Esimerkkien ratkaisut

Esimerkin 1 ratkaisu

2021-05-04T09:00:19+03:00

Yön alin lämpötila oli 8,3 °C ja päivän ylin 23,1 °C. Ilmoita nämä lämpötilat sekä lämpötilan muutos kelvineinä.
Helium muuttuu kaasusta nesteeksi lämpötilassa 4,22 K. Ilmoita lämpötila celsiusasteissa.

Ratkaisu

a. Celsiusasteista päästään kelvineihin lisäämällä 273,15. Siispä

[[$\quad 8{,}3\text{ °C}=\left(8{,}3+273{,}15\right)\text{ K}=281{,}45\text{ K}\approx 281{,}5\text{ K}$]] ja

[[$\quad 23{,}1\text{ °C}=\left(23{,}1+273{,}15\right)\text{ K}=296{,}25\text{ K}\approx 296{,}3\text{ K}$]].

Lämpötilan muutos on sama kelvineinä ja celsiusasteina:

[[$\quad 23{,}1\text{ °C}-8{,}3\text{ °C}=14{,}8\text{ °C}$]]

[[$\quad 296{,}3\text{ K}-281{,}5\text{ K}=14{,}8\text{ K}$]].

Lämpötilan muutos on aina samansuuruinen kelvineinä ja celsiusasteina. Ainoastaan lämpötila on eri.

b. Kelvineistä päästään celsiusasteisiin vähentämällä 273,15. Siispä

[[$\quad 4{,}22\text{ K}=\left(4{,}22-273{,}15\right)\text{ °C}=-268{,}93\text{ °C}$]].

Vastaus:
a. Lämpötilat ovat 281,5 K sekä 296,3 K. Lämpötilan muutos on 14,8 K.
b. Helium muuttuu kaasusta nesteeksi lämpötilassa –268,93 °C.

Takaisin

Esimerkin 2 ratkaisu

2021-03-18T09:11:53+02:00

Kahdesta eri metallista on valmistettu yhtä pitkät ohuet liuskat, jotka on niitattu yhteen. Metallien pituuden lämpölaajenemiskertoimet poikkeavat toisistaan. Mitä kaksoismetalliliuskalle tapahtuu, kun sitä lämmitetään?

Ratkaisu

Liuskojen lämmetessä niiden pituudet kasvavat. Toinen venyy kuitenkin enemmän kuin toinen, ja tuloksena kaksoismetalliliuska käyristyy. Viisarilämpömittareissa käytetään kierteellä olevaa kaksoismetalliliuskaa, jonka päähän viisari on liitetty.

Takaisin

Esimerkin 3 ratkaisu

2021-05-04T09:00:46+03:00

Rautatangon pituus 18 °C lämpötilassa on 1 265,0 mm.

Tanko kuumennetaan 315 °C:n lämpötilaan. Mikä on tangon uusi pituus?
Kuinka paljon tankoa pitää lämmittää, että sen pituus kasvaisi 5,0 mm?

Ratkaisu

a. Tangon lämmetessä sen pituus kasvaa tasaisesti. Piteneminen noudattaa mallia

[[$\quad l=l_0+l_0\alpha\Delta T,$]] missä

[[$l$]] on uusi pituus
[[$l_0$]] on alkuperäinen pituus
[[$\alpha$]] on pituuden lämpölaajenemiskerroin ja
[[$\Delta T$]] on lämpötilan muutos. Nyt

[[$l_0=\text{1 265,0 mm}$]]
[[$\alpha = 11{,}8\cdot10^{-6} \, 1/\text{°C}$]]
[[$\Delta T = 315\text{ °C}-18\text{ °C}=297\text{ °C}$]]

Saadaan

[[$\begin{align} \quad l&=1\,265{,}0\text{ mm} + 1\,265{,}0\text{ mm}\cdot 11{,}8\cdot10^{-6} \, 1/\text{°C} \cdot 297\text{°C} \\ \, \\ &= 1\,269{,}43\dots\text{mm}\approx 1\,269{,}4\text{ mm}\end{align}$]]

Tangon uusi pituus on 1 269,4 millimetriä.

b. Pituuden muutos lämpölaajenemisessa

[[$\begin{align} \quad \Delta l&=l_0\alpha\Delta T \\ \,\\ \Delta T&=\dfrac{\Delta l}{l_0\alpha}\end{align}$]]

[[$\Delta l=5,0 \text{ mm}$]]
[[$l_0=\text{1 265,0 mm}$]]
[[$\alpha = 11{,}8\cdot10^{-6} \, 1/\text{°C}$]]

[[$\Delta T = 334,963 \ \mathrm{^{\circ}C}\approx 335 \ \mathrm{^{\circ}C}$]]

Tankoa pitää lämmittää noin 335 °C.

Takaisin

Esimerkin 4 ratkaisu

2021-03-18T09:40:23+02:00

Metallitangon pituus 23 °C lämpötilassa on 826,0 mm ja 269 °C lämpötilassa 830,7 mm. Mitä ainetta tanko on?

Ratkaisu

Tangon lämmetessä sen pituuden muutos riippuu siitä, mitä ainetta tanko on. Piteneminen noudattaa mallia

[[$l=l_0+l_0\alpha\Delta T,$]] missä

[[$l$]] on uusi pituus,
[[$l_0$]] on alkuperäinen pituus,
[[$\alpha$]] on pituuden lämpölaajenemiskerroin ja
[[$\Delta T$]] on lämpötilan muutos.

Pituuden lämpölaajenemiskerroin riippuu aineesta, joten sen selvittäminen antaa vihjeen siitä, mitä ainetta tanko on. Ratkaistaan [[$\alpha$]]:

[[$ \begin{align*}l & = l_0+l_0\alpha\Delta T & ||-l_0 \\ \, \\ \quad l - l_0 & = l_0\alpha\Delta T & ||:l_0\Delta T \\ \, \\ \alpha & = \frac{l-l_0}{l_0\Delta T}\\ \end{align*} $]]

Sijoitetaan lukuarvot:

[[$l_0=826{,}0\text{ mm}$]]
[[$l=830{,}7\text{ mm}$]]
[[$\Delta T = 269\text{ °C}-23\text{ °C}=246\text{ °C}$]]

Saadaan

[[$\begin{align}\alpha&=\dfrac{830{,}7 \ \text{mm}-826{,}0 \ \text{mm}}{826{,}0 \ \text{mm}\cdot 246 \ \text{°C}} \\ \, \\ &=0{,}000\,023\,13\dots \ \mathrm{\frac{1}{^{\circ}C}}\approx 23{,}1\cdot10^{-6} \ \mathrm{\frac{1}{^{\circ}C}}\end{align}$]]

Alumiinin lämpölaajenemiskerroin on [[$23{,}1\cdot10^{-6} \ \mathrm{\frac{1}{^{\circ}C}}$]], joten todennäköisesti kyseessä on alumiini.

Vastaus: Tanko on lämpölaajenemiskertoimen perusteella todennäköisesti alumiinia.

Takaisin