Teoriaa

Lukujonot: Geometrinen jono ja summa


Lukujono:
jono lukuja. Voi olla päättyvä (3,8,-1,4) tai päättymätön (5,4,3,2,1,0,-1,...)

Lukujonon sääntö: Sääntö, joka kertoo, miten lukujonon jäsenet määräytyvät. Esim. kaikki parilliset positiiviset kokonaisluvut: jono 2,4,6,8,....

Esim. Miten jatkuu lukujono 1,2,3,...? Keksi kaksi vaihtoehtoa.


Geometrinen jono:
jono, jossa seuraava jäsen saadaan kertomalla edellistä jäsentä aina jollakin samalla luvulla = suhdeluvulla q (= peräkkäisten termien suhde).
  • Esim.1. Jono [[$ 2, 4, 8, 16,... $]]​on geometrinen ja sen suhdeluku on [[$ q = 2$]]​
Lukujonon jäsenet nimetään [[$ a_1, a_2, a_3, ... $]]​
Edellisessä esimerkissä [[$ a_1=2, a_2=4, a_3=8, ... $]]​
  • Esim.2. Laske edellisestä esimerkistä jäsen [[$ a_{20} $]]​. Selvitetään samalla lukujonon sääntöä eli yleistä jäsentä.


Geometrisen jonon yleinen, [[$ n $]]​:s jäsen: [[$ a_n=a_1\cdot q^{n-1} $]]​
  • Esim.3. Mikä on yleinen jäsen lukujonossa, jossa ensimmäinen jäsen on [[$ a_1 = \frac{2}{3} $]]​ ja suhdeluku [[$ q = -3 $]]​ ? Määritä jonon neljä ensimmäistä jäsentä.
[[$$ a_n = \frac{2}{3} \cdot (-3)^{n-1} $$]]​


Geometrinen summa: Lasketaan yhteen geometrisen jonon jäseniä. Summakaava:
[[$$ S_n = a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q} $$]]​

  • Esim.4. Laske summan [[$ 2+4+8+16+...+256 $]]​ arvo.
  • Kyseessä on geometrinen summa, jossa [[$ a_1=2 $]]​, suhdeluku [[$ q=2 $]]​ ja yhteenlaskettavien määrä [[$ n = 8 $]]​.
​[[$$ S_8=2\cdot \frac{1-2^8}{1-2} = 510 $$]]​

Eksponenttiyhtälön ratkaiseminen (kpl 15)

Eksponenttiyhtälössä tuntematon sijaitsee eksponentissa:

Esim. 1.

​[[$ 2^x = 4 $]]​

Ratkaisutapa 1:
Jos eksponenttiyhtälössä kantaluvut ovat samat, niin eksponenttienkin pitää olla samat:

Esim. 2.

[[$ 2^x=2^2 \\ x = 2 $]]​

Esim. 3.

​[[$$ 4^{2x+2}=4^6 \\ 2x+2 = 6 \\ 2x=4 \\ x = 2 $$]]​

Kantaluvut eivät aina ole aluksi samat, mutta niitä voi muokata potenssien laskusääntöjen avulla:

Esim. 4.

​[[$$ 2^{5x}=4^{10} \\ 2^{5x}=(2^2)^{10} \\ 2^{5x}=2^{20} \\ 5x=20 \\x=4 $$]]​


Ratkaisutapa 2.
Eksponenttiyhtälö voidaan ratkaista myös logaritmin avulla:

Esim. 6. [[$$ 2^x = 4 \\ x = \log_2 4 =2 $$]]​ Merkintä [[$ \log_2 4 $]]​ luetaan: "2-kantainen logaritmi luvusta 4" ja se on vastaus kysymykseen: "Mihin potenssiin luku 2 pitää korottaa, että saadaan tulokseksi luku 4?"

Speedcrunch-laskimessa saadaan näin: log(2;4)

Kun kantalukuja ei saada samaksi, logaritmi on ainoa ratkaisutapa:

Esim. 7.[[$$ 2^x=3 \\ x = \log_2 3 \approx 1,58 $$]]​
(syötä laskimeen log(2;3))

Funktion lauseke ja sen käyttö (kpl 13)

Funktio on sääntö, joka kertoo, millä menetelmällä jostakin luvusta saadaan uusi luku.

