left(x=1\right)=P\left(silmäluku\ on\ 1\right)=\frac{1}{6}"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=P%5Cleft(x%3D3%5Cright)%3DP%5Cleft(silm%C3%A4luku%5C%20on%5C%203%5Cright)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D" alt="P\left(x=3\right)=P\left(silmäluku\ on\ 3\right)=\frac{1}{6}"/></div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=P%5Cleft(x%3D5%5Cright)%3DP%5Cleft(silm%C3%A4luku%5C%20on%5C%205%5Cright)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D" alt="P\left(x=5\right)=P\left(silmäluku\ on\ 5\right)=\frac{1}{6}"/><br/> <div>Esitetään jakauma taulukkona ja graafisesti</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7Cl%7D%0Ax%26P%5Cleft(X%3Dx%5Cright)%5C%5C%0A%5Chline%0A-2%26%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%5C%0A1%26%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%5C%5C%0A3%26%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%5C%5C%0A5%26%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%0A%5Cend%7Barray%7D" alt="\begin{array}{l|l}&#10;x&amp;P\left(X=x\right)\\&#10;\hline&#10;-2&amp;\frac{1}{2}\\&#10;1&amp;\frac{1}{6}\\&#10;3&amp;\frac{1}{6}\\&#10;5&amp;\frac{1}{6}&#10;\end{array}"/></div> c)</div> <div>X=3:</div> <div>Voittosummaon kolme euroa eli nopanheitolla tuli 3</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=P%5Cleft(X%3D3%5Cright)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D" alt="P\left(X=3\right)=\frac{1}{6}"/></div> <div>X=-2:</div> <div>Pelaaja häviää kaksi euroa eli nopanheitolla tuli parillinen silmäluku</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=P%5Cleft(X%3D-2%5Cright)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D" alt="P\left(X=-2\right)=\frac{1}{2}"/><br/> <div>X≤3:</div> <div>Voittosumma on korintaan 3 euroa</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=P%5Cleft(X%5Cle3%5Cright)%3DP%5Cleft(X%3D-2%5Cright)%2BP%5Cleft(X%3D1%5Cright)%2BP%5Cleft(X%3D3%5Cright)%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B6%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%3D%5Cfrac%7B5%7D%7B6%7D" alt="P\left(X\le3\right)=P\left(X=-2\right)+P\left(X=1\right)+P\left(X=3\right)=\frac{3}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{5}{6}"/></div> </div> 2019-10-24T13:48:34+03:00 https://peda.net/id/1378c2d4e5c 2019-10-03T13:39:28+03:00 <div>Jos tapahtuman A todennäköisyys ei riipu tapahtumasta B ja toisin päin, ovat A ja B riippumattomia. Tällöin </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=P%5Cleft(A%5C%20ja%5C%20B%5Cright)%3DP%5Cleft(A%5Cright)%5Ccdot%20P%5Cleft(B%5Cright)" alt="P\left(A\ ja\ B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)"/></div> <div>Jos tapahtuman B todennäköisyyteen vaikuttaa tapahtuma A, ovat tapahtumat A ja B toisistaan riippuvia.</div> <div>Merkintä P(B|A) tarkoittaa ehdollista todennäköisyyttä; </div> <div>tapahtuman B todennäköisyys, kun A:n tiedetään tapahtneen.</div> <div>Yleinen kertolaskusääntö </div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=P%5Cleft(A%5C%20ja%5C%20B%5Cright)%3DP%5Cleft(A%5Cright)%5Ccdot%20P%5Cleft(B%5Cmid%20A%5Cright)" alt="P\left(A\ ja\ B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B\mid A\right)"/> <div> </div> <div>244</div> <div> <div>a) Kortiapakassa on 52 korttia, joista patoja on 13 kpl.</div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=P%5Cleft(kaksi%5C%20pataa%5Cright)%3DP%5Cleft(1.kortti%5C%20on%5C%20pata%5C%20ja%5C%202.