Esim.1
: Sääntö luku kerrotaan kahdella ja sitten lisätään 5 kuvaa funktiota
[[$$ f(x) = 2x+5 $$]]​
Tässä:
  • [[$ f $]]on funktion nimi
  • [[$ x $]]​ on muuttuja
  • [[$ 2x+5 $]]​ on funktion lauseke.
Funktion arvon laskeminen:
Esim.2.
Mikä on funktion arvo kohdassa 2? (kohta = x)
Ratkaisu: [[$ f(2)=2 \cdot 2+5 = 9. $]]​

Kun funktion arvo tunnetaan ja kysytään missä kohtaa se saadaan:
Esim. 3. Missä kohdassa funktio saa arvon 3? 
Ratkaisu: [[$$ 2x+5 = 3 \\ 2x=3-5 \\ 2x = -2 \\ x = -1 $$]]​ Vastaus: kohdassa [[$ x=-1. $]]​

Funktion nollakohta tarkoittaa sitä kohtaa, jossa funktion arvo on nolla; nollakohdassa funktion kuvaaja leikkaa [[$ x $]]​-akselin. 
Esim. 4:
Mikä on funktion [[$ f(x) = 2x+5 $]]​ nollakohta?
Ratkaisu: [[$$ 2x+5=0 \\ 2x = -5 \\ x = -\frac{5}{2}. $$]]​

Ensimmäisen asteen yhtälö

Yhtälö pysyy samana kun:
  • vähennetään tai lisätään kummaltakin puolelta sama luku
  • kerrotaan tai jaetaan kummaltakin puolelta samalla luvulla
  • vaihdetaan vasen puoli oikealle ja oikea puoli vasemmalle
Esim.1. 
Tutki, toteuttaako luku [[$ x=1 $]]​ yhtälön [[$$ 3(x+1)=7. $$]]​

Ratkaisu: Sijoitetaan x=1 yhtälöön. [[$$ 3\cdot(1+1)=7 \\ 3\cdot 2 = 7 \\ 6=7 $$]]​ yhtälö epätosi, joten luku x=1 ei toteuta yhtälöä.

Esim.2.
Ratkaise yhtälö [[$$ 3(x+1)=7 $$]]​ ja tee ratkaisulle tarkistus.

Ratkaisu: 
[[$$ \begin{align} 3(x+1)&=7 \\ 3x+3 &= 7 \qquad \qquad ||-3 \\ 3x +3-3&=7-3 \\ 3x & = 4 \qquad \qquad ||:3 \\ \frac{3x}{3} &=\frac{4}{3} \\ x&= \frac{4}{3} \end{align} $$]]​
Huom. Ratkaisusta voi jättää välivaiheista rivit 3 ja 5 pois, jos osaa tehdä ratkaisun ilman niitä.
Tarkistus: sijoita saatu tulos alkuperäiseen yhtälöön, ja katso tuleeko siitä tosi.

Esim.3.
Ratkaise yhtälö [[$$ \frac{x}{2}=\frac{x}{4}+2 $$]]​
Ratkaisu: 
Tapa 1: Lavennetaan kaikki samannimisiksi.
​[[$$ \begin{align} ^{2\text{)}}\frac{x}{2} &= \frac{x}{4}+^{4\text{)}}\frac{2}{1} \\ \frac{2x}{4} &= \frac{x}{4}+\frac{8}{4} \\ \frac{2x}{4}&=\frac{x+8}{4} \\ 2x &= x+8 \qquad ||-x \\ x &= 8 \end{align} $$]]​

Tapa 2: Kerrotaan sellaisella luvulla, että kaikki nimittäjät supistuvat pois.

Esim.4. Aihe 9, T. 1.2528 . Ongelman muotoilu yhtälöksi.
Millä luvulla on sellainen ominaisuus, että kun luku kerrotaan viidellä tai siihen lisätään 5, saadaan sama tulos? (Muodosta yhtälö ja laske.)

Ratkaisu: Olkoon kysytty luku [[$ x $]]​. Yhtälöksi (ja sen ratkaisuksi) saadaan 
​[[$$ 5x=x+5 \\ 4x = 5 \\x=\frac{5}{4} $$]]​

Potenssien laskusäännöt

Potenssien laskusäännöt

Hyödylliset potenssien laskusäännöt (MAOL s.16):

Tulon potenssi [[$ (ab)^n=a^nb^n $]]​
Osamäärän potenssi [[$ (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} $]]​
Potenssien tulo [[$ a^ma^n = a^{m+n} $]]​
Potenssien osamäärä [[$ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n} $]]​
Potenssin potenssi [[$ (a^m)^n=a^{mn} $]]​

Miksi ja miten ne toimivat?


Esim. 1 (potenssien tulo):
Säännön mukaan: [[$ 5^3 \cdot 5^4 = 5^{3+4}=5^7 $]]​. Perustelu:
Koska [[$ 5^3 =5\cdot5\cdot5 \text{ ja } 5^4 = 5\cdot5\cdot5\cdot5, $]]​ niin [[$ 5^3\cdot5^4=5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5 = 5^7=5^{3+4}. $]]

Esim. 2 (tulon potenssi):
Säännön mukaan[[$ (2a)^4 = 2^4a^4 $]]​ ja tässä tulee perustelu:
[[$ (2a)^4=(2a)\cdot(2a)\cdot(2a)\cdot(2a) = 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a =2^4\cdot a^4=16a^4 $]].