%5C%20kortti%5C%20on%5C%20pata%5Cright)" alt="P\left(kaksi\ pataa\right)=P\left(1.kortti\ on\ pata\ ja\ 2.\ kortti\ on\ pata\right)"/></div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3D%5Cfrac%7B13%7D%7B52%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B12%7D%7B51%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B17%7D%3D0%7B%2C%7D0588...%5Capprox0%7B%2C%7D059" alt="=\frac{13}{52}\cdot\frac{12}{51}=\frac{1}{17}=0{,}0588...\approx0{,}059"/></div> <div> </div> <div>b) Korttipakassa on 26 mustaa korttia</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=P%5Cleft(Kaksi%5C%20mustaa%5Cright)%3DP%5Cleft(1.%5C%20kortti%5C%20on%5C%20musta%5C%20ja%5C%202.%5C%20kortti%5C%20on%5C%20musta%5Cright)" alt="P\left(Kaksi\ mustaa\right)=P\left(1.\ kortti\ on\ musta\ ja\ 2.\ kortti\ on\ musta\right)"/></div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3D%5Cfrac%7B26%7D%7B52%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B25%7D%7B51%7D%3D%5Cfrac%7B25%7D%7B102%7D%5Capprox0%7B%2C%7D25" alt="=\frac{26}{52}\cdot\frac{25}{51}=\frac{25}{102}\approx0{,}25"/></div> <div> </div> <div>c) A= Ainakin yksi punainen</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=P%5Cleft(A%5Cright)%2BP%5Cleft(%5Coverline%7BA%7D%5Cright)%3D1" alt="P\left(A\right)+P\left(\overline{A}\right)=1"/></div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=P%5Cleft(A%5Cright)%3D1-P%5Cleft(%5Coverline%7BA%7D%5Cright)%3D1-%5Cfrac%7B25%7D%7B102%7D%3D%5Cfrac%7B77%7D%7B102%7D%5Capprox0%7B%2C%7D75" alt="P\left(A\right)=1-P\left(\overline{A}\right)=1-\frac{25}{102}=\frac{77}{102}\approx0{,}75"/></div> <div> </div> <div>249</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=P%5Cleft(tytt%C3%B6%5Cright)%3D49%5C%25" alt="P\left(tyttö\right)=49\%"/></div> <div>a) </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=P%5Cleft(kolme%5C%20poikaa%5Cright)%3DP%5Cleft(1.%5C%20poika%5C%20ja%5C%202.%5C%20poika%5C%20ja%5C%203.%5C%20poika%5Cright)" alt="P\left(kolme\ poikaa\right)=P\left(1.\ poika\ ja\ 2.\ poika\ ja\ 3.\ poika\right)"/></div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3D0%7B%2C%7D51%5Ccdot0%7B%2C%7D51%5Ccdot0%7B%2C%7D51%3D0%7B%2C%7D51%5E3%5C%20%5Capprox0%7B%2C%7D1327%3D13%5C%25" alt="=0{,}51\cdot0{,}51\cdot0{,}51=0{,}51^3\ \approx0{,}1327=13\%"/></div> <div>b)</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=P%5Cleft(kome%5C%20tytt%C3%B6%C3%A4%5Cright)%3DP%5Cleft(1.%5C%20tytt%C3%B6%5C%20ja%5C%202.%5C%20tytt%C3%B6%5C%20ja%5C%203.%5C%20tytt%C3%B6%5Cright)" alt="P\left(kome\ tyttöä\right)=P\left(1.\ tyttö\ ja\ 2.\ tyttö\ ja\ 3.\ tyttö\right)"/></div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3D0%7B%2C%7D49%5Ccdot0%7B%2C%7D49%5Ccdot0%7B%2C%7D49%3D0%7B%2C%7D49%5E3%5Capprox0%7B%2C%7D1176%3D12%5C%25" alt="=0{,}49\cdot0{,}49\cdot0{,}49=0{,}49^3\approx0{,}1176=12\%"/></div> <div>c) A= Ainakin yksi poika</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Coverline%7BA%7D%3D%5C%20Ei%5C%20ollenkaan%5C%20poikia%3D3%5C%20tytt%C3%B6%C3%A4" alt="\overline{A}=\ Ei\ ollenkaan\ poikia=3\ tyttöä"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=P%5Cleft(A%5Cright)%3D1-P%5Cleft(%5Coverline%7BA%7D%5Cright)%3D1-0%7B%2C%7D1176%5Capprox0%7B%2C%7D8824%3D88%5C%25" alt="P\left(A\right)=1-P\left(\overline{A}\right)=1-0{,}1176\approx0{,}8824=88\%"/><br/> <div> </div> <br/> <br/> <br/> <br/> <br/> <br/> <br/> <br/> <div><br/> <div> </div> </div> 2019-10-03T13:39:28+03:00