Esim. 3 (osamäärän potenssi + negatiivinen eksponentti): Sievennä
[[$ (\frac{2}{5})^{-2} $]]​.
Negatiivinen eksponentti murtoluvusta saadaan seuraavasti:
[[$ (\frac{2}{5})^{-2}=(\frac{5}{2})^2 = \frac{5^2}{2^2}=\frac{25}{4}. $]]

Esim. 4. Sievennä ilman laskinta potenssilaskusääntöjä käyttäen:
a) [[$ \frac{3^7}{3^6} =$]]
b) [[$ x^4\cdot x^3 =$]]
c) [[$ (a^2)^5 = $]]
d) [[$ 2,5^2\cdot 4^2 = $]]
e) [[$ \frac{x^2y^5y^3}{y^2x} = $]]

Potenssin määritelmä (19A)

Johdantoesimerkki

Sinulla on kaksi vanhempaa. Heillä kummallakin on kaksi vanhempaa (isovanhempasi), joilla kaikilla taas on kaksi vanhempaa (isoisovanhempasi) jne. Montako kolmannen polven isoisovanhempaa sinulla on?

Potenssimerkintä

Johdantotehtävän voi ratkaista kertolaskuna tai lyhemmin potenssilaskuna:
​[[$$ 2^3=2 \cdot 2\cdot2 = 8. $$]]​
Tässä luku 2 on kantaluku ja luku 3 on eksponentti.

Esim. Ilmoita potenssimerkintänä ja laske
  1. [[$ 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 =$]]
  2. [[$ (-3) \cdot (-3) \cdot(-3) \cdot (-3)= $]]​
  3. [[$ -1 \cdot 3 \cdot3 \cdot3 \cdot 3= $]]​
  4. [[$ x\cdot x \cdot x \cdot x \cdot y\cdot y =$]]​
  5. luvun 7 neliö
  6. luvun 2 kuutio.

Eksponentti 0 tai negatiivinen eksponentti:


Taulukossa on luvun 2 eri potensseja: ​

Potenssi [[$ 2^4 $]] [[$ 2^3 $]] [[$ 2^2 $]] [[$ 2^1 $]] [[$ 2^0 $]]​ [[$ 2^{-1} $]]​ ​[[$ 2^{-2} $]]​ [[$ 2^{-3} $]]​ [[$ 2^{-4} $]]​
Arvo 16 8 4 2 1 [[$ \frac{1}{2} $]]​ [[$ \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} $]]​ [[$ \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} $]]​ [[$ \frac{1}{16} = \frac{1}{2^4}$]]

Millä logiikalla taulukon viisi viimeistä lukua saadaan?

Pari tärkeää johtopäätöstä:

[[$$ a^0 = 1, $$]]​
ja
[[$$ a^{-n} = \frac{1}{a^n}, $$]]​

Lisäksi, [[$ 0^0 $]]​ ei ole määritelty.

Murtoluvuilla laskeminen (19A)

  1. Käänteisluku
    • luvun ja sen käänteisluvun tulo on 1: 
    • luvun 7 käänteisluku on [[$ \frac{1}{7} $]]​, koska [[$ 7\cdot\frac{1}{7}=\frac{7\cdot 1}{7}=\frac{7}{7}=1 $]]​.
    • Luvun [[$ 0,5 = \frac{1}{2} $]]​ käänteisluku on 2, koska [[$ \frac{1}{2}\cdot 2 = \frac{1\cdot 2}{2}=\frac{2}{2}=1. $]]​
    • Luvun [[$ \frac{3}{5} $]]​ käänteisluku on [[$ \frac{5}{3}, $]]​koska [[$$ \frac{3}{5}\cdot\frac{5}{3} = \frac{3\cdot5}{5\cdot3}=\frac{15}{15}=1 $$]]​
  2. Murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku: lavennetaan ensin samannimisiksi.
    • Esim. [[$ \frac{1}{2}+\frac{3}{8}\\=\frac{4\cdot 1}{4\cdot2}+\frac{3}{8}\\=\frac{4}{8}+\frac{3}{8}\\= \frac{7}{8} $]]​
  3. Murtolukujen kertolasku:
    • Esim. [[$$ \frac{2}{5}\cdot \frac{3}{4}\\=\frac{2\cdot3}{5\cdot 4}\\=\frac{6}{20}\\=\frac{3}{10} $$]]​
    • toinen tapa: supistetaan luvulla 2 välivaiheessa[[$$ \frac{2}{5}\cdot \frac{3}{4}\\=\frac{2\cdot3}{5\cdot 4}\\=\frac{3}{5\cdot2}=\frac{3}{10} $$]]​
  4. Murtolukujen jakolasku
    • Jaettava kerrotaan jakajan käänteisluvulla
    • Esim. [[$$ \frac{2}{5}: 3\\ = \frac{2}{5}\cdot \frac{1}{3} \\ = \frac{2\cdot 1}{5\cdot 3} \\ = \frac{2}{15} $$]]​
    • Esim. [[$$ \frac{2}{5}: \frac{3}{4}\\ = \frac{2}{5}\cdot \frac{4}{3} \\ = \frac{2\cdot 4}{5\cdot 3} \\=\frac{8}{15} $$